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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.

hin das betreffende Glied verschwinden, sozusagen von selbst in der
Summe fehlen wird.

Beweis der Theoreme (nach Peirce).

Wenn a p und zugleich b q,
so folgt nach Th. 17x):
a b p q
und für p q = c folgt also nach Th. 2):
a b c.
Das heisst, es ist zu einer ein-
zigen Aussage zusammengefasst:
(p q = c) (a p) (b q) (a b c).
Da diese Subsumtion nun für jedes
Wertepaar p, q gilt, so folgt durch
Summirung aus der für alle diese
Paare hingeschrieben gedachten Sub-
sumtion nach Th. 17+) und 14+) --
oder unmittelbar gemäss Def. (3n+)':
S (p q = c) (a p) (b q) (a b c).
Umgekehrt, wenn a b c ist, so
muss c + a b = c sein nach Th. 20+).
Es ist aber c + a b = (c + a) (c + b).
Sonach ist erkannt, dass:
(a b c) {(c + a) (c + b) = c}.
Nennen wir hier:
c + a = p, c + b = q,
wo dann also p q = c sein wird, so
ist für diese p, q zugleich a p und
b q nach Th. 6+), mithin gilt:
(a b c) (p q = c) (a p) (b q)
wenigstens für jene gewissen p, q.
Das Glied rechterhand ist aber nach
Th. 6+) jeder Summe, die es ent-
hält, folglich auch a fortiori:
(a b c) S (p q = c) (a p) (b q).

Nach 17+) ist:
(p a) (q b) (p + q a + b).
Dies beiderseits mit (p + q = c) mul-
tiplizirt und rechts beachtet, dass
nach Th. 3):
(c = p + q) (p + q a + b) (c a + b)
sein muss, gibt nach Prinzip II:
(p + q = c) (p a) (q b) (c a + b),
und wenn dies für alle p, q hinge-
schrieben gedacht wird, nach Def. (3n+)'
in ihrer bekannten Erweiterung auf
unbegrenzt viele Terme:
S (p + q = c) (p a) (q b) (c a + b).
Ferner haben wir:
(c a + b) = {c (a + b) = c} =
(a c + b c = c)
nach Th. 20x) und 27x).
Nennen wir a c = p, b c = q, so
wird erstlich p a, q b nach Th. 6x)
sodann, wie eben gezeigt: p + q = c
sein und gilt im ganzen:
(c a + b) (p + q = c) (p a) (q b).
[Rechnerisch erhalten wir dies aus
dem vorigen Ergebnisse durch beider-
seitiges Multipliziren mit:
i (a c a) (b c b)
unter Einsetzung der Werte von p, q.]
Und da nun das Glied wieder der
Summe eingeordnet, so muss sein:
(c a + b) S (p + q = c) (p a) (q b).

Das Theorem ist hiermit als Subsumtion vor- und rückwärts bewiesen
und muss nach Def. (1) folglich als Gleichung gelten. --

Einundzwanzigste Vorlesung.

hin das betreffende Glied verschwinden, sozusagen von selbst in der
Summe fehlen wird.

Beweis der Theoreme (nach Peirce).

Wenn a ⊆ p und zugleich b ⊆ q,
so folgt nach Th. 17×):
a b ⊆ p q
und für p q = c folgt also nach Th. 2):
a b ⊆ c.
Das heisst, es ist zu einer ein-
zigen Aussage zusammengefasst:
(p q = c) (a ⊆ p) (b ⊆ q) ⊆ (a b ⊆ c).
Da diese Subsumtion nun für jedes
Wertepaar p, q gilt, so folgt durch
Summirung aus der für alle diese
Paare hingeschrieben gedachten Sub-
sumtion nach Th. 17+) und 14+) —
oder unmittelbar gemäss Def. (3̄+)':
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(a b ⊆ c) ⊆ (p q = c) (a ⊆ p) (b ⊆ q)
wenigstens für jene gewissen p, q.
Das Glied rechterhand ist aber nach
Th. 6+) ⊆ jeder Summe, die es ent-
hält, folglich auch a fortiori:
(a b ⊆ c) ⊆ Σ (p q = c) (a ⊆ p) (b ⊆ q).

