Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc. diese Grenzen ist McColl's unter a1), b1) beschriebene Symbolik an-zuwenden; sie sind, mit xk', ... xr, ... bezeichnet, in eine "Grenzen- tabelle" einzutragen, und unter Bezugnahme auf diese Tabelle wird ein jedes Glied von A sich in der Form präsentiren: o xk', l', m', ... r, s, ..., worin o eine irgendwie aus Ungleichungen zusammengesetzte Aussage vorstellt (eventuell die 1), in welcher die Variable x nicht mehr vor- kommt. Nach Regel 1 und 2 mögen wir aber hiefür schreiben: Nunmehr ist, wie wir sagen wollen, A "entwickelt" nach der Nunmehr braucht man, um etwa die Integration nach einer zweiten Zum Beispiel für unser vierfaches Integral J wird nach so voll- McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. diese Grenzen ist McColl’s unter α1), β1) beschriebene Symbolik an-zuwenden; sie sind, mit xϰ', … xϱ, … bezeichnet, in eine „Grenzen- tabelle“ einzutragen, und unter Bezugnahme auf diese Tabelle wird ein jedes Glied von A sich in der Form präsentiren: ω xϰ', λ', μ', … ϱ, σ, …, worin ω eine irgendwie aus Ungleichungen zusammengesetzte Aussage vorstellt (eventuell die 1̇), in welcher die Variable x nicht mehr vor- kommt. Nach Regel 1 und 2 mögen wir aber hiefür schreiben: Nunmehr ist, wie wir sagen wollen, A „entwickelt“ nach der Nunmehr braucht man, um etwa die Integration nach einer zweiten Zum Beispiel für unser vierfaches Integral J wird nach so voll- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0181" n="537"/><fw place="top" type="header">McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.</fw><lb/> diese Grenzen ist <hi rendition="#g">McColl’</hi>s unter <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi>), <hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) beschriebene Symbolik an-<lb/> zuwenden; sie sind, mit <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">ϰ</hi>'</hi>, … <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">ϱ</hi></hi>, … bezeichnet, in eine „<hi rendition="#i">Grenzen-<lb/> tabelle</hi>“ einzutragen, und unter Bezugnahme auf diese Tabelle wird ein<lb/> jedes Glied von <hi rendition="#i">A</hi> sich in der Form präsentiren:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">ω x</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">ϰ</hi>', <hi rendition="#i">λ</hi>', <hi rendition="#i">μ</hi>', … <hi rendition="#i">ϱ</hi>, <hi rendition="#i">σ</hi>, …</hi>,</hi><lb/> worin <hi rendition="#i">ω</hi> eine irgendwie aus Ungleichungen zusammengesetzte Aussage<lb/> vorstellt (eventuell die 1̇), in welcher die Variable <hi rendition="#i">x</hi> nicht mehr vor-<lb/> kommt.</p><lb/> <p>Nach Regel 1 und 2 mögen wir aber hiefür schreiben:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">ω</hi> (<hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">ϰ</hi>'</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">ϰ</hi>'</hi> + <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">λ</hi>'</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">λ</hi>'</hi> + <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">μ</hi>'</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">μ</hi>'</hi> + …) (<hi rendition="#i">α<hi rendition="#sup">ϱ</hi> x<hi rendition="#sub">ϱ</hi></hi> + <hi rendition="#i">α<hi rendition="#sup">σ</hi> x<hi rendition="#sub">σ</hi></hi> + …)</hi><lb/> und durch Ausmultipliziren dies weiter verwandeln in ein Aggregat von<lb/> Gliedern der Form<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">ω α</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">ϰ</hi>'</hi><hi rendition="#i">α<hi rendition="#sup">ϱ</hi> x</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">ϰ</hi>', <hi rendition="#i">ϱ</hi></hi></hi><lb/> was nach Regel 3 äquivalent ist:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">ω α</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">ϰ</hi>'</hi><hi rendition="#i">α<hi rendition="#sup">ϱ</hi> p</hi> (<hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">ϰ</hi></hi> — <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">ϱ</hi></hi>) · <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">ϰ</hi>', <hi rendition="#i">ϱ</hi></hi></hi><lb/> indem der zugezogene Faktor <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">ϰ</hi></hi> — <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">ϱ</hi></hi>) die notwendige und hinreichende<lb/> Bedingung ausdrückt, welche den übrigen Variabeln (und ev. 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McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
diese Grenzen ist McColl’s unter α1), β1) beschriebene Symbolik an-
zuwenden; sie sind, mit xϰ', … xϱ, … bezeichnet, in eine „Grenzen-
tabelle“ einzutragen, und unter Bezugnahme auf diese Tabelle wird ein
jedes Glied von A sich in der Form präsentiren:
ω xϰ', λ', μ', … ϱ, σ, …,
worin ω eine irgendwie aus Ungleichungen zusammengesetzte Aussage
vorstellt (eventuell die 1̇), in welcher die Variable x nicht mehr vor-
kommt.
Nach Regel 1 und 2 mögen wir aber hiefür schreiben:
ω (αϰ' xϰ' + αλ' xλ' + αμ' xμ' + …) (αϱ xϱ + ασ xσ + …)
und durch Ausmultipliziren dies weiter verwandeln in ein Aggregat von
Gliedern der Form
ω αϰ' αϱ xϰ', ϱ
was nach Regel 3 äquivalent ist:
ω αϰ' αϱ p (xϰ — xϱ) · xϰ', ϱ
indem der zugezogene Faktor p (xϰ — xϱ) die notwendige und hinreichende
Bedingung ausdrückt, welche den übrigen Variabeln (und ev. Parametern)
auferlegt wird durch die Forderung, dass es ein x gebe, welches xϱ
über- und zugleich xϰ untertrifft.
Nunmehr ist, wie wir sagen wollen, A „entwickelt“ nach der
Integrationsvariabeln x; es besteht aus lauter — in McColl’s Ausdrucks-
weise — (nach x) „elementaren“ Termen, nämlich Gliedern von der
Form:
χ xϰ', ϱ
worin χ eine höchstens die übrigen Integrationsvariabeln betreffende
Forderung ausspricht, deren Erfülltsein aber kraft des einverleibten
Faktors p (xϰ — xϱ) zugleich die Existenz eines die andre Forderung:
xϰ', ϱ oder: xϱ < x < xϰ
erfüllenden x verbürgt.
Nunmehr braucht man, um etwa die Integration nach einer zweiten
Variabeln y zur vorletzten zu machen, blos jeden Koeffizienten hin-
sichtlich des y ebenso zu behandeln, wie zuvor das allgemeine Glied
von A bezüglich des x; man braucht nur mehr diese Koeffizienten
noch nach y zu „entwickeln“. Und so weiter.
Zum Beispiel für unser vierfaches Integral J wird nach so voll-
zogener Umkehrung der Integrationsfolge die Integralaussage A sich
schliesslich darstellen als eine Summe von lauter Gliedern der Form:
ψ zτ', υ yϱ', σ xμ', ν wϰ', λ
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 537. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/181>, abgerufen am 18.02.2025. |