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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Wir verstehen unter den Buchstaben a, b, c, ... wie früher Ge-
biete einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit, oder etwa auch Klassen,
nennen dieselben aber nun "Elemente" (der Rechnung) -- "entities" of
the system --.

a) Eine zusammengesetzte Operation des identischen Kalkuls,
welche drei Elemente symmetrisch verknüpft, möge mittelst eckiger
Klammern durch das Symbol [a b c] dargestellt und wie folgt definirt
werden:
K 50. [a b c] = a b + a c = b c = (a + b) (a + c) (b + c).

Die Chiffren der Kempe'schen Sätze -- "sections" oder "paragraphs" --
citire ich mit K. Dieselben gehen bis 158.

Dass nämlich die beiden letzten Ausdrücke übereinstimmen, wurde
in § 18, ph), Bd. 1 S. 383 nachgewiesen. Unsere Operation ist also nicht
nur, wie gesagt, symmetrisch, so dass
K 13. [a b c] = [a c b] = [b c a] = [b a c] = [c a b] = [c b a]
und die Ordnung der Elemente stets unwesentlich ("immaterial") ist,
sondern sie ist auch zu sich selbst dual.

Und ferner begreift sie die beiden direkten Operationen, die identische
Multiplikation sowie die Addition, als Spezialfälle unter sich, indem er-
sichtlichermassen ist:

K 40.

[a b 0] = a b

[a b 1] = a + b

K 42.

b) Von dieser Operation die formalen Eigenschaften nachzuweisen:

K 14.	[a b a] = a oder [a b b] = b,
K 18.	[a b [a c d]] = [a d [a b c]] = [a c [a b d]],
K 16.	[[a b c][a b d] e] = [a b [c d e]] = [[a b c] [a b d] [a b e]],	K 17.
K 19.	[a b [a b c]] = [a b c],

wäre nur eine leichte Rechenübung. --

Ebenso leuchten unmittelbar ein die Sätze:

K 22.	[a a b1] = a, [a b a1] = b	K 36.
K 37.	[a b c]1 = [a1 b1 c1]
K 25.	([a b c1] = c) = (a = b = c).

g) Kempe bezeichnet auch mittelst geschweifter Klammern:
K 35. [a b c1] = {a b, c}
und nennt diesen Ausdruck eine "unsymmetrical resultant" im Gegen-
satz zur "symmetrical resultant" [a b c]. Mit dieser Verwendung des
Namens "Resultante" vermag ich mich nicht zu befreunden, da sie

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Wir verstehen unter den Buchstaben a, b, c, … wie früher Ge-
biete einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit, oder etwa auch Klassen,
nennen dieselben aber nun „Elemente“ (der Rechnung) — „entities“ of
the system —.

α) Eine zusammengesetzte Operation des identischen Kalkuls,
welche drei Elemente symmetrisch verknüpft, möge mittelst eckiger
Klammern durch das Symbol [a b c] dargestellt und wie folgt definirt
werden:
K 50. [a b c] = a b + a c = b c = (a + b) (a + c) (b + c).

Die Chiffren der Kempe’schen Sätze — „sections“ oder „paragraphs“ —
citire ich mit K. Dieselben gehen bis 158.

Dass nämlich die beiden letzten Ausdrücke übereinstimmen, wurde
in § 18, φ), Bd. 1 S. 383 nachgewiesen. Unsere Operation ist also nicht
nur, wie gesagt, symmetrisch, so dass
K 13. [a b c] = [a c b] = [b c a] = [b a c] = [c a b] = [c b a]
und die Ordnung der Elemente stets unwesentlich („immaterial“) ist,
sondern sie ist auch zu sich selbst dual.

Und ferner begreift sie die beiden direkten Operationen, die identische
Multiplikation sowie die Addition, als Spezialfälle unter sich, indem er-
sichtlichermassen ist:

K 40.

[a b 0] = a b

[a b 1] = a + b

K 42.

β) Von dieser Operation die formalen Eigenschaften nachzuweisen:

K 14.	[a b a] = a oder [a b b] = b,
K 18.	[a b [a c d]] = [a d [a b c]] = [a c [a b d]],
K 16.	[[a b c][a b d] e] = [a b [c d e]] = [[a b c] [a b d] [a b e]],	K 17.
K 19.	[a b [a b c]] = [a b c],

wäre nur eine leichte Rechenübung. —

Ebenso leuchten unmittelbar ein die Sätze:

K 22.	[a a b1] = a, [a b a1] = b	K 36.
K 37.	[a b c]1 = [a1 b1 c1]
K 25.	([a b c1] = c) = (a = b = c).

γ) Kempe bezeichnet auch mittelst geschweifter Klammern:
K 35. [a b c1] = {a b, c}
und nennt diesen Ausdruck eine „unsymmetrical resultant“ im Gegen-
satz zur „symmetrical resultant“ [a b c]. Mit dieser Verwendung des
Namens „Resultante“ vermag ich mich nicht zu befreunden, da sie

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[565/0209] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. Wir verstehen unter den Buchstaben a, b, c, … wie früher Ge- biete einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit, oder etwa auch Klassen, nennen dieselben aber nun „Elemente“ (der Rechnung) — „entities“ of the system —. α) Eine zusammengesetzte Operation des identischen Kalkuls, welche drei Elemente symmetrisch verknüpft, möge mittelst eckiger Klammern durch das Symbol [a b c] dargestellt und wie folgt definirt werden: K 50. [a b c] = a b + a c = b c = (a + b) (a + c) (b + c). Die Chiffren der Kempe’schen Sätze — „sections“ oder „paragraphs“ — citire ich mit K. Dieselben gehen bis 158. Dass nämlich die beiden letzten Ausdrücke übereinstimmen, wurde in § 18, φ), Bd. 1 S. 383 nachgewiesen. Unsere Operation ist also nicht nur, wie gesagt, symmetrisch, so dass K 13. [a b c] = [a c b] = [b c a] = [b a c] = [c a b] = [c b a] und die Ordnung der Elemente stets unwesentlich („immaterial“) ist, sondern sie ist auch zu sich selbst dual. Und ferner begreift sie die beiden direkten Operationen, die identische Multiplikation sowie die Addition, als Spezialfälle unter sich, indem er- sichtlichermassen ist: K 40. [a b 0] = a b [a b 1] = a + b K 42. β) Von dieser Operation die formalen Eigenschaften nachzuweisen: K 14. [a b a] = a oder [a b b] = b, K 18. [a b [a c d]] = [a d [a b c]] = [a c [a b d]], K 16. [[a b c][a b d] e] = [a b [c d e]] = [[a b c] [a b d] [a b e]], K 17. K 19. [a b [a b c]] = [a b c], wäre nur eine leichte Rechenübung. — Ebenso leuchten unmittelbar ein die Sätze: K 22. [a a b1] = a, [a b a1] = b K 36. K 37. [a b c]1 = [a1 b1 c1] K 25. ([a b c1] = c) = (a = b = c). γ) Kempe bezeichnet auch mittelst geschweifter Klammern: K 35. [a b c1] = {a b, c} und nennt diesen Ausdruck eine „unsymmetrical resultant“ im Gegen- satz zur „symmetrical resultant“ [a b c]. Mit dieser Verwendung des Namens „Resultante“ vermag ich mich nicht zu befreunden, da sie

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 565. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/209>, abgerufen am 23.11.2024.

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