Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Nun ist die analoge Veranschaulichung des Integrationsbereiches
(als eines von verschiedenen Flächen begrenzten Raumes) bei einer
dreifachen Ausdehnung desselben schon nicht mehr so leicht durch-
führbar; bei vier- oder mehrfacher Dimension des Bereiches, wie sie
der Erstreckung eines vier- oder mehrfachen Integrales zukommen wird,
ist sie überhaupt nicht thunlich.

Unter allen Umständen aber ist das ganze Veranschaulichungs-
verfahren, die Berufung auf die Anschauung, als ein Notbehelf zu
qualifiziren, welcher nicht der Würde einer Wissenschaft entspricht,
die ein rein analytisches Problem auch auf rein analytischem Wege --
somit rechnend oder schliessend -- lösen sollte. Auch kommen Fälle
vor, wo die auf dem "Schein" basirende Anschauung trügerisch ist.

Darum verlohnt es, nach einer Methode auszuschauen, gemäss
welcher die verschiedenen Teilintegrale, in die ein gegebenes mehrfaches
Integral bei vorgeschriebener Abänderung der Integrationsfolge eventuell
zerfällt, samt ihren verschiedenen Grenzen, zu finden sind in mechanischer
Rechenarbeit nach bestimmten und allgemein gültigen Schemata. Dies
aber leistet die McColl'sche Methode und zwar -- nach einer an-
zubringenden Berichtigung (siehe unten sub "Regel 3") -- in einer, wie
es scheint, schon nahezu vollendeten Weise.

An dem Beispiel lässt sich sogleich erkennen, dass die Methode
weiter nichts als ein gewisses Transformationsproblem des Aussagen-
kalkuls zu lösen hat: Es handelt sich um geeignete Umformung der
Aussage:
"Der Punkt x, y fällt in das Integrationsbereich hinein."

Diese Aussage A erscheint in der That bei dem Doppelintegrale
linkerhand zunächst gegeben in der Gestalt:
A, = (a < x < 2 a) (x -- a < y < x + a);
nachdem aber die Umkehrung der Integrationsordnung geleistet ist, mithin
bei der Summe dreier Doppelintegrale rechterhand, erscheint dieselbe Aus-
sage in der Form statuirt:
A, = (0 < y < a) (a < x < a + y) + (a < y < 2 a) (a < x < 2 a) +
+ (2 a < y < 3 a) (y -- a < x < 2 a);
und umgekehrt würden wir, sobald einmal die letztere Form der Aussage A
gefunden wäre, leicht im Stande sein, den gesuchten Ausdruck rechterhand
hinzuschreiben und somit bei dem Doppelintegrale links die Umkehrung der
Integrationsfolge zu leisten.

Nun ist die analoge Veranschaulichung des Integrationsbereiches
(als eines von verschiedenen Flächen begrenzten Raumes) bei einer
dreifachen Ausdehnung desselben schon nicht mehr so leicht durch-
führbar; bei vier- oder mehrfacher Dimension des Bereiches, wie sie
der Erstreckung eines vier- oder mehrfachen Integrales zukommen wird,
ist sie überhaupt nicht thunlich.

Unter allen Umständen aber ist das ganze Veranschaulichungs-
verfahren, die Berufung auf die Anschauung, als ein Notbehelf zu
qualifiziren, welcher nicht der Würde einer Wissenschaft entspricht,
die ein rein analytisches Problem auch auf rein analytischem Wege —
somit rechnend oder schliessend — lösen sollte. Auch kommen Fälle
vor, wo die auf dem „Schein“ basirende Anschauung trügerisch ist.

Darum verlohnt es, nach einer Methode auszuschauen, gemäss
welcher die verschiedenen Teilintegrale, in die ein gegebenes mehrfaches
Integral bei vorgeschriebener Abänderung der Integrationsfolge eventuell
zerfällt, samt ihren verschiedenen Grenzen, zu finden sind in mechanischer
Rechenarbeit nach bestimmten und allgemein gültigen Schemata. Dies
aber leistet die McColl’sche Methode und zwar — nach einer an-
zubringenden Berichtigung (siehe unten sub „Regel 3“) — in einer, wie
es scheint, schon nahezu vollendeten Weise.

An dem Beispiel lässt sich sogleich erkennen, dass die Methode
weiter nichts als ein gewisses Transformationsproblem des Aussagen-
kalkuls zu lösen hat: Es handelt sich um geeignete Umformung der
Aussage:
„Der Punkt x, y fällt in das Integrationsbereich hinein.“

Diese Aussage A erscheint in der That bei dem Doppelintegrale
linkerhand zunächst gegeben in der Gestalt:
A, = (a < x < 2 a) (x — a < y < x + a);
nachdem aber die Umkehrung der Integrationsordnung geleistet ist, mithin
bei der Summe dreier Doppelintegrale rechterhand, erscheint dieselbe Aus-
sage in der Form statuirt:
A, = (0 < y < a) (a < x < a + y) + (a < y < 2 a) (a < x < 2 a) +
+ (2 a < y < 3 a) (y — a < x < 2 a);
und umgekehrt würden wir, sobald einmal die letztere Form der Aussage A
gefunden wäre, leicht im Stande sein, den gesuchten Ausdruck rechterhand
hinzuschreiben und somit bei dem Doppelintegrale links die Umkehrung der
Integrationsfolge zu leisten.