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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Hauber's Theorem.

Auch für eine beliebige (eventuell selbst unbegrenzte) Anzahl
Symbole lässt unser Theorem sich wie folgt in Formeln setzen:
( [Formel 1] ak al = 0) [Formel 2] (xk ak) ( [Formel 3] xk xl = 0),
wo der Apostroph über dem Summenzeichen andeuten soll, dass dem Index l
jeweils nur die von x verschiedenen Werte aus der von diesem letztern In-
dex zu durchlaufenden Wertenreihe beigelegt werden sollen. Will man
aber solch' aparte Symbolik vermeiden, so ist unser Theorem korrekt durch
die Formel:
z) ( [Formel 4] ak al = 0) [Formel 5] (xk ak) ( [Formel 6] xk xl = 0)
für die n Symbolpaare
a1, a2, .. an
x1, x2, .. xn
darzustellen, und hindert nichts, darin auch n = infinity zu nehmen.

Mit Leichtigkeit auch würde im Anschluss an dieses Schema jener
Schluss von n auf n + 1 nunmehr sich in der Zeichensprache ausgeführt
darstellen lassen.

Schliesslich kann man im allgemeinen Ausdruck g), e) oder z) unsres
Theorems natürlich auch die Prämisse zur Linken durch deren vereinigte
Gleichung ersetzen. Zu dem Ende sind die Subsumtionen x a, etc. zu-
nächst in Gleichungen a1 x = 0, etc. umzuschreiben. Um dies bei z) aus-
zuführen müssen wir entweder zum wagrechten Negationsstrich unsre Zu-
flucht nehmen, oder anstatt der unteren Indices für x und a jetzt obere
verwenden. Thun wir letzteres, so entsteht:
e) { [Formel 7] (ak1 xk + ak [Formel 8] al) = 0} ( [Formel 9] xk [Formel 10] xl = 0)
als wol konziseste aber dennoch vollkommen ausdrucksvolle Darstellung des
Theorems, wobei rechts die volle Resultante der Elimination von a1, a2, ..
an aus der vereinigten Aussage der Data linkerhand steht. --

Da das in Worte gekleidete Theorem jedermann auch unmittelbar
einleuchtet, so sind vorstehende Betrachtungen nur unter dem Gesichts-
punkt der Methode zu würdigen.

3. Hauber's Theorem.*)

Wenn eine Gattung in die (disjunkten) Arten x, y, z, ... zerfällt,

*) Hauber's Schrift 1 des Literaturverzeichnisses ist mir nicht zu Gesicht ge-
kommen und halte ich mich bezüglich seines Satzes an die Angaben des Herrn
Venn 1 p. 275.
§ 46. Hauber’s Theorem.

Auch für eine beliebige (eventuell selbst unbegrenzte) Anzahl
Symbole lässt unser Theorem sich wie folgt in Formeln setzen:
( [Formel 1] aϰ aλ = 0) [Formel 2] (xϰ ⊆ aϰ) ⊆ ( [Formel 3] xϰ xλ = 0),
wo der Apostroph über dem Summenzeichen andeuten soll, dass dem Index λ
jeweils nur die von x verschiedenen Werte aus der von diesem letztern In-
dex zu durchlaufenden Wertenreihe beigelegt werden sollen. Will man
aber solch’ aparte Symbolik vermeiden, so ist unser Theorem korrekt durch
die Formel:
ζ) ( [Formel 4] aϰ aλ = 0) [Formel 5] (xϰ ⊆ aϰ) ⊆ ( [Formel 6] xϰ xλ = 0)
für die n Symbolpaare
a1, a2, ‥ an
x1, x2, ‥ xn
darzustellen, und hindert nichts, darin auch n = ∞ zu nehmen.

Mit Leichtigkeit auch würde im Anschluss an dieses Schema jener
Schluss von n auf n + 1 nunmehr sich in der Zeichensprache ausgeführt
darstellen lassen.