Nach 17+) ist:
(p ⊆ a) (q ⊆ b) ⊆ (p + q ⊆ a + b).
Dies beiderseits mit (p + q = c) mul-
tiplizirt und rechts beachtet, dass
nach Th. 3):
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(p + q = c) (p ⊆ a) (q ⊆ b) ⊆ (c ⊆ a + b),
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schrieben gedacht wird, nach Def. (3̄+)'
in ihrer bekannten Erweiterung auf
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Ferner haben wir:
(c ⊆ a + b) = {c (a + b) = c} =
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nach Th. 20×) und 27×).
Nennen wir a c = p, b c = q, so
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seitiges Multipliziren mit:
i ⊆ (a c ⊆ a) (b c ⊆ b)
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Und da nun das Glied wieder der
Summe eingeordnet, so muss sein:
(c ⊆ a + b) ⊆ Σ (p + q = c) (p ⊆ a) (q ⊆ b).

Das Theorem ist hiermit als Subsumtion vor- und rückwärts bewiesen
und muss nach Def. (1) folglich als Gleichung gelten. —

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[298/0322] Einundzwanzigste Vorlesung. hin das betreffende Glied verschwinden, sozusagen von selbst in der Summe fehlen wird. Beweis der Theoreme (nach Peirce). Wenn a p und zugleich b q, so folgt nach Th. 17×): a b p q und für p q = c folgt also nach Th. 2): a b c. Das heisst, es ist zu einer ein- zigen Aussage zusammengefasst: (p q = c) (a p) (b q) (a b c). Da diese Subsumtion nun für jedes Wertepaar p, q gilt, so folgt durch Summirung aus der für alle diese Paare hingeschrieben gedachten Sub- sumtion nach Th. 17+) und 14+) — oder unmittelbar gemäss Def. (3̄+)': Σ (p q = c) (a p) (b q) (a b c). Umgekehrt, wenn a b c ist, so muss c + a b = c sein nach Th. 20+). Es ist aber c + a b = (c + a) (c + b). Sonach ist erkannt, dass: (a b c) {(c + a) (c + b) = c}. Nennen wir hier: c + a = p, c + b = q, wo dann also p q = c sein wird, so ist für diese p, q zugleich a p und b q nach Th. 6+), mithin gilt: (a b c) (p q = c) (a p) (b q) wenigstens für jene gewissen p, q. Das Glied rechterhand ist aber nach Th. 6+) jeder Summe, die es ent- hält, folglich auch a fortiori: (a b c) Σ (p q = c) (a p) (b q). Nach 17+) ist: (p a) (q b) (p + q a + b). Dies beiderseits mit (p + q = c) mul- tiplizirt und rechts beachtet, dass nach Th. 3): (c = p + q) (p + q a + b) (c a + b) sein muss, gibt nach Prinzip II: (p + q = c) (p a) (q b) (c a + b), und wenn dies für alle p, q hinge- schrieben gedacht wird, nach Def. (3̄+)' in ihrer bekannten Erweiterung auf unbegrenzt viele Terme: Σ (p + q = c) (p a) (q b) (c a + b). Ferner haben wir: (c a + b) = {c (a + b) = c} = (a c + b c = c) nach Th. 20×) und 27×). Nennen wir a c = p, b c = q, so wird erstlich p a, q b nach Th. 6×) sodann, wie eben gezeigt: p + q = c sein und gilt im ganzen: (c a + b) (p + q = c) (p a) (q b). [Rechnerisch erhalten wir dies aus dem vorigen Ergebnisse durch beider- seitiges Multipliziren mit: i (a c a) (b c b) unter Einsetzung der Werte von p, q.] Und da nun das Glied wieder der Summe eingeordnet, so muss sein: (c a + b) Σ (p + q = c) (p a) (q b). Das Theorem ist hiermit als Subsumtion vor- und rückwärts bewiesen und muss nach Def. (1) folglich als Gleichung gelten. —

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 298. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/322>, abgerufen am 23.11.2024.

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