Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Die Auswahl der also weiterhin noch hinter den Strich tretenden
Elementepaare hat man sich so getroffen zu denken, dass von den "Gegen-
paaren" k k' und k' k resp. l l' und l' l, die sich in den Matrizen, als da
sind die
"zweite": [Formel 4] und die "dritte": [Formel 5]
über die Diagonale symmetrisch gegenüberstehen, je immer nur eines ge-
nommen ist.

[Mit 1 -- wäre leicht pedantisch zu zeigen -- kann nun kein Cyklus
beginnen. Man kann nämlich mittelst geeigneter Aushebung von Elemente-
paaren von jedem 1 d allerdings zu jedem 1 d' in der "zweiten" Matrize
gelangen, und ebenso von jedem l 1 zu jedem l' 1 innerhalb der dritten --
zwischen welchen beiden Matrizen, weil sie kein Element gemein haben, nie
ein Anschluss möglich ist. Also müsste man sich behufs Herstellung eines
Anschlusses der "ersten" Matrize bedienen, welche aber ein 1 k mittelst
ihres l k nicht mit einem l 1 zu verbinden vermag.

Zwischen den Elementepaaren der zweiten Matrize sind solche Aus-
hebungen möglich, bei denen ein Cyklus entsteht -- wie 23, 34, 42, etc.,
und dergleichen mehr -- aber auch solche Aushebungen sind möglich, bei
denen keiner entsteht -- wie z. B., wenn man alle Elementepaare, die
oberhalb der Diagonale stehen, auswählte.

Der Beweis muss sich hiernach dahin zuspitzen, dass gezeigt wird,
wie unter den Voraussetzungen des Satzes notwendig aus den Elementen l
der dritten Matrize sich Cyklen herstellen lassen, wie immer man auch die
Elementepaare, jenen Voraussetzungen entsprechend, daselbst ausgewählt
denken, sie "ausheben" mag. Und dies gelingt unschwer wie folgt.]

Es dürfen aus der dritten Matrize keinenfalles die Elementepaare
sämtlich ausgehoben werden, die auf einer Zeile beisammenstehn; denn ist l
das in den Elementepaaren einer solchen Zeile voranstehende Element, so
beginnen mit l erstens das Elementepaar l 1, zweitens die h Elemente-
paare l d der ersten Matrize und drittens die k -- 1 = n -- h -- 2 Elemente-
paare l l' der gedachten Zeile in unsrer dritten Matrize, sonach im Ganzen
alle 1 + h + (n -- h -- 2) = n -- 1 Elementepaare, welche l überhaupt
enthalten -- entgegen den Voraussetzungen unsres Satzes.

Nunmehr mögen wir von allem übrigen absehen und unsre Aufmerksamkeit
ganz auf die dritte Matrize konzentriren. Wird wieder n -- h -- 1 = k
genannt, so sind von den k (k -- 1) Elementepaaren l l' in derselben [Formel 6]
so auszuheben, dass alle Kombinationen ihrer k Elemente l (oder 7, 8, 9, 0)
je einmal vertreten sind, in den ausgehobenen jedoch keines der Elemente

Die Auswahl der also weiterhin noch hinter den Strich tretenden
Elementepaare hat man sich so getroffen zu denken, dass von den „Gegen-
paaren“ ϰ ϰ' und ϰ' ϰ resp. λ λ' und λ' λ, die sich in den Matrizen, als da
sind die
„zweite“: [Formel 4] und die „dritte“: [Formel 5]
über die Diagonale symmetrisch gegenüberstehen, je immer nur eines ge-
nommen ist.

[Mit 1 — wäre leicht pedantisch zu zeigen — kann nun kein Cyklus
beginnen. Man kann nämlich mittelst geeigneter Aushebung von Elemente-
paaren von jedem 1 ð allerdings zu jedem 1 ð' in der „zweiten“ Matrize
gelangen, und ebenso von jedem λ 1 zu jedem λ' 1 innerhalb der dritten —
zwischen welchen beiden Matrizen, weil sie kein Element gemein haben, nie
ein Anschluss möglich ist. Also müsste man sich behufs Herstellung eines
Anschlusses der „ersten“ Matrize bedienen, welche aber ein 1 ϰ mittelst
ihres λ ϰ nicht mit einem λ 1 zu verbinden vermag.

Zwischen den Elementepaaren der zweiten Matrize sind solche Aus-
hebungen möglich, bei denen ein Cyklus entsteht — wie 23, 34, 42, etc.,
und dergleichen mehr — aber auch solche Aushebungen sind möglich, bei
denen keiner entsteht — wie z. B., wenn man alle Elementepaare, die
oberhalb der Diagonale stehen, auswählte.

Der Beweis muss sich hiernach dahin zuspitzen, dass gezeigt wird,
wie unter den Voraussetzungen des Satzes notwendig aus den Elementen λ
der dritten Matrize sich Cyklen herstellen lassen, wie immer man auch die
Elementepaare, jenen Voraussetzungen entsprechend, daselbst ausgewählt
denken, sie „ausheben“ mag. Und dies gelingt unschwer wie folgt.]

Es dürfen aus der dritten Matrize keinenfalles die Elementepaare
sämtlich ausgehoben werden, die auf einer Zeile beisammenstehn; denn ist λ
das in den Elementepaaren einer solchen Zeile voranstehende Element, so
beginnen mit λ erstens das Elementepaar λ 1, zweitens die h Elemente-
paare λ ð der ersten Matrize und drittens die k — 1 = n — h — 2 Elemente-
paare λ λ' der gedachten Zeile in unsrer dritten Matrize, sonach im Ganzen
alle 1 + h + (n — h — 2) = n — 1 Elementepaare, welche λ überhaupt
enthalten — entgegen den Voraussetzungen unsres Satzes.

Nunmehr mögen wir von allem übrigen absehen und unsre Aufmerksamkeit
ganz auf die dritte Matrize konzentriren. Wird wieder n — h — 1 = k
genannt, so sind von den k (k — 1) Elementepaaren λ λ' in derselben [Formel 6]
so auszuheben, dass alle Kombinationen ihrer k Elemente λ (oder 7, 8, 9, 0)
je einmal vertreten sind, in den ausgehobenen jedoch keines der Elemente