Schliesslich kann man im allgemeinen Ausdruck γ), ε) oder ζ) unsres
Theorems natürlich auch die Prämisse zur Linken durch deren vereinigte
Gleichung ersetzen. Zu dem Ende sind die Subsumtionen x ⊆ a, etc. zu-
nächst in Gleichungen a1 x = 0, etc. umzuschreiben. Um dies bei ζ) aus-
zuführen müssen wir entweder zum wagrechten Negationsstrich unsre Zu-
flucht nehmen, oder anstatt der unteren Indices für x und a jetzt obere
verwenden. Thun wir letzteres, so entsteht:
η) { [Formel 7] (aϰ1 xϰ + aϰ [Formel 8] aλ) = 0} ⊆ ( [Formel 9] xϰ [Formel 10] xλ = 0)
als wol konziseste aber dennoch vollkommen ausdrucksvolle Darstellung des
Theorems, wobei rechts die volle Resultante der Elimination von a1, a2, ‥
an aus der vereinigten Aussage der Data linkerhand steht. —

Da das in Worte gekleidete Theorem jedermann auch unmittelbar
einleuchtet, so sind vorstehende Betrachtungen nur unter dem Gesichts-
punkt der Methode zu würdigen.

3. Hauber’s Theorem.*)

Wenn eine Gattung in die (disjunkten) Arten x, y, z, … zerfällt,

*) Hauber’s Schrift 1 des Literaturverzeichnisses ist mir nicht zu Gesicht ge-
kommen und halte ich mich bezüglich seines Satzes an die Angaben des Herrn
Venn 1 p. 275.
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[285/0309] § 46. Hauber’s Theorem. Auch für eine beliebige (eventuell selbst unbegrenzte) Anzahl Symbole lässt unser Theorem sich wie folgt in Formeln setzen: ([FORMEL] aϰ aλ = 0) [FORMEL] (xϰ  aϰ)  ([FORMEL] xϰ xλ = 0), wo der Apostroph über dem Summenzeichen andeuten soll, dass dem Index λ jeweils nur die von x verschiedenen Werte aus der von diesem letztern In- dex zu durchlaufenden Wertenreihe beigelegt werden sollen. Will man aber solch’ aparte Symbolik vermeiden, so ist unser Theorem korrekt durch die Formel: ζ) ([FORMEL] aϰ aλ = 0) [FORMEL] (xϰ  aϰ)  ([FORMEL] xϰ xλ = 0) für die n Symbolpaare a1, a2, ‥ an x1, x2, ‥ xn darzustellen, und hindert nichts, darin auch n = ∞ zu nehmen. Mit Leichtigkeit auch würde im Anschluss an dieses Schema jener Schluss von n auf n + 1 nunmehr sich in der Zeichensprache ausgeführt darstellen lassen. Schliesslich kann man im allgemeinen Ausdruck γ), ε) oder ζ) unsres Theorems natürlich auch die Prämisse zur Linken durch deren vereinigte Gleichung ersetzen. Zu dem Ende sind die Subsumtionen x  a, etc. zu- nächst in Gleichungen a1 x = 0, etc. umzuschreiben. Um dies bei ζ) aus- zuführen müssen wir entweder zum wagrechten Negationsstrich unsre Zu- flucht nehmen, oder anstatt der unteren Indices für x und a jetzt obere verwenden. Thun wir letzteres, so entsteht: η) {[FORMEL] (aϰ1 xϰ + aϰ [FORMEL] aλ) = 0}  ([FORMEL] xϰ [FORMEL] xλ = 0) als wol konziseste aber dennoch vollkommen ausdrucksvolle Darstellung des Theorems, wobei rechts die volle Resultante der Elimination von a1, a2, ‥ an aus der vereinigten Aussage der Data linkerhand steht. — Da das in Worte gekleidete Theorem jedermann auch unmittelbar einleuchtet, so sind vorstehende Betrachtungen nur unter dem Gesichts- punkt der Methode zu würdigen. 3. Hauber’s Theorem. *) Wenn eine Gattung in die (disjunkten) Arten x, y, z, … zerfällt, *) Hauber’s Schrift 1 des Literaturverzeichnisses ist mir nicht zu Gesicht ge- kommen und halte ich mich bezüglich seines Satzes an die Angaben des Herrn Venn 1 p. 275.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 285. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/309>, abgerufen am 23.11.2024.