Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.
Anmerkungen des Herausgebers. Aus a) und d) bezw. aus b) und g) lassen sich jetzt die De Morgan-schen Theoreme zusammensetzen. Mit deren Hilfe ist dann leicht III°+ aus III°x abzuleiten, wonach endlich das Distributionsgesetz etwa wie Seite 422 folgen kann. -- Herr Korselt erwähnt noch, dass man dieser Herleitung des Distributionssatzes aus III°x eine zweite genau dual ent- sprechende, doch völlig selbständige, aus III°+ gegenüberstellen kann. Mir scheint beim Beweis der De Morganschen Sätze aus III°x noch etwas vorteilhafter, -- ähnlich wie Seite 402 -- auszugehen von dem Satz 38x) (a b) = (a b1 = 0), welcher in Band 1, Seite 358 ausschliess- lich aus III°x und den Theoremen bis 30) hergeleitet worden, (während bei 38+) das volle Prinzip IIIx zugezogen wurde). Wird dieser Satz 38x) sonach etwa unmittelbar hinter 31) angereiht, so kann sich dann das Th. 37) mit dem Seite 403 gegebenen "Beweis 2" anschliessen, hierauf 32), und endlich 36) mit Beweisen nach Art des zweiten Teils der Peirce- schen Beweise Seite 404, ohne Hilfe des dort verwendeten Peirceschen Th. 41), z. B. nach 6+), 37), 31) u. a. (a1 a1 + b1) (b1 a1 + b1) = {(a1 + b1)1 a} {(a1 + b1)1 b} = = {(a1 + b1)1 a b} = {(a b)1 a1 + b1}, usw. Jetzt liegt es nahe, den Satz 38x) mittelst 36) und 32) durch 38+) zu ergänzen, und ebenso dem Prinzip III°x sein duales Gegenstück III°+ an die Seite zu stellen, um somit, nach derart kurzer Unterbrechung des dualsymmetrischen Beweisganges, von da ab auf die Korseltsche Art zum Distributionsgesetz zu gelangen. -- Dieses Verfahren, so eng sich anlehnend in seinem ersten Teil an die Bemerkungen des Ver- fassers Seite 401 bis 404, und zuletzt überleitend auf die Schlussweise des Herrn Korselt Seite 422, scheint mir am besten geeignet zur Aufnahme in den vom Verfasser geplanten und wiederholt (Seite 406 und 423) erwähnten "Abriss" der algebraischen Logik, den ich zu ver- wirklichen gedenke. Es sei mir erlaubt zu erwähnen, dass ich, ohne Kenntniss von den nunmehr vorliegenden Behandlungsweisen des Gegen- standes durch den Verfasser und Herrn Korselt, einen in wesentlichen Teilen ähnlichen Beweisgang auch in meiner Programmschrift "die Grundlagen des Gebietekalkuls" 1900 verfolgt habe. Seite 461, oben Zeile 4 ff. Obgleich mir einige Veröffentlichungen von Peano bekannt waren, bin ich doch erst dank einer brieflichen Bemerkung des Herrn Couturat auf den auffallenden Irrtum des Verfassers bezüg- lich der Peanoschen Zeichen e und ) aufmerksam geworden. In Peanos "Notations de Logique mathematique" vom Jahre 1894, welche dem Verfasser zur Zeit der Entstehung des gegenwärtigen Textes (ver- mutlich nach 1895, nach dem Erscheinen des Bandes 3, I der Algebra der Logik) vorgelegen haben könnten, und die ich im Nachlass des Ver- fassers vorfinde, ist Seite 7 zu lesen: "Soit a une classe. Alors x e a represente la proposition singuliere: "x est un individu de la classe a", ou "x est un a"", während sodann von zwei Klassen a und b mit a)b gesagt sein soll: "la classe a est contenue dans b", "tout a est b"; ferner Seite 10, § 9: "On adopte entre propositions les signes deja expliques entre classes ... Soient a, b des propositions: a)b signifie "de la a on deduit la b" ou "la b est consequence de la a"" u. s. f. -- In späteren Schriften Peanos ist die äussere Gestaltung der vom Ver- fasser Seite 460 und 461 besprochenen Zeichen zum Teil geändert. " 536, Zeile 9 v. u. Herr Lüroth hatte die Güte, mich darauf aufmerksam zu machen, dass hier die Absicht des Verfassers nicht ganz leicht zu erkennen ist, und dass der Satz besser etwa so lauten würde: "Jede nach x aufgelöste Ungleichung ist nun an Stelle des Aussagenfaktors, aus welchem sie entstanden ist, in den Ausdruck von A einzusetzen und sind wenigstens ..." Anmerkungen des Herausgebers. Aus α) und δ) bezw. aus β) und γ) lassen sich jetzt die De Morgan-schen Theoreme zusammensetzen. Mit deren Hilfe ist dann leicht III°+ aus III°× abzuleiten, wonach