Unsre 60 Propositionen (unter denen ihre Negationen eingerechnet sind) erweisen sich als von 14erlei Art, wenn wir zu einer "Art" immer diejenigen Propositionen zählen, welche durch blosse Vertauschungen unter den Buchstaben A, B, A1, B1 aufeinander zurückführbar wären. Und zwar werden die 7 positiven von diesen 14 Arten konstituirt durch die Systeme der Propositionen: 1' .. 4', 5' .. 6', 7' .. 10', 11' .. 14', 15' .. 18', 19' .. 26', 27' .. 30', und analog -- den Negationstrich beigesetzt -- die 7 negativen.
Als typische Repräsentanten für diese Arten fundamentaler Be ziehungen können die folgenden Symbole dienen: h (oder k, m, n); d; (e oder) f; (a oder) c (oder b, l); g resp. a; g (oder b); d nebst ihren Negationen. Auch genügen die hervorgehobenen, wenn mit geeignetem Gebietepaar als Exponenten versehen, zur Darstellung aller einschlägigen Beziehungen. Den sechs letzteren entsprechen die Beziehungszeichen: =, , , , , , wo für das Subsumtionszeichen -- bei Bevorzugung von a anstatt c als Repräsentanten auch zu nehmen gestattet. --
Als "einfache" Beziehungen im Sinne des § 40, nämlich als aus den 8 De Morgan'schen 11' bis 141' in Gestalt von lediglich multi- plikativen Kombinationen (oder "monomisch") zusammengesetzte, sind von den 75 überhaupt möglichen vorstehend nur die 34 folgenden vertreten: 1' .. 4', 5' .. 10', 11' .. 14', 111' .. 141', 15' .. 18', 19' .. 30'. --
Nunmehr ist es keine Kunst, sich unsre 60 fundamentalen Pro- positionen wie in den Buchstaben A, B, so auch in denen B, C hin- zuschreiben.
Kombinirte man jede der 60 Propositionen in A, B mit der ihr gleichnummerigen und jeder folgenden in B, C multiplikativ zu einer Simultanaussage -- indem man Sorge trägt, je zwei simultane Glei- chungen in eine einzige solche als Boole'schen Bestandteil des Prä- missensystems zu vereinigen gemäss dem Schema (a = 1) (b = 1) = (a b = 1), dies Produkt a b jeweils nach dem Eliminanden B entwickelnd -- so ergäben sich die
[Formel 1]
= 1830 Prämissen(systeme), welche bei der
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§ 48. Erweiterte Syllogistik.
Unsre 60 Propositionen (unter denen ihre Negationen eingerechnet sind) erweisen sich als von 14erlei Art, wenn wir zu einer „Art“ immer diejenigen Propositionen zählen, welche durch blosse Vertauschungen unter den Buchstaben A, B, A1, B1 aufeinander zurückführbar wären. Und zwar werden die 7 positiven von diesen 14 Arten konstituirt durch die Systeme der Propositionen: 1’ ‥ 4’, 5’ ‥ 6’, 7’ ‥ 10’, 11’ ‥ 14’, 15’ ‥ 18’, 19’ ‥ 26’, 27’ ‥ 30’, und analog — den Negationstrich beigesetzt — die 7 negativen.
Als typische Repräsentanten für diese Arten fundamentaler Be ziehungen können die folgenden Symbole dienen: h (oder k, m, n); d; (e oder) f; (a oder) c (oder b, l); g resp. α; γ (oder β); δ nebst ihren Negationen. Auch genügen die hervorgehobenen, wenn mit geeignetem Gebietepaar als Exponenten versehen, zur Darstellung aller einschlägigen Beziehungen. Den sechs letzteren entsprechen die Beziehungszeichen: =, ⊂, ⊆, ⊆ , ⊆ , ≗, wo für das Subsumtionszeichen — bei Bevorzugung von a anstatt c als Repräsentanten auch ⊆ zu nehmen gestattet. —
Als „einfache“ Beziehungen im Sinne des § 40, nämlich als aus den 8 De Morgan’schen 11’ bis 141’ in Gestalt von lediglich multi- plikativen Kombinationen (oder „monomisch“) zusammengesetzte, sind von den 75 überhaupt möglichen vorstehend nur die 34 folgenden vertreten: 1’ ‥ 4’, 5’ ‥ 10’, 11’ ‥ 14’, 111’ ‥ 141’, 15’ ‥ 18’, 19’ ‥ 30’. —
Nunmehr ist es keine Kunst, sich unsre 60 fundamentalen Pro- positionen wie in den Buchstaben A, B, so auch in denen B, C hin- zuschreiben.
