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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Siebenundzwanzigste Vorlesung.
worin die fünf Gebiete a, b, g, d, e arbiträre Parameter vorstellen;
und zwar kann unter ihnen e noch nach Belieben festgesetzt werden
(z. B. = 0 oder 1) unbeschadet der Allgemeinheit.

Als der übereinstimmende Wert von (x y) z und x (y z) stellt
sich heraus, (indem die Probe stimmt):

b4)
x y z = (a + b + g + d) x y z + {(a b1 + a1 b + a1 b1 g) d + a b e} x y z1 +
+ {(a + b + g) d + a b} x y1 z + {a1 b1 g + (a1 + b1) d + a b e} x y1 z1 +
+ {(a a1 + a1 b + a1 b1 g) d + a b e1} x1 y z + {a1 b1 g + (a1 + b1) d} x1 y z1 +
+ {a1 b1 g + (a1 + b1) d + a b e1} x1 y1 z + a1 b1 g d x1 y1 z1.

Wir substituiren hierin z u für z, um nun auch x y z u
sorgfältig zu berechnen. Hierbei treten merkwürdigerweise alle Koeffi-
zienten bis auf viere doppelt auf:

b5)
 x y z u = (a + b + g) x u · y z + {a1 b1 g + (a + b) d + a b} x u · y1 z1 +
+ [{(a1 + b1) d + a b e} x u1 + {(a1 + b1) d + a b e1} x1 u](y z + y1 z1) +
+ {a1 b1 g + (a b1 + a1 b) d} x1 u1 · y z + a1 b1 g x1 u1 · y1 z1 +
+ [(a b + d) x u + {a1 b1 g + (a b1 + a1 b) d + a b e} x u1 +
+ {a1 b1 g + (a b1 + a1 b) d + a b e1} x1 u + (a1 + b1) d x1 u1](y z1 + y1 z).
Die beiden Glieder in der ersten und resp. in der dritten Zeile würden
sich analog zusammenziehen, wenn
a1 b1 g + (a + b) d + a b = a + b + g, a1 b1 g + (a b1 + a1 b) d = a1 b1 g
wäre; diese beiden Bedingungen laufen aber hinaus auf folgende:
(a b1 + a1 b) d1 = 0, (a b1 + a1 b) d = 0
oder
a = b.

Bedingungslos aber stellt der Ausdruck in der letzten eckigen
Klammer auch seinerseits wieder eine assoziative Knüpfung vor.

Streng geordnet ist

b6)
x y z u = (a + b + g) x y z u + {(a1 + b1) d + a b e} x y z u1 +
+ (a b + d) x y z1 u + {a1 b1 g + (a b1 + a1 b) d + a b e} x y z1 u1 +
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Siebenundzwanzigste Vorlesung.
worin die fünf Gebiete α, β, γ, δ, ε arbiträre Parameter vorstellen;
und zwar kann unter ihnen ε noch nach Belieben festgesetzt werden
(z. B. = 0 oder 1) unbeschadet der Allgemeinheit.

Als der übereinstimmende Wert von (x ∘ y) ∘ z und x ∘ (y ∘ z) stellt
sich heraus, (indem die Probe stimmt):

β4)
x ∘ y ∘ z = (α + β + γ + δ) x y z + {(α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ + α β ε} x y z1 +
+ {(α + β + γ) δ + α β} x y1 z + {α1 β1 γ + (α1 + β1) δ + α β ε} x y1 z1 +
+ {(α α1 + α1 β + α1 β1 γ) δ + α β ε1} x1 y z + {α1 β1 γ + (α1 + β1) δ} x1 y z1 +
+ {α1 β1 γ + (α1 + β1) δ + α β ε1} x1 y1 z + α1 β1 γ δ x1 y1 z1.

Wir substituiren hierin z ∘ u für z, um nun auch x ∘ y ∘ z ∘ u
sorgfältig zu berechnen. Hierbei treten merkwürdigerweise alle Koeffi-
zienten bis auf viere doppelt auf:

β5)
 x ∘ y ∘ z ∘ u = (α + β + γ) x u · y z + {α1 β1 γ + (α + β) δ + α β} x u · y1 z1 +
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+ {α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ} x1 u1 · y z + α1 β1 γ x1 u1 · y1 z1 +
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+ {α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε1} x1 u + (α1 + β1) δ x1 u1](y z1 + y1 z).
Die beiden Glieder in der ersten und resp. in der dritten Zeile würden
sich analog zusammenziehen, wenn
α1 β1 γ + (α + β) δ + α β = α + β + γ, α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ = α1 β1 γ
wäre; diese beiden Bedingungen laufen aber hinaus auf folgende:
(α β1 + α1 β) δ1 = 0, (α β1 + α1 β) δ = 0
oder
α = β.

