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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 7.
und ferner alle diese Aussagen miteinander unverträglich sein werden,
die Alternative zwischen ihnen aber alle Möglichkeiten umfassen wird,
wie es die Formeln aussprechen:
i1) 0 = a2' a4' = a2' a6' = a4' a6' = ...
k1) 1 = a2' + a4' + a6' + ...

In der That ist nämlich jederzeit irgend einer von den Zahlwerten
x2, x4, x6, ... der kleinste unter ihnen (da die Fälle des Gleichseins
zweier ausser Betracht bleiben dürfen), und dann ist es keiner von den
übrigen; damit aber x kleiner sei als sie alle, muss es und braucht es
blos den jeweiligen kleinsten derselben zu untertreffen.

Im übrigen wären, um die Sätze wieder rechnerisch zu beweisen, alle
die Betrachtungen zu wiederholen, die wir Seite 555 ff. zur Regel 1 geben.

Die Regeln 1 und 2 bleiben natürlich auch in Kraft, wenn einer
der in ihnen erwähnten Grenzen, -- etwa der letzten unter ihnen, der
Wert 0 zukommen sollte. Man darf m. a. W. den ungeraden sowol
als den geraden Indices, wenn man will, auch den Index 0 zugesellen,
denselben im letzteren Falle bei den Aussagensymbolen als 0' accen-
tuirend.

Die dritte Regel McColl's bezieht sich auf die Konkurrenz, das
Zusammentreffen irgend einer unteren mit einer oberen Grenze für x.

Regel 3. Stets ist:
l1) x2', 1 = x2', 1 · p (x2 -- x1),
worin uns 2 und 1 irgend zwei Indices vertreten mögen.

Beweis. x2', 1 bedeutet: p' (x -- x2) p (x -- x1) oder die Aussage,
dass gleichzeitig x -- x2 < 0 und x -- x1 > 0 sei. Dann ist aber
x1 < x < x2 und damit a fortiori x1 < x2, x2 -- x1 > 0, d. h. es gilt
p (x2 -- x1). Somit ist gezeigt dass:
x2', 1 p (x2 -- x1)
ist, was sich nach Th. 20x) in die oben der Regel 3 gegebene Fassung
umschreibt, q. e. d.

Zu deutsch: ist x1 untere und x2 obere Grenze für x, so muss natür-
lich diese grösser sein als jene, sofern es wirklich ein x gibt, welches erstere
über- und zugleich letztere unterschreitet; gibt es aber ein solches x nicht,
so haben (für jedes x) die beiden Seiten der behaupteten Aussagenäqui-
valenz den Wert 0 und diese besteht gleichwol zu Recht.

Nach dieser Regel -- mögen wir nun sagen -- "kooptirt" ein
Symbol von der Form xk', l jedesmal einen gewissen Faktor: p (xk -- xl),

Anhang 7.
und ferner alle diese Aussagen miteinander unverträglich sein werden,
die Alternative zwischen ihnen aber alle Möglichkeiten umfassen wird,
wie es die Formeln aussprechen:
ι1) 0 = α2' α4' = α2' α6' = α4' α6' = …
ϰ1) 1̇ = α2' + α4' + α6' + …

In der That ist nämlich jederzeit irgend einer von den Zahlwerten
x2, x4, x6, … der kleinste unter ihnen (da die Fälle des Gleichseins
zweier ausser Betracht bleiben dürfen), und dann ist es keiner von den
übrigen; damit aber x kleiner sei als sie alle, muss es und braucht es
blos den jeweiligen kleinsten derselben zu untertreffen.

Im übrigen wären, um die Sätze wieder rechnerisch zu beweisen, alle
die Betrachtungen zu wiederholen, die wir Seite 555 ff. zur Regel 1 geben.

Die Regeln 1 und 2 bleiben natürlich auch in Kraft, wenn einer
der in ihnen erwähnten Grenzen, — etwa der letzten unter ihnen, der
Wert 0 zukommen sollte. Man darf m. a. W. den ungeraden sowol
als den geraden Indices, wenn man will, auch den Index 0 zugesellen,
denselben im letzteren Falle bei den Aussagensymbolen als 0' accen-
tuirend.

