Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 32. Vom Gewicht der Aussagen. welchen schon Peirce8 gegeben, und zuvor McColl3 -- indessen blosals eine Subsumtion (implication), statt Gleichung. Man kann ihn dahin aussprechen: Die "Gültigkeitsklasse" der Subsumtion A B ist die Klasse der Anstatt den Satz, wie hier ausgeführt, auf das Prinzip e) zurück- Wegen der Allgemeingültigkeit der Formel 0 B -- kraft Ferner gilt die Subsumtion A B auch, sobald die Aussage B Die Gültigkeitsklasse unsrer Subsumtion ist darnach allerminde- Wenn A gilt und zugleich B nicht gilt, d. h. also in den durch Da aber: Aus dem so gewonnenen Satze l), wofern er als allgemeingültig Die Aussage A B1 ist die Klasse für die Fälle der Ungültigkeit der Von Interesse ist aber noch eine dritte Aussage oder Klasse, § 32. Vom Gewicht der Aussagen. welchen schon Peirce8 gegeben, und zuvor McColl3 — indessen blosals eine Subsumtion (implication), statt Gleichung. Man kann ihn dahin aussprechen: Die „Gültigkeitsklasse“ der Subsumtion A ⊆ B ist die Klasse der Anstatt den Satz, wie hier ausgeführt, auf das Prinzip ε) zurück- Wegen der Allgemeingültigkeit der Formel 0 ⊆ B — kraft Ferner gilt die Subsumtion A ⊆ B auch, sobald die Aussage B Die Gültigkeitsklasse unsrer Subsumtion ist darnach allerminde- Wenn A gilt und zugleich B nicht gilt, d. h. also in den durch Da aber: Aus dem so gewonnenen Satze λ), wofern er als allgemeingültig Die Aussage A B1 ist die Klasse für die Fälle der Ungültigkeit der Von Interesse ist aber noch eine dritte Aussage oder Klasse, <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0093" n="69"/><fw place="top" type="header">§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.</fw><lb/> welchen schon <hi rendition="#g">Peirce</hi><hi rendition="#sup">8</hi> gegeben, und zuvor <hi rendition="#g">McColl</hi><hi rendition="#sup">3</hi> — indessen blos<lb/> als eine Subsumtion (implication), statt Gleichung. Man kann ihn<lb/> dahin aussprechen:</p><lb/> <p><hi rendition="#i">Die</hi> „<hi rendition="#i">Gültigkeitsklasse</hi>“ <hi rendition="#i">der Subsumtion A</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B ist die Klasse der<lb/> Gelegenheiten, wo A nicht gilt</hi>, <hi rendition="#i">oder auch B gilt.</hi></p><lb/> <p>Anstatt den Satz, wie hier ausgeführt, auf das Prinzip <hi rendition="#i">ε</hi>) zurück-<lb/> zuführen, rechtfertigt <hi rendition="#g">Peirce</hi> denselben direkt durch eine Überlegung,<lb/> die wir jetzt ebenfalls anstellen wollen.</p><lb/> <p>Wegen der Allgemeingültigkeit der Formel 0 <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> — kraft<lb/> Def. (2̄<hi rendition="#sub">×</hi>) — ist die Subsumtion <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> jedenfalls immer dann richtig,<lb/> wenn <hi rendition="#i">A</hi> = 0 ist, d. h. wenn die Aussage <hi rendition="#i">A</hi> ungültig ist; dies ist der<lb/> Fall in welchem <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = i ist, oder die Aussage <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> gilt.</p><lb/> <p>Ferner gilt die Subsumtion <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> auch, sobald die Aussage <hi rendition="#i">B</hi><lb/> gilt. Für <hi rendition="#i">B</hi> = i kommt sie nämlich auf die kraft Def. (2̄<hi rendition="#sub">+</hi>) anzuer-<lb/> kennende Formel <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> i hinaus. Mit andern Worten: gilt <hi rendition="#i">B</hi> über-<lb/> haupt, gilt es stets, so gilt es auch dann, wenn <hi rendition="#i">A</hi> gilt.</p><lb/> <p>Die Gültigkeitsklasse unsrer Subsumtion ist darnach allerminde-<lb/> stens <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">B</hi>.</p><lb/> <p>Wenn <hi rendition="#i">A</hi> gilt und zugleich <hi rendition="#i">B</hi> nicht gilt, d. h. also in den durch<lb/> den Ausdruck <hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> zusammengefassten Fällen, ist die Subsumtion jeden-<lb/> falls ungültig.</p><lb/> <p>Da aber:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">B</hi> + <hi rendition="#i">A B</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = i</hi><lb/> nach Th. 33<hi rendition="#sub">+</hi>) Zusatz ist, so sind hiermit alle denkbaren Fälle erschöpft<lb/> und ist dargethan, dass <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">B</hi> die <hi rendition="#i">volle</hi> Gültigkeitsklasse der Subsum-<lb/> tion <hi rendition="#i">A</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">B</hi> sein muss, wie zu zeigen war.</p><lb/> <p>Aus dem so gewonnenen Satze <hi rendition="#i">λ</hi>), wofern er als allgemeingültig<lb/> zugelassen wird, fliesst umgekehrt auch wieder das Prinzip <hi rendition="#i">ε</hi>), indem<lb/> nach bekannten Sätzen — cf. 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§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.