endlich das Distributionsgesetz etwa wie Seite 422 folgen kann. — Herr Korselt erwähnt noch, dass man dieser Herleitung des Distributionssatzes aus III°× eine zweite genau dual ent- sprechende, doch völlig selbständige, aus III°+ gegenüberstellen kann. Mir scheint beim Beweis der De Morganschen Sätze aus III°× noch etwas vorteilhafter, — ähnlich wie Seite 402 — auszugehen von dem Satz 38×) (a b) = (a b1 = 0), welcher in Band 1, Seite 358 ausschliess- lich aus III°× und den Theoremen bis 30) hergeleitet worden, (während bei 38+) das volle Prinzip III× zugezogen wurde). Wird dieser Satz 38×) sonach etwa unmittelbar hinter 31) angereiht, so kann sich dann das Th. 37) mit dem Seite 403 gegebenen „Beweis 2“ anschliessen, hierauf 32), und endlich 36) mit Beweisen nach Art des zweiten Teils der Peirce- schen Beweise Seite 404, ohne Hilfe des dort verwendeten Peirceschen Th. 41), z. B. nach 6+), 37), 31) u. a. (a1 a1 + b1) (b1 a1 + b1) = {(a1 + b1)1 a} {(a1 + b1)1 b} = = {(a1 + b1)1 a b} = {(a b)1 a1 + b1}, usw. Jetzt liegt es nahe, den Satz 38×) mittelst 36) und 32) durch 38+) zu ergänzen, und ebenso dem Prinzip III°× sein duales Gegenstück III°+ an die Seite zu stellen, um somit, nach derart kurzer Unterbrechung des dualsymmetrischen Beweisganges, von da ab auf die Korseltsche Art zum Distributionsgesetz zu gelangen. — Dieses Verfahren, so eng sich anlehnend in seinem ersten Teil an die Bemerkungen des Ver- fassers Seite 401 bis 404, und zuletzt überleitend auf die Schlussweise des Herrn Korselt Seite 422, scheint mir am besten geeignet zur Aufnahme in den vom Verfasser geplanten und wiederholt (Seite 406 und 423) erwähnten „Abriss“ der algebraischen Logik, den ich zu ver- wirklichen gedenke. Es sei mir erlaubt zu erwähnen, dass ich, ohne Kenntniss von den nunmehr vorliegenden Behandlungsweisen des Gegen- standes durch den Verfasser und Herrn Korselt, einen in wesentlichen Teilen ähnlichen Beweisgang auch in meiner Programmschrift „die Grundlagen des Gebietekalkuls“ 1900 verfolgt habe. Seite 461, oben Zeile 4 ff. Obgleich mir einige Veröffentlichungen von Peano bekannt waren, bin ich doch erst dank einer brieflichen Bemerkung des Herrn Couturat auf den auffallenden Irrtum des Verfassers bezüg- lich der Peanoschen Zeichen ε und Ↄ aufmerksam geworden. In Peanos „Notations de Logique mathématique“ vom Jahre 1894, welche dem Verfasser zur Zeit der Entstehung des gegenwärtigen Textes (ver- mutlich nach 1895, nach dem Erscheinen des Bandes 3, I der Algebra der Logik) vorgelegen haben könnten, und die ich im Nachlass des Ver- fassers vorfinde, ist Seite 7 zu lesen: „Soit a une classe. Alors x ε a représente la proposition singulière: «x est un individu de la classe a», ou «x est un a»“, während sodann von zwei Klassen a und b mit aↃb gesagt sein soll: «la classe a est contenue dans b», «tout a est b»; ferner Seite 10, § 9: „On adopte entre propositions les signes déjà expliqués entre classes … Soient a, b des propositions: aↃb signifie «de la a on déduit la b» ou «la b est conséquence de la a»“ u. s. f. — In späteren Schriften Peanos ist die äussere Gestaltung der vom Ver- fasser Seite 460 und 461 besprochenen Zeichen zum Teil geändert. „ 536, Zeile 9 v. u. Herr Lüroth hatte die Güte, mich darauf aufmerksam zu machen, dass hier die Absicht des Verfassers nicht ganz leicht zu erkennen ist, und dass der Satz besser etwa so lauten würde: „Jede nach x aufgelöste Ungleichung ist nun an Stelle des Aussagenfaktors, aus welchem sie entstanden ist, in den Ausdruck von A einzusetzen und sind wenigstens …“ <TEI> <text> <back> <div n="1"> <list> <item><pb facs="#f0241" n="597"/><fw place="top" type="header">Anmerkungen des Herausgebers.</fw><lb/> Aus <hi rendition="#i">α</hi>) und <hi rendition="#i">δ</hi>) bezw. aus <hi rendition="#i">β</hi>) und <hi rendition="#i">γ</hi>) lassen sich jetzt die <hi rendition="#g">De Morgan</hi>-<lb/> schen Theoreme zusammensetzen. 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Anmerkungen des Herausgebers.
