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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.
x y (x1 + a) (y1 + b) (a1 + b1) = 0
hinaus, welche als eine identisch richtige oder "analytische" nachzurechnen
nur mehr eine blosse Multiplikationsübung ist.

Dies Verfahren gestaltet sich aber um so umständlicher, je mehr
Symbole in Betracht kommen.

Anstatt solchermassen "independent" ziehen wir deshalb einmal vor,
den Beweis des allgemeinen Satzes "rekurrirend" zu führen, für drei Sym-
bole nämlich auf Grund des für zweie bereits bewiesenen Satzes, ebenso
dann für viere, indem wir auf den für dreie bewiesenen Satz zurück-
verweisen, und so fort -- im Grunde so den "Schluss" von n auf n + 1
Symbole anwendend. Die Ausführung dieses Programmes gestaltet sich
ganz leicht, wie folgt.

In a) denken wir uns alle Buchstaben mit Accent versehen, oder
schreiben wirklich die Formel so an:
(x' a') (y' b') (a' b' = 0) (x' y' = 0).
Nehmen wir an, dass hierin die (von vornherein beliebig zu deutenden,
weil allgemeinen) Gebiete x', y', a', b' folgende Werte haben:
x' = x + y, y' = z, a' = a + b, b' = c,
so ist erkannt, dass:
(x + y a + b) (z c) (a c + b c = 0) (x z + y z = 0),
und nach Th. 24+) kann darin -- wofern man die Glieder nicht beisammen
lassen will -- (a c + b c = 0) durch (a c = 0) (b c = 0), desgleichen
(x z + y z = 0) durch (x z = 0) (y z = 0)
ersetzt werden.

Multiplizirt man die Subsumtion dann noch überschiebend mit der a)
selbst, nach Th. 17x), so erhält man für drei Symbolpaare die zu be-
weisende Subsumtion g) genau -- bis auf den Umstand, dass linkerhand
ausser den sechs in ihr angegebenen Aussagenfaktoren auch noch als
siebenter der Faktor (x + y a + b) steht. Dieser kann aber ohne weiteres
unterdrückt werden. Da nämlich nach Th. 17+):
(x a) (y b) (x + y a + b),
so ist nach Th. 20x), d. i. (A B) = (A B = A):
(x a) (y b) (x + y a + b) = (x a) (y b)
auch ohne den dritten Faktor.

Hiermit ist denn die Formel g) mit Wegfall der Punkte "..." bewiesen.

Um jetzt den Satz für vier Symbolpaare a, b, c, d nebst x, y, z, u
zu erhalten, braucht man blos in der mit accentuirten Buchstaben ange-
setzten Formel a) anzunehmen:
x' = x + y + z, y' = u, a' = a + b + c, b' = d
und die sich ergebende Subsumtion:

Einundzwanzigste Vorlesung.
x y (x1 + a) (y1 + b) (a1 + b1) = 0
hinaus, welche als eine identisch richtige oder „analytische“ nachzurechnen
nur mehr eine blosse Multiplikationsübung ist.

Dies Verfahren gestaltet sich aber um so umständlicher, je mehr
Symbole in Betracht kommen.

Anstatt solchermassen „independent“ ziehen wir deshalb einmal vor,
den Beweis des allgemeinen Satzes „rekurrirend“ zu führen, für drei Sym-
bole nämlich auf Grund des für zweie bereits bewiesenen Satzes, ebenso
dann für viere, indem wir auf den für dreie bewiesenen Satz zurück-
verweisen, und so fort — im Grunde so den „Schluss“ von n auf n + 1
Symbole anwendend. Die Ausführung dieses Programmes gestaltet sich
ganz leicht, wie folgt.

In α) denken wir uns alle Buchstaben mit Accent versehen, oder
schreiben wirklich die Formel so an:
(x' ⊆ a') (y' ⊆ b') (a' b' = 0) ⊆ (x' y' = 0).
Nehmen wir an, dass hierin die (von vornherein beliebig zu deutenden,
weil allgemeinen) Gebiete x', y', a', b' folgende Werte haben:
x' = x + y, y' = z, a' = a + b, b' = c,
so ist erkannt, dass:
(x + y ⊆ a + b) (z ⊆ c) (a c + b c = 0) ⊆ (x z + y z = 0),
und nach Th. 24+) kann darin — wofern man die Glieder nicht beisammen
lassen will — (a c + b c = 0) durch (a c = 0) (b c = 0), desgleichen
(x z + y z = 0) durch (x z = 0) (y z = 0)
ersetzt werden.