Die dritte Regel McColl’s bezieht sich auf die Konkurrenz, das
Zusammentreffen irgend einer unteren mit einer oberen Grenze für x.

Regel 3. Stets ist:
λ1) x2', 1 = x2', 1 · p (x2 — x1),
worin uns 2 und 1 irgend zwei Indices vertreten mögen.

Beweis. x2', 1 bedeutet: p' (x — x2) p (x — x1) oder die Aussage,
dass gleichzeitig x — x2 < 0 und x — x1 > 0 sei. Dann ist aber
x1 < x < x2 und damit a fortiori x1 < x2, x2 — x1 > 0, d. h. es gilt
p (x2 — x1). Somit ist gezeigt dass:
x2', 1 p (x2 — x1)
ist, was sich nach Th. 2̅0̅×) in die oben der Regel 3 gegebene Fassung
umschreibt, q. e. d.

Zu deutsch: ist x1 untere und x2 obere Grenze für x, so muss natür-
lich diese grösser sein als jene, sofern es wirklich ein x gibt, welches erstere
über- und zugleich letztere unterschreitet; gibt es aber ein solches x nicht,
so haben (für jedes x) die beiden Seiten der behaupteten Aussagenäqui-
valenz den Wert 0 und diese besteht gleichwol zu Recht.

Nach dieser Regel — mögen wir nun sagen — „kooptirt“ ein
Symbol von der Form xϰ', λ jedesmal einen gewissen Faktor: p (xϰ — xλ),

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[530/0174] Anhang 7. und ferner alle diese Aussagen miteinander unverträglich sein werden, die Alternative zwischen ihnen aber alle Möglichkeiten umfassen wird, wie es die Formeln aussprechen: ι1) 0 = α2' α4' = α2' α6' = α4' α6' = … ϰ1) 1̇ = α2' + α4' + α6' + … In der That ist nämlich jederzeit irgend einer von den Zahlwerten x2, x4, x6, … der kleinste unter ihnen (da die Fälle des Gleichseins zweier ausser Betracht bleiben dürfen), und dann ist es keiner von den übrigen; damit aber x kleiner sei als sie alle, muss es und braucht es blos den jeweiligen kleinsten derselben zu untertreffen. Im übrigen wären, um die Sätze wieder rechnerisch zu beweisen, alle die Betrachtungen zu wiederholen, die wir Seite 555 ff. zur Regel 1 geben. Die Regeln 1 und 2 bleiben natürlich auch in Kraft, wenn einer der in ihnen erwähnten Grenzen, — etwa der letzten unter ihnen, der Wert 0 zukommen sollte. Man darf m. a. W. den ungeraden sowol als den geraden Indices, wenn man will, auch den Index 0 zugesellen, denselben im letzteren Falle bei den Aussagensymbolen als 0' accen- tuirend. Die dritte Regel McColl’s bezieht sich auf die Konkurrenz, das Zusammentreffen irgend einer unteren mit einer oberen Grenze für x. Regel 3. Stets ist: λ1) x2', 1 = x2', 1 · p (x2 — x1), worin uns 2 und 1 irgend zwei Indices vertreten mögen. Beweis. x2', 1 bedeutet: p' (x — x2) p (x — x1) oder die Aussage, dass gleichzeitig x — x2 < 0 und x — x1 > 0 sei. Dann ist aber x1 < x < x2 und damit a fortiori x1 < x2, x2 — x1 > 0, d. h. es gilt p (x2 — x1). Somit ist gezeigt dass: x2', 1 p (x2 — x1) ist, was sich nach Th. 2̅0̅×) in die oben der Regel 3 gegebene Fassung umschreibt, q. e. d. Zu deutsch: ist x1 untere und x2 obere Grenze für x, so muss natür- lich diese grösser sein als jene, sofern es wirklich ein x gibt, welches erstere über- und zugleich letztere unterschreitet; gibt es aber ein solches x nicht, so haben (für jedes x) die beiden Seiten der behaupteten Aussagenäqui- valenz den Wert 0 und diese besteht gleichwol zu Recht. Nach dieser Regel — mögen wir nun sagen — „kooptirt“ ein Symbol von der Form xϰ', λ jedesmal einen gewissen Faktor: p (xϰ — xλ),

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 530. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/174>, abgerufen am 21.11.2024.