welchen schon Peirce8 gegeben, und zuvor McColl3 — indessen blos
als eine Subsumtion (implication), statt Gleichung. Man kann ihn
dahin aussprechen:
Die „Gültigkeitsklasse“ der Subsumtion A  B ist die Klasse der
Gelegenheiten, wo A nicht gilt, oder auch B gilt.
Anstatt den Satz, wie hier ausgeführt, auf das Prinzip ε) zurück-
zuführen, rechtfertigt Peirce denselben direkt durch eine Überlegung,
die wir jetzt ebenfalls anstellen wollen.
Wegen der Allgemeingültigkeit der Formel 0  B — kraft
Def. (2̄×) — ist die Subsumtion A  B jedenfalls immer dann richtig,
wenn A = 0 ist, d. h. wenn die Aussage A ungültig ist; dies ist der
Fall in welchem A1 = i ist, oder die Aussage A1 gilt.
Ferner gilt die Subsumtion A  B auch, sobald die Aussage B
gilt. Für B = i kommt sie nämlich auf die kraft Def. (2̄+) anzuer-
kennende Formel A  i hinaus. Mit andern Worten: gilt B über-
haupt, gilt es stets, so gilt es auch dann, wenn A gilt.
Die Gültigkeitsklasse unsrer Subsumtion ist darnach allerminde-
stens A1 + B.
Wenn A gilt und zugleich B nicht gilt, d. h. also in den durch
den Ausdruck A B1 zusammengefassten Fällen, ist die Subsumtion jeden-
falls ungültig.
Da aber:
A1 + B + A B1 = i
nach Th. 33+) Zusatz ist, so sind hiermit alle denkbaren Fälle erschöpft
und ist dargethan, dass A1 + B die volle Gültigkeitsklasse der Subsum-
tion A  B sein muss, wie zu zeigen war.
Aus dem so gewonnenen Satze λ), wofern er als allgemeingültig
zugelassen wird, fliesst umgekehrt auch wieder das Prinzip ε), indem
nach bekannten Sätzen — cf. Th. 5̄+) etc. — sein muss:
(A = i) = (i  A) = i1 + A = 0 + A = A.
Die Aussage A B1 ist die Klasse für die Fälle der Ungültigkeit der
Subsumtion A  B; sie ist die Negation der Gültigkeitsklasse A1 + B
indem A B1 = (A1 + B)1. Dieselbe muss verschwinden, wenn die Sub-
sumtion (stets) wahr sein soll — in Übereinstimmung mit Th. 3̅8̅×);
die Gültigkeitsklasse A1 + B der Subsumtion dagegen muss alsdann
gleich i sein (und umgekehrt). Zur Verifikation der Aussage genügt
es jedoch, nur das eine von beiden nachzusehen.
Von Interesse ist aber noch eine dritte Aussage oder Klasse,
nämlich die A1 B.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 69. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/93>, abgerufen am 14.08.2024. |