wird/ daß alsdann diese begriffene kleiner sey als die be- greiffende.
Anmerkung.
[Abbildung]
Eutokius beweiset dieses also: Es seyen zwey/ nach einer Seiten hohle Lineen auf einer Ebene/ ABCDEF, und AGHF, die zwar ei- nerley Endpuncten AF haben/ eine aber von der andern/ nehmlich AGHF von ABCDEF, ganz umfangen und eingeschlossen ist. Stehet nun zu beweisen/ daß die eingeschlossene kleiner sey als die einschliessende. Solches geschihet nun also: Wann man BH, CF, DF zusammen ziehet/ und die Lini HA ihm ingleichen/ als ge- zogen/ einbildet/ so folget alsobald (nehmlich aus dem 21sten Lehrsatz des Ersten Buchs Euclidis) daß AG und GH zusammen kleiner seyen als AB und BH zusammen. Weil nun HF, als gemein zu beyden gesetzet wird/ so müs- sen AG, GH, HF zusammen wieder kleiner seyn/ als AB, BH, HF, zusammen; und also wä- re der lezte Teihl des Satzes bewiesen/ weil gemeldte beyde Lineen/ beyde nach einer Seiten hohl/ einen Teihl/ nehmlich HF, gemein haben/ im übrigen die eine von der andern umfangen wird. Weil nun aber weiter BH und HF zusammen/ aus obgemeldtem Grund kleiner sind als BC, und CF zusammen; als werden nun AG, GH, HF um so viel mehr kleiner seyn als AB, BC, CF; Und ferner/ weil CF wieder kleiner ist als CD und DF zusammen (vermög des 20sten Lehrsatzes in dem Ersten Buch Euclidis) und DF abermal kleiner als DE und EF zu- sammen; als muß AGHF viel kleiner seyn als ABCDEF; welches solte bewiesen werden.
[Abbildung]
Gleichen Grund mit vorigem hat auch der andere Beweiß des Eutokius/ nur daß die beyde Lineen anderst gegeben/ und einige andere Vorbereitung zum Be- weiß erfordert wird. Rehmlich daß die begreiffende Lini ABCDE grösser sey als die begriffene AFGHKE, machet er kürzlich also klar. Nachdem er die Li- neen AF und HG biß zu ihrer Zusam- menkunst in L verlängert/ schliesset er aus obigen Gründen/ daß zuförderst FL und LG zusammen grösser seyen als FG allein. So man nun beyden/ als gemein/ beyfüget die beyde Lineen AF und GH, wird AL und LH zusammen grösser seyn als AF, FG, und GH miteinander. Nun sind aber AL und LH kleiner als AB und BH; Derowegen wer- den diese/ AB und BH so vielmehr grösser seyn als AF, FG und GH. Und/ so das gemeine Teihl HK zu beyden gesetzet wird/ AB und BK zusammen abermal grösser als AFGHK. Weil nun ferner BK kleiner ist als BC und CK zugleich/ muß ABCK nohtwendig viel grösser seyn als AFGHK; und/ wann das gemeine Stukk KE zu beyden kommt/ ABCKE viel grösser als AFGHKE. Endlich aber/ weil CK und KE wieder kleiner sind als CD und DE, so ist um so viel gewisser und Augenscheinlicher/ daß die begreiffende ABCDE viel grösser sey/ als die begriffene AFGHKE; welches zu beweisen war.
Es ist aber noch zweyerley hier wol in acht zu nehmen/ welches Archimedes mit son- derbarem Fleiß angemerket. 1. Daß die gegebene beyde Lineen nicht nur alle beyde nach einer Seiten hohl seyn müssen/ sondern auch eine von der andern entweder ganz (wie in denen nächstvorhergehenden Figuren) oder doch zum teihl müsse begriffen werden/ die übrige Teihle aber mit der andern gemein haben/ dergleichen in beygesetzter Zeichnung sind die bey-
de Li-
wird/ daß alsdann dieſe begriffene kleiner ſey als die be- greiffende.
Anmerkung.
