Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Für jeden Fall wird hienach das Endergebniss leicht und zweifels-
ohne hinzuschreiben sein, sobald nur die Bedingungen ps einander gegen-
seitig ausschliessen. Dies thun sie aber sicher bei all' den Gliedern,
die von der "Entwickelung" eines einzigen Terms o xk', ... r, ... von A
herrühren. Denn da die Summen ak' + al' + ... und ar + as + ...
"reduzirte" sind, nämlich aus "disjunkten" oder miteinander "inkonsistenten"
Gliederaussagen nach e1) und i1) sich zusammensetzen, so muss nach
einem Hülfssatze McColl's (Zusatz 3, Bd. 1, S. 295) auch deren expandirtes
Produkt eine reduzirte Summe sein, es müssen auch die Produkte ak' ar
und damit die Koeffizienten kh des "nach x entwickelten" Terms von A
durchweg unter sich inkonsistent sein, und dasselbe gilt dann ebenso weiter
von den Koeffizienten der Entwickelung ebendieses kh nach y, und so
fort bis herab zu den Koeffizienten ps auch der letzten Entwickelung
nach der zur ersten gemachten Integrationsvariablen.

Desgleichen muss gegenseitiges Ausschliessen zwischen den Koeffi-
zienten der Endaussage A vorliegen bei dem uns hier beschäftigenden
Problem der Integrationsfolge-Umkehrung, wofern man nur bei dem
Aufbrechen der vorkommenden Ungleichungen richtig dichotomisch
zuwerke gegangen, nämlich Sorge getragen, schon hier stets mit ein-
ander ausschliessenden Bedingungen zu operiren -- solche nötigenfalls
nach Th. 33+) Zusatz oder den Methoden des § 19 "entwickelnd". Ob-
zwar nämlich mehrere Terme von der vorhin betrachteten Form in A
dann vorhanden sein mögen, so werden diese doch in ihren Koeffizienten,
je zu zweien verglichen, durch solche Faktoren sich unterscheiden, die
als Negationen von einander zum Produkte 0 geben, und diese werden
sich auf alle Unterterme mit übertragen, in welche man sie noch weiter-
hin zerlegen mag -- sodass zwei Unterterme disjunkte Koeffizienten
haben, auch wenn sie aus verschiedenen Termen des A herrühren.
Mithin bleiben alle Koeffizienten dann stetsfort disjunkt.

Hiermit dürfte das praktisch Wichtige erledigt sein.

Theoretisch könnte freilich auch ein Fall vorliegen, wo die das
Integrationsbereich bestimmende Ur-Aussage ganz ad libitum gegeben ist,
und wo die Endkoeffizienten ps nicht mehr disjunkt ausfallen. Man
"entwickele" sie dann nach den vorkommenden Parameterungleichungen
in disjunkte Glieder und ziehe die gleichnamigen unter diesen aus der ganzen
Aussage A zusammen, die als Kofaktor auftretende Konstituentensumme

Für jeden Fall wird hienach das Endergebniss leicht und zweifels-
ohne hinzuschreiben sein, sobald nur die Bedingungen ψ einander gegen-
seitig ausschliessen. Dies thun sie aber sicher bei all’ den Gliedern,
die von der „Entwickelung“ eines einzigen Terms ω xϰ', … ϱ, … von A
herrühren. Denn da die Summen αϰ' + αλ' + … und αϱ + ασ + …
„reduzirte“ sind, nämlich aus „disjunkten“ oder miteinander „inkonsistenten“
Gliederaussagen nach ε1) und ι1) sich zusammensetzen, so muss nach
einem Hülfssatze McColl’s (Zusatz 3, Bd. 1, S. 295) auch deren expandirtes
Produkt eine reduzirte Summe sein, es müssen auch die Produkte αϰ' αϱ
und damit die Koeffizienten χ des „nach x entwickelten“ Terms von A
durchweg unter sich inkonsistent sein, und dasselbe gilt dann ebenso weiter
von den Koeffizienten der Entwickelung ebendieses χ nach y, und so
fort bis herab zu den Koeffizienten ψ auch der letzten Entwickelung
nach der zur ersten gemachten Integrationsvariablen.

Desgleichen muss gegenseitiges Ausschliessen zwischen den Koeffi-
zienten der Endaussage A vorliegen bei dem uns hier beschäftigenden
Problem der Integrationsfolge-Umkehrung, wofern man nur bei dem
Aufbrechen der vorkommenden Ungleichungen richtig dichotomisch
zuwerke gegangen, nämlich Sorge getragen, schon hier stets mit ein-
ander ausschliessenden Bedingungen zu operiren — solche nötigenfalls
nach Th. 3̅3̅+) Zusatz oder den Methoden des § 19 „entwickelnd“. Ob-
zwar nämlich mehrere Terme von der vorhin betrachteten Form in A
dann vorhanden sein mögen, so werden diese doch in ihren Koeffizienten,
je zu zweien verglichen, durch solche Faktoren sich unterscheiden, die
als Negationen von einander zum Produkte 0 geben, und diese werden
sich auf alle Unterterme mit übertragen, in welche man sie noch weiter-
hin zerlegen mag — sodass zwei Unterterme disjunkte Koeffizienten
haben, auch wenn sie aus verschiedenen Termen des A herrühren.
Mithin bleiben alle Koeffizienten dann stetsfort disjunkt.

Hiermit dürfte das praktisch Wichtige erledigt sein.

Theoretisch könnte freilich auch ein Fall vorliegen, wo die das
Integrationsbereich bestimmende Ur-Aussage ganz ad libitum gegeben ist,
und wo die Endkoeffizienten ψ nicht mehr disjunkt ausfallen. Man
„entwickele“ sie dann nach den vorkommenden Parameterungleichungen
in disjunkte Glieder und ziehe die gleichnamigen unter diesen aus der ganzen
Aussage A zusammen, die als Kofaktor auftretende Konstituentensumme