Kombinirte man jede der 60 Propositionen in A, B mit der ihr gleichnummerigen und jeder folgenden in B, C multiplikativ zu einer Simultanaussage — indem man Sorge trägt, je zwei simultane Glei- chungen in eine einzige solche als Boole’schen Bestandteil des Prä- missensystems zu vereinigen gemäss dem Schema (a = 1) (b = 1) = (a b = 1), dies Produkt a b jeweils nach dem Eliminanden B entwickelnd — so ergäben sich die
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= 1830 Prämissen(systeme), welche bei der
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§ 48. Erweiterte Syllogistik.
Unsre 60 Propositionen (unter denen ihre Negationen eingerechnet
sind) erweisen sich als von 14erlei Art, wenn wir zu einer „Art“ immer
diejenigen Propositionen zählen, welche durch blosse Vertauschungen
unter den Buchstaben A, B, A1, B1 aufeinander zurückführbar wären.
Und zwar werden die 7 positiven von diesen 14 Arten konstituirt
durch die Systeme der Propositionen:
1’ ‥ 4’, 5’ ‥ 6’, 7’ ‥ 10’, 11’ ‥ 14’, 15’ ‥ 18’, 19’ ‥ 26’, 27’ ‥ 30’,
und analog — den Negationstrich beigesetzt — die 7 negativen.
Als typische Repräsentanten für diese Arten fundamentaler Be
ziehungen können die folgenden Symbole dienen:
h (oder k, m, n); d; (e oder) f; (a oder) c (oder b, l); g resp. α; γ (oder β); δ
nebst ihren Negationen. Auch genügen die hervorgehobenen, wenn
mit geeignetem Gebietepaar als Exponenten versehen, zur Darstellung
aller einschlägigen Beziehungen. Den sechs letzteren entsprechen die
Beziehungszeichen:
=, ⊂, ,  ,  , ≗,
wo für das Subsumtionszeichen — bei Bevorzugung von a anstatt c
als Repräsentanten auch  zu nehmen gestattet. —
Als „einfache“ Beziehungen im Sinne des § 40, nämlich als aus
den 8 De Morgan’schen 11’ bis 141’ in Gestalt von lediglich multi-
plikativen Kombinationen (oder „monomisch“) zusammengesetzte, sind
von den 75 überhaupt möglichen vorstehend nur die 34 folgenden
vertreten:
1’ ‥ 4’, 5’ ‥ 10’, 11’ ‥ 14’, 111’ ‥ 141’, 15’ ‥ 18’, 19’ ‥ 30’. —
Nunmehr ist es keine Kunst, sich unsre 60 fundamentalen Pro-
positionen wie in den Buchstaben A, B, so auch in denen B, C hin-
zuschreiben.
Kombinirte man jede der 60 Propositionen in A, B mit der ihr
gleichnummerigen und jeder folgenden in B, C multiplikativ zu einer
Simultanaussage — indem man Sorge trägt, je zwei simultane Glei-
chungen in eine einzige solche als Boole’schen Bestandteil des Prä-
missensystems zu vereinigen gemäss dem Schema
(a = 1) (b = 1) = (a b = 1),
dies Produkt a b jeweils nach dem Eliminanden B entwickelnd — so
ergäben sich die [FORMEL] = 1830 Prämissen(systeme), welche bei der
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 355. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/379>, abgerufen am 25.11.2024.
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