Multiplizirt man die Subsumtion dann noch überschiebend mit der α)
selbst, nach Th. 1̅7̅×), so erhält man für drei Symbolpaare die zu be-
weisende Subsumtion γ) genau — bis auf den Umstand, dass linkerhand
ausser den sechs in ihr angegebenen Aussagenfaktoren auch noch als
siebenter der Faktor (x + y ⊆ a + b) steht. Dieser kann aber ohne weiteres
unterdrückt werden. Da nämlich nach Th. 17+):
(x ⊆ a) (y ⊆ b) ⊆ (x + y ⊆ a + b),
so ist nach Th. 2̅0̅×), d. i. (A ⊆ B) = (A B = A):
(x ⊆ a) (y ⊆ b) (x + y ⊆ a + b) = (x ⊆ a) (y ⊆ b)
auch ohne den dritten Faktor.

Hiermit ist denn die Formel γ) mit Wegfall der Punkte „…“ bewiesen.

Um jetzt den Satz für vier Symbolpaare a, b, c, d nebst x, y, z, u
zu erhalten, braucht man blos in der mit accentuirten Buchstaben ange-
setzten Formel α) anzunehmen:
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und die sich ergebende Subsumtion:

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[282/0306] Einundzwanzigste Vorlesung. x y (x1 + a) (y1 + b) (a1 + b1) = 0 hinaus, welche als eine identisch richtige oder „analytische“ nachzurechnen nur mehr eine blosse Multiplikationsübung ist. Dies Verfahren gestaltet sich aber um so umständlicher, je mehr Symbole in Betracht kommen. Anstatt solchermassen „independent“ ziehen wir deshalb einmal vor, den Beweis des allgemeinen Satzes „rekurrirend“ zu führen, für drei Sym- bole nämlich auf Grund des für zweie bereits bewiesenen Satzes, ebenso dann für viere, indem wir auf den für dreie bewiesenen Satz zurück- verweisen, und so fort — im Grunde so den „Schluss“ von n auf n + 1 Symbole anwendend. Die Ausführung dieses Programmes gestaltet sich ganz leicht, wie folgt. In α) denken wir uns alle Buchstaben mit Accent versehen, oder schreiben wirklich die Formel so an: (x'  a') (y'  b') (a' b' = 0)  (x' y' = 0). Nehmen wir an, dass hierin die (von vornherein beliebig zu deutenden, weil allgemeinen) Gebiete x', y', a', b' folgende Werte haben: x' = x + y, y' = z, a' = a + b, b' = c, so ist erkannt, dass: (x + y  a + b) (z  c) (a c + b c = 0)  (x z + y z = 0), und nach Th. 24+) kann darin — wofern man die Glieder nicht beisammen lassen will — (a c + b c = 0) durch (a c = 0) (b c = 0), desgleichen (x z + y z = 0) durch (x z = 0) (y z = 0) ersetzt werden. Multiplizirt man die Subsumtion dann noch überschiebend mit der α) selbst, nach Th. 1̅7̅×), so erhält man für drei Symbolpaare die zu be- weisende Subsumtion γ) genau — bis auf den Umstand, dass linkerhand ausser den sechs in ihr angegebenen Aussagenfaktoren auch noch als siebenter der Faktor (x + y  a + b) steht. Dieser kann aber ohne weiteres unterdrückt werden. Da nämlich nach Th. 17+): (x  a) (y  b)  (x + y  a + b), so ist nach Th. 2̅0̅×), d. i. (A  B) = (A B = A): (x  a) (y  b) (x + y  a + b) = (x  a) (y  b) auch ohne den dritten Faktor. Hiermit ist denn die Formel γ) mit Wegfall der Punkte „…“ bewiesen. Um jetzt den Satz für vier Symbolpaare a, b, c, d nebst x, y, z, u zu erhalten, braucht man blos in der mit accentuirten Buchstaben ange- setzten Formel α) anzunehmen: x' = x + y + z, y' = u, a' = a + b + c, b' = d und die sich ergebende Subsumtion:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 282. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/306>, abgerufen am 23.11.2024.