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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.
leicht ist, sich auch b noch durch b1 ersetzt zu denken -- so lässt es
uns im Stiche (vergl. S. 274).

Nach bekannten Sätzen, vornehmlich z) des § 32, muss nämlich sein:
(a b) = (a b1 0) = (a b1 = i) = (a1 + b = 0) =
= (a1 = 0) (b = 0) = (a = i) (b = 0)
und dies ist kein partikuläres Urteil mehr, sondern wiederum jetzt
eine universale Aussage, und zwar eine "zerfallende", welche behauptet,
dass alle Individuen der Mn. zur Klasse a, keines zur Klasse b gehöre
("Alles ist a, nichts ist b" innerhalb der Mn.).

M. a. W. Für irgend ein gedachtes Individuum ist es stets wahr,
dass "es" zur Klasse a, nie dass es zur Klasse b gehört; und so in
der That muss es sein, wenn es dem Schema a b1 0 gemäss nicht
unrichtig (somit richtig) ist, dass es zur Klasse a, aber nicht zu der
b gehöre.

Es dokumentirt sich also die Unfähigkeit des reinen Aussagen-
kalkuls, auch partikulare Urteile einzukleiden -- unbeschadet dessen,
dass er gerade hiezu dem Klassenkalkul unentbehrlich gewesen -- für
sich allein also die Probleme auf der zweiten Stufe ("Etappe") der
Logik mitumfassen oder auch nur in Angriff nehmen zu können.

Versuchte man etwa, um jenen auch dazu tauglich zu machen, Summen-
und Produktzeichen [Formel 1] , [Formel 2] , einzuführen, welche sich über alle Individuen i
der Mannigfaltigkeit 1 zu erstrecken hätten, so würde man ebendamit, weil
solche Individuen i irgendwelche Objekte und keine Aussagen mehr sind,
aus dem Rahmen des Aussagenkalkuls heraus und in den des Klassenkal-
kuls über-treten.

Der Aussagenkalkul selbst muss dazu stets unfähig bleiben, da
er eben als ein nur auf Aussagen konstanten Sinnes anwendbarer kein
Mittelding zwischen stets und nie (wahr) kennt.

Mit Unrecht also glaubt McColl in dem Umstand, dass seine Sym-
bole stets "statements" bedeuten -- im Gegensatz zu Boole, wo sie
"Dinge" vorstellten -- einen Vorzug seiner Theorie vor der Boole'schen
erblicken zu dürfen; es liegt in diesem Umstande vielmehr eine grosse Be-
schränkung, und ist von ihm, wie Venn 1 p. 372 ausführt, obendrein über-
sehen, dass auch Boole 4 schon in den mit "On secondary propositions"
und "Methods in sec. prop." überschriebenen Kapiteln, die aussagenrechne-
rische Deutung seiner Propositionen als eine mit zulässige gegeben hat.

In der That bemerken wir auch, dass alle von McColl gerechneten
Beispiele und gestellten Aufgaben nur der ersten Stufe der Logik angehören.

Und weiter ist es, als mit dem Gesagten übereinstimmend, von Inter-
esse noch folgendes zu beachten.

McColl's in § 27 angegebene Regel zur Lösung des Eliminations-

Einundzwanzigste Vorlesung.
leicht ist, sich auch b noch durch b1 ersetzt zu denken — so lässt es
uns im Stiche (vergl. S. 274).

Nach bekannten Sätzen, vornehmlich ζ) des § 32, muss nämlich sein:
(a ⊆ b) = (a b1 ≠ 0) = (a b1 = i) = (a1 + b = 0) =
= (a1 = 0) (b = 0) = (a = i) (b = 0)
und dies ist kein partikuläres Urteil mehr, sondern wiederum jetzt
eine universale Aussage, und zwar eine „zerfallende“, welche behauptet,
dass alle Individuen der Mn. zur Klasse a, keines zur Klasse b gehöre
(„Alles ist a, nichts ist b“ innerhalb der Mn.).

M. a. W. Für irgend ein gedachtes Individuum ist es stets wahr,
dass „es“ zur Klasse a, nie dass es zur Klasse b gehört; und so in
der That muss es sein, wenn es dem Schema a b1 ≠ 0 gemäss nicht
unrichtig (somit richtig) ist, dass es zur Klasse a, aber nicht zu der
b gehöre.

Es dokumentirt sich also die Unfähigkeit des reinen Aussagen-
kalkuls, auch partikulare Urteile einzukleiden — unbeschadet dessen,
dass er gerade hiezu dem Klassenkalkul unentbehrlich gewesen — für
sich allein also die Probleme auf der zweiten Stufe („Etappe“) der
Logik mitumfassen oder auch nur in Angriff nehmen zu können.

Versuchte man etwa, um jenen auch dazu tauglich zu machen, Summen-
und Produktzeichen [Formel 1] , [Formel 2] , einzuführen, welche sich über alle Individuen ι
der Mannigfaltigkeit 1 zu erstrecken hätten, so würde man ebendamit, weil
solche Individuen ι irgendwelche Objekte und keine Aussagen mehr sind,
aus dem Rahmen des Aussagenkalkuls heraus und in den des Klassenkal-
kuls über-treten.

Der Aussagenkalkul selbst muss dazu stets unfähig bleiben, da
er eben als ein nur auf Aussagen konstanten Sinnes anwendbarer kein
Mittelding zwischen stets und nie (wahr) kennt.

Mit Unrecht also glaubt McColl in dem Umstand, dass seine Sym-
bole stets „statements“ bedeuten — im Gegensatz zu Boole, wo sie
„Dinge“ vorstellten — einen Vorzug seiner Theorie vor der Boole’schen
erblicken zu dürfen; es liegt in diesem Umstande vielmehr eine grosse Be-
schränkung, und ist von ihm, wie Venn 1 p. 372 ausführt, obendrein über-
sehen, dass auch Boole 4 schon in den mit „On secondary propositions“
und „Methods in sec. prop.“ überschriebenen Kapiteln, die aussagenrechne-
rische Deutung seiner Propositionen als eine mit zulässige gegeben hat.

In der That bemerken wir auch, dass alle von McColl gerechneten
Beispiele und gestellten Aufgaben nur der ersten Stufe der Logik angehören.

Und weiter ist es, als mit dem Gesagten übereinstimmend, von Inter-
esse noch folgendes zu beachten.

McColl’s in § 27 angegebene Regel zur Lösung des Eliminations-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 312. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/336>, abgerufen am 23.11.2024.