Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

liebigen u, v, r, s, -- durch Einsetzen der Werte 2) in die Gleichung 1),
stimmt:
x y1 + x1 y = (c r + c r1) u v + c u v1 + c u1 v + (c r + c r1) u1 v1 =
= c (u v + u v1 + u1 v + u1 v1) = c.
Die Ausdrücke 2) liefern mithin, wie immer auch die Gebiete oder
Klassen u, v, r, s bestimmt werden mögen, stets nur richtige Wurzeln
der Gleichung 1).

Eine zweite Probe soll aber noch die Vollständigkeit unserer Lösung
des Problems erweisen, also darthun, dass die Ausdrücke 2) uns auch
alle Wurzelsysteme der Gleichung 1) liefern. Zu dem Ende stellen
wir uns unter x, y jetzt irgend ein Wertepaar vor, welches die Glei-
chung 1) oder
1') c (x y + x1 y1) + c1 (x y1 + x1 y) = 0
erfüllt, und denken uns ferner r, s irgendwie fixirt. Es ist zu zeigen,
dass es dann jedesmal ein Wertepaar u, v überhaupt gibt (also min-
destens eines) derart, dass auch die Gleichungen 2) erfüllt sein werden;
d. h. dass uns für dieses Wertepaar u, v unsere Lösungen 2) das ge-
wünschte Wurzelpaar x, y liefern.

Prinzipiell, behufs Erweises der Vollständigkeit unserer Lösungen,
müsste zwar blos die Existenz solchen Wertepaars u, v dargethan
werden, wie verwickelt auch dieses durch die gegebenen x und y sich
ausdrücken mag. Der Adventivforderung gemäss wird nun aber
u = x, v = y
selbst ein solches Wertepaar sein müssen. M. a. W. durch Einsetzen
des letztern müssen sich die beiden ersten Gleichungen 2), aus welchen
die beiden andern durch Negiren folgen, kraft der Voraussetzung 1)
oder 1') als identisch erfüllt erweisen:
x = (c1 + r) x y + (c + s) x y1 + c1 s x1 y + c r x1 y1
y = (c1 + r1) x y + c1 s x y1 + (c + s) x1 y + c r1 x1 y1.
Lässt man hierin die Glieder fort, die kraft 1') ohnehin verschwinden,
nachdem man die Summen c1 + r, c1 + r1, c + s in c1 + c r, c1 + c r1,
c + c1 s umgeschrieben, so bleibt zu zeigen, dass
x = x (c1 y + c y1), y = y (c1 x + c x1)
zutrifft, was nun aber mittelst Addition von 0 rechterhand, d. h. durch
Hinzufügung geeigneter Glieder, die kraft 1') ebenfalls verschwinden,
sich äquivalent umsetzen lässt in
x = x (c y + c1 y + c y1 + c1 y1) = x · 1 = x,
y = y (c x + c1 x + c x1 + c1 x1) = y · 1 = y
und sich in der That augenscheinlich bewahrheitet, q. e. d.

§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

liebigen u, v, r, s, — durch Einsetzen der Werte 2) in die Gleichung 1),
stimmt:
x y1 + x1 y = (c r + c r1) u v + c u v1 + c u1 v + (c r + c r1) u1 v1 =
= c (u v + u v1 + u1 v + u1 v1) = c.
Die Ausdrücke 2) liefern mithin, wie immer auch die Gebiete oder
Klassen u, v, r, s bestimmt werden mögen, stets nur richtige Wurzeln
der Gleichung 1).

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[425/0069] § 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen. liebigen u, v, r, s, — durch Einsetzen der Werte 2) in die Gleichung 1), stimmt: x y1 + x1 y = (c r + c r1) u v + c u v1 + c u1 v + (c r + c r1) u1 v1 = = c (u v + u v1 + u1 v + u1 v1) = c. Die Ausdrücke 2) liefern mithin, wie immer auch die Gebiete oder Klassen u, v, r, s bestimmt werden mögen, stets nur richtige Wurzeln der Gleichung 1). Eine zweite Probe soll aber noch die Vollständigkeit unserer Lösung des Problems erweisen, also darthun, dass die Ausdrücke 2) uns auch alle Wurzelsysteme der Gleichung 1) liefern. Zu dem Ende stellen wir uns unter x, y jetzt irgend ein Wertepaar vor, welches die Glei- chung 1) oder 1') c (x y + x1 y1) + c1 (x y1 + x1 y) = 0 erfüllt, und denken uns ferner r, s irgendwie fixirt. Es ist zu zeigen, dass es dann jedesmal ein Wertepaar u, v überhaupt gibt (also min- destens eines) derart, dass auch die Gleichungen 2) erfüllt sein werden; d. h. dass uns für dieses Wertepaar u, v unsere Lösungen 2) das ge- wünschte Wurzelpaar x, y liefern. Prinzipiell, behufs Erweises der Vollständigkeit unserer Lösungen, müsste zwar blos die Existenz solchen Wertepaars u, v dargethan werden, wie verwickelt auch dieses durch die gegebenen x und y sich ausdrücken mag. Der Adventivforderung gemäss wird nun aber u = x, v = y selbst ein solches Wertepaar sein müssen. M. a. W. durch Einsetzen des letztern müssen sich die beiden ersten Gleichungen 2), aus welchen die beiden andern durch Negiren folgen, kraft der Voraussetzung 1) oder 1') als identisch erfüllt erweisen: x = (c1 + r) x y + (c + s) x y1 + c1 s x1 y + c r x1 y1 y = (c1 + r1) x y + c1 s x y1 + (c + s) x1 y + c r1 x1 y1. Lässt man hierin die Glieder fort, die kraft 1') ohnehin verschwinden, nachdem man die Summen c1 + r, c1 + r1, c + s in c1 + c r, c1 + c r1, c + c1 s umgeschrieben, so bleibt zu zeigen, dass x = x (c1 y + c y1), y = y (c1 x + c x1) zutrifft, was nun aber mittelst Addition von 0 rechterhand, d. h. durch Hinzufügung geeigneter Glieder, die kraft 1') ebenfalls verschwinden, sich äquivalent umsetzen lässt in x = x (c y + c1 y + c y1 + c1 y1) = x · 1 = x, y = y (c x + c1 x + c x1 + c1 x1) = y · 1 = y und sich in der That augenscheinlich bewahrheitet, q. e. d.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 425. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/69>, abgerufen am 18.02.2025.

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