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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Vierundzwanzigste Vorlesung.

auf die Unterscheidung von endlichen und unendlichen Systemen resp. Klassen
einzugehen wäre, müssten wol als Hysteron-Proteron bezeichnet werden.)

Als ein Sonderfall des Prinzips IIIx war Bd. 1, Seite 294, Anm. 2
bereits hervorgehoben das Prinzip
III°x (b c = 0) (b + c = 1) {a (b + c) a b + a c},
-- worin a (b + c) auch kürzer durch a · 1, = a ersetzbar, und ich hatte
dabei bemerkt, dass es nicht gelinge, mit diesem einfacheren Prinzip III°x,
selbst in Verbindung mit seinem dualen Gegenstücke auszukommen.
Dies ist nunmehr dahin zu berichtigen, dass letzteres doch gelingt.

Erheben wir nämlich in Anlehnung an Herrn Korselt zum dritten
Prinzip den Satz III°x nebst dualem Gegenstück, nämlich dass
Wenn b c = 0 und b + c = 1 ist,

III°x.

a (b + c) a b + a c

III°+ (a + b) (a + c) a + b c,

oder weil unter den gegenwärtigen Voraussetzungen
a (b + c) = a · 1 = a = a + 0 = a + b c,
III°. (b c = 0) (b + c = 1) {(a + b) (a + c) a a b + a c},
wo dann die Subsumtionen rechterhand, weil als rückwärtige ohnehin
gültig, die Kraft von Gleichungen haben, -- so lassen sich die Beweise
der Sätze 29), 33x) und 34x) nebst Zusätzen aus III°+ genau dual ent-
sprechend denen der Theoreme 29), 33+) und 34+) in Bd. 1, S. 300 und
308 f. gestalten, wo das Prinzip III°x) ausreichte, und hier kann dann
der Beweis der De Morgan'schen Theoreme 36) unverändert wie in
Bd. 1, S. 352 angeschlossen werden. Setzt man jetzt der Einfachheit
halber
a (b + c) = p, a b + a c = q
so gilt nach 25x) ohnehin q p, oder nach 15x), (6x) und (30x)
q p1 p p1 0, q p1 = 0. (Vergl. auch 38x)!)
Ferner ist zufolge 36)
p1 = a1 + b1 c1
und, bei wiederholter Anwendung des Zusatzes zu 33+), sowie nach 30+),
und 22+)
q + p1 = a b + a c + a1 + b1 c1 = a1 + b + c + b1 c1 = a1 + b + c + c1 = 1.
Aus dem damit gewonnenen Ergebnisse
q p1 = 0, q + p1 = 1,
zusammengehalten mit
p p1 = 0, p + p1 = 1
ergibt dann aber das Th. 29)
q = p, q. e. d.

Vierundzwanzigste Vorlesung.

auf die Unterscheidung von endlichen und unendlichen Systemen resp. Klassen
einzugehen wäre, müssten wol als Hysteron-Proteron bezeichnet werden.)

Als ein Sonderfall des Prinzips III× war Bd. 1, Seite 294, Anm. 2
bereits hervorgehoben das Prinzip
III°× (b c = 0) (b + c = 1) {a (b + c) a b + a c},
— worin a (b + c) auch kürzer durch a · 1, = a ersetzbar, und ich hatte
dabei bemerkt, dass es nicht gelinge, mit diesem einfacheren Prinzip III°×,
selbst in Verbindung mit seinem dualen Gegenstücke auszukommen.
Dies ist nunmehr dahin zu berichtigen, dass letzteres doch gelingt.

Erheben wir nämlich in Anlehnung an Herrn Korselt zum dritten
Prinzip den Satz III°× nebst dualem Gegenstück, nämlich dass
Wenn b c = 0 und b + c = 1 ist,

III°×.

a (b + c) a b + a c

III°+ (a + b) (a + c) a + b c,

oder weil unter den gegenwärtigen Voraussetzungen
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sprechend denen der Theoreme 29), 33+) und 34+) in Bd. 1, S. 300 und
308 f. gestalten, wo das Prinzip III°×) ausreichte, und hier kann dann
der Beweis der De Morgan’schen Theoreme 36) unverändert wie in
Bd. 1, S. 352 angeschlossen werden. Setzt man jetzt der Einfachheit
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Aus dem damit gewonnenen Ergebnisse
q p1 = 0, q + p1 = 1,
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[422/0066] Vierundzwanzigste Vorlesung. auf die Unterscheidung von endlichen und unendlichen Systemen resp. Klassen einzugehen wäre, müssten wol als Hysteron-Proteron bezeichnet werden.) Als ein Sonderfall des Prinzips III× war Bd. 1, Seite 294, Anm. 2 bereits hervorgehoben das Prinzip III°× (b c = 0) (b + c = 1) {a (b + c) a b + a c}, — worin a (b + c) auch kürzer durch a · 1, = a ersetzbar, und ich hatte dabei bemerkt, dass es nicht gelinge, mit diesem einfacheren Prinzip III°×, selbst in Verbindung mit seinem dualen Gegenstücke auszukommen. Dies ist nunmehr dahin zu berichtigen, dass letzteres doch gelingt. Erheben wir nämlich in Anlehnung an Herrn Korselt zum dritten Prinzip den Satz III°× nebst dualem Gegenstück, nämlich dass Wenn b c = 0 und b + c = 1 ist, III°×. a (b + c) a b + a c III°+ (a + b) (a + c) a + b c, oder weil unter den gegenwärtigen Voraussetzungen a (b + c) = a · 1 = a = a + 0 = a + b c, III°. (b c = 0) (b + c = 1) {(a + b) (a + c) ⋹͇ a ⋹͇ a b + a c}, wo dann die Subsumtionen rechterhand, weil als rückwärtige ohnehin gültig, die Kraft von Gleichungen haben, — so lassen sich die Beweise der Sätze 29), 33×) und 34×) nebst Zusätzen aus III°+ genau dual ent- sprechend denen der Theoreme 29), 33+) und 34+) in Bd. 1, S. 300 und 308 f. gestalten, wo das Prinzip III°×) ausreichte, und hier kann dann der Beweis der De Morgan’schen Theoreme 36) unverändert wie in Bd. 1, S. 352 angeschlossen werden. Setzt man jetzt der Einfachheit halber a (b + c) = p, a b + a c = q so gilt nach 25×) ohnehin q p, oder nach 15×), (6×) und (30×) q p1 p p1 0, q p1 = 0. (Vergl. auch 38×)!) Ferner ist zufolge 36) p1 = a1 + b1 c1 und, bei wiederholter Anwendung des Zusatzes zu 33+), sowie nach 30+), und 22+) q + p1 = a b + a c + a1 + b1 c1 = a1 + b + c + b1 c1 = a1 + b + c + c1 = 1. Aus dem damit gewonnenen Ergebnisse q p1 = 0, q + p1 = 1, zusammengehalten mit p p1 = 0, p + p1 = 1 ergibt dann aber das Th. 29) q = p, q. e. d.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 422. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/66>, abgerufen am 24.11.2024.

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