Bedingungslos aber stellt der Ausdruck in der letzten eckigen
Klammer auch seinerseits wieder eine assoziative Knüpfung vor.

Streng geordnet ist

β6)
x ∘ y ∘ z ∘ u = (α + β + γ) x y z u + {(α1 + β1) δ + α β ε} x y z u1 +
+ (α β + δ) x y z1 u + {α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε} x y z1 u1 +
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[496/0140] Siebenundzwanzigste Vorlesung. worin die fünf Gebiete α, β, γ, δ, ε arbiträre Parameter vorstellen; und zwar kann unter ihnen ε noch nach Belieben festgesetzt werden (z. B. = 0 oder 1) unbeschadet der Allgemeinheit. Als der übereinstimmende Wert von (x ∘ y) ∘ z und x ∘ (y ∘ z) stellt sich heraus, (indem die Probe stimmt): β4)x ∘ y ∘ z = (α + β + γ + δ) x y z + {(α β1 + α1 β + α1 β1 γ) δ + α β ε} x y z1 + + {(α + β + γ) δ + α β} x y1 z + {α1 β1 γ + (α1 + β1) δ + α β ε} x y1 z1 + + {(α α1 + α1 β + α1 β1 γ) δ + α β ε1} x1 y z + {α1 β1 γ + (α1 + β1) δ} x1 y z1 + + {α1 β1 γ + (α1 + β1) δ + α β ε1} x1 y1 z + α1 β1 γ δ x1 y1 z1. Wir substituiren hierin z ∘ u für z, um nun auch x ∘ y ∘ z ∘ u sorgfältig zu berechnen. Hierbei treten merkwürdigerweise alle Koeffi- zienten bis auf viere doppelt auf: β5) x ∘ y ∘ z ∘ u = (α + β + γ) x u · y z + {α1 β1 γ + (α + β) δ + α β} x u · y1 z1 + + [{(α1 + β1) δ + α β ε} x u1 + {(α1 + β1) δ + α β ε1} x1 u](y z + y1 z1) + + {α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ} x1 u1 · y z + α1 β1 γ x1 u1 · y1 z1 + + [(α β + δ) x u + {α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε} x u1 + + {α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε1} x1 u + (α1 + β1) δ x1 u1](y z1 + y1 z). Die beiden Glieder in der ersten und resp. in der dritten Zeile würden sich analog zusammenziehen, wenn α1 β1 γ + (α + β) δ + α β = α + β + γ, α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ = α1 β1 γ wäre; diese beiden Bedingungen laufen aber hinaus auf folgende: (α β1 + α1 β) δ1 = 0, (α β1 + α1 β) δ = 0 oder α = β. Bedingungslos aber stellt der Ausdruck in der letzten eckigen Klammer auch seinerseits wieder eine assoziative Knüpfung vor. Streng geordnet ist β6) x ∘ y ∘ z ∘ u = (α + β + γ) x y z u + {(α1 + β1) δ + α β ε} x y z u1 + + (α β + δ) x y z1 u + {α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε} x y z1 u1 + + (α β + δ) x y1 z u + {α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε} x y1 z u1 + + {α1 β1 γ + (α + β) δ + α β} x y1 z1 u + {(α1 + β1) δ + α β ε} x y1 z1 u1 + + {(α1 + β1) δ + α β ε1} x1 y z u + {α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ} x1 y z u1 + + {α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε1} x1 y z1 u + (α1 + β1) δ x1 y z1 u1 + + {α1 β1 γ + (α β1 + α1 β) δ + α β ε1} x1 y1 z u + (α1 + β1) δ x1 y1 z u1 + + {(α1 + β1) δ + α β ε1} x1 y1 z1 u + α1 β1 γ x1 y1 z1 u1.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 496. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/140>, abgerufen am 27.11.2024.