Aus α) und δ) bezw. aus β) und γ) lassen sich jetzt die De Morgan-
schen Theoreme zusammensetzen. Mit deren Hilfe ist dann leicht III°+
aus III°× abzuleiten, wonach endlich das Distributionsgesetz etwa wie
Seite 422 folgen kann. — Herr Korselt erwähnt noch, dass man dieser
Herleitung des Distributionssatzes aus III°× eine zweite genau dual ent-
sprechende, doch völlig selbständige, aus III°+ gegenüberstellen kann.
Mir scheint beim Beweis der De Morganschen Sätze aus III°× noch
etwas vorteilhafter, — ähnlich wie Seite 402 — auszugehen von dem
Satz 38×) (a b) = (a b1 = 0), welcher in Band 1, Seite 358 ausschliess-
lich aus III°× und den Theoremen bis 30) hergeleitet worden, (während
bei 38+) das volle Prinzip III× zugezogen wurde). Wird dieser Satz 38×)
sonach etwa unmittelbar hinter 31) angereiht, so kann sich dann das
Th. 37) mit dem Seite 403 gegebenen „Beweis 2“ anschliessen, hierauf 32),
und endlich 36) mit Beweisen nach Art des zweiten Teils der Peirce-
schen Beweise Seite 404, ohne Hilfe des dort verwendeten Peirceschen
Th. 41), z. B. nach 6+), 37), 31) u. a.
(a1 a1 + b1) (b1 a1 + b1) = {(a1 + b1)1 a} {(a1 + b1)1 b} =
= {(a1 + b1)1 a b} = {(a b)1 a1 + b1},
usw. Jetzt liegt es nahe, den Satz 38×) mittelst 36) und 32) durch 38+)
zu ergänzen, und ebenso dem Prinzip III°× sein duales Gegenstück III°+
an die Seite zu stellen, um somit, nach derart kurzer Unterbrechung
des dualsymmetrischen Beweisganges, von da ab auf die Korseltsche
Art zum Distributionsgesetz zu gelangen. — Dieses Verfahren, so eng
sich anlehnend in seinem ersten Teil an die Bemerkungen des Ver-
fassers Seite 401 bis 404, und zuletzt überleitend auf die Schlussweise
des Herrn Korselt Seite 422, scheint mir am besten geeignet zur
Aufnahme in den vom Verfasser geplanten und wiederholt (Seite 406
und 423) erwähnten „Abriss“ der algebraischen Logik, den ich zu ver-
wirklichen gedenke. Es sei mir erlaubt zu erwähnen, dass ich, ohne
Kenntniss von den nunmehr vorliegenden Behandlungsweisen des Gegen-
standes durch den Verfasser und Herrn Korselt, einen in wesentlichen
Teilen ähnlichen Beweisgang auch in meiner Programmschrift „die
Grundlagen des Gebietekalkuls“ 1900 verfolgt habe.
Seite 461, oben Zeile 4 ff. Obgleich mir einige Veröffentlichungen von Peano
bekannt waren, bin ich doch erst dank einer brieflichen Bemerkung
des Herrn Couturat auf den auffallenden Irrtum des Verfassers bezüg-
lich der Peanoschen Zeichen ε und Ↄ aufmerksam geworden. In
Peanos „Notations de Logique mathématique“ vom Jahre 1894, welche
dem Verfasser zur Zeit der Entstehung des gegenwärtigen Textes (ver-
mutlich nach 1895, nach dem Erscheinen des Bandes 3, I der Algebra
der Logik) vorgelegen haben könnten, und die ich im Nachlass des Ver-
fassers vorfinde, ist Seite 7 zu lesen: „Soit a une classe. Alors x ε a
représente la proposition singulière: «x est un individu de la classe a»,
ou «x est un a»“, während sodann von zwei Klassen a und b mit aↃb
gesagt sein soll: «la classe a est contenue dans b», «tout a est b»;
ferner Seite 10, § 9: „On adopte entre propositions les signes déjà
expliqués entre classes … Soient a, b des propositions: aↃb signifie
«de la a on déduit la b» ou «la b est conséquence de la a»“ u. s. f. —
In späteren Schriften Peanos ist die äussere Gestaltung der vom Ver-
fasser Seite 460 und 461 besprochenen Zeichen zum Teil geändert.
„ 536, Zeile 9 v. u. Herr Lüroth hatte die Güte, mich darauf aufmerksam
zu machen, dass hier die Absicht des Verfassers nicht ganz leicht zu
erkennen ist, und dass der Satz besser etwa so lauten würde: „Jede
nach x aufgelöste Ungleichung ist nun an Stelle des Aussagenfaktors,
aus welchem sie entstanden ist, in den Ausdruck von A einzusetzen
und sind wenigstens …“
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| Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 597. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/241>, abgerufen am 26.11.2024. |