[Abbildung]
Eutokius beweiſet dieſes alſo: Es ſeyen zwey/ nach einer Seiten hohle Lineen auf einer Ebene/ ABCDEF, und AGHF, die zwar ei- nerley Endpuncten AF haben/ eine aber von der andern/ nehmlich AGHF von ABCDEF, ganz umfangen und eingeſchloſſen iſt. Stehet nun zu beweiſen/ daß die eingeſchloſſene kleiner ſey als die einſchlieſſende. Solches geſchihet nun alſo: Wann man BH, CF, DF zuſammen ziehet/ und die Lini HA ihm ingleichen/ als ge- zogen/ einbildet/ ſo folget alſobald (nehmlich aus dem 21ſten Lehrſatz des Erſten Buchs Euclidis) daß AG und GH zuſammen kleiner ſeyen als AB und BH zuſammen. Weil nun HF, als gemein zu beyden geſetzet wird/ ſo muͤſ- ſen AG, GH, HF zuſammen wieder kleiner ſeyn/ als AB, BH, HF, zuſammen; und alſo waͤ- re der lezte Teihl des Satzes bewieſen/ weil gemeldte beyde Lineen/ beyde nach einer Seiten hohl/ einen Teihl/ nehmlich HF, gemein haben/ im uͤbrigen die eine von der andern umfangen wird. Weil nun aber weiter BH und HF zuſammen/ aus obgemeldtem Grund kleiner ſind als BC, und CF zuſammen; als werden nun AG, GH, HF um ſo viel mehr kleiner ſeyn als AB, BC, CF; Und ferner/ weil CF wieder kleiner iſt als CD und DF zuſammen (vermoͤg des 20ſten Lehrſatzes in dem Erſten Buch Euclidis) und DF abermal kleiner als DE und EF zu- ſammen; als muß AGHF viel kleiner ſeyn als ABCDEF; welches ſolte bewieſen werden.
[Abbildung]
Gleichen Grund mit vorigem hat auch der andere Beweiß des Eutokius/ nur daß die beyde Lineen anderſt gegeben/ und einige andere Vorbereitung zum Be- weiß erfordert wird. Rehmlich daß die begreiffende Lini ABCDE groͤſſer ſey als die begriffene AFGHKE, machet er kuͤrzlich alſo klar. Nachdem er die Li- neen AF und HG biß zu ihrer Zuſam- menkunſt in L verlaͤngert/ ſchlieſſet er aus obigen Gruͤnden/ daß zufoͤrderſt FL und LG zuſammen groͤſſer ſeyen als FG allein. So man nun beyden/ als gemein/ beyfuͤget die beyde Lineen AF und GH, wird AL und LH zuſammen groͤſſer ſeyn als AF, FG, und GH miteinander. Nun ſind aber AL und LH kleiner als AB und BH; Derowegen wer- den dieſe/ AB und BH ſo vielmehr groͤſſer ſeyn als AF, FG und GH. Und/ ſo das gemeine Teihl HK zu beyden geſetzet wird/ AB und BK zuſammen abermal groͤſſer als AFGHK. Weil nun ferner BK kleiner iſt als BC und CK zugleich/ muß ABCK nohtwendig viel groͤſſer ſeyn als AFGHK; und/ wann das gemeine Stukk KE zu beyden kommt/ ABCKE viel groͤſſer als AFGHKE. Endlich aber/ weil CK und KE wieder kleiner ſind als CD und DE, ſo iſt um ſo viel gewiſſer und Augenſcheinlicher/ daß die begreiffende ABCDE viel groͤſſer ſey/ als die begriffene AFGHKE; welches zu beweiſen war.
Es iſt aber noch zweyerley hier wol in acht zu nehmen/ welches Archimedes mit ſon- derbarem Fleiß angemerket. 1. Daß die gegebene beyde Lineen nicht nur alle beyde nach einer Seiten hohl ſeyn muͤſſen/ ſondern auch eine von der andern entweder ganz (wie in denen naͤchſtvorhergehenden Figuren) oder doch zum teihl muͤſſe begriffen werden/ die uͤbrige Teihle aber mit der andern gemein haben/ dergleichen in beygeſetzter Zeichnung ſind die bey-
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[6/0034]
wird/ daß alsdann dieſe begriffene kleiner ſey als die be-
greiffende.
Anmerkung.
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Eutokius beweiſet dieſes alſo: Es ſeyen
zwey/ nach einer Seiten hohle Lineen auf einer
Ebene/ ABCDEF, und AGHF, die zwar ei-
nerley Endpuncten AF haben/ eine aber von
der andern/ nehmlich AGHF von ABCDEF,
ganz umfangen und eingeſchloſſen iſt. Stehet
nun zu beweiſen/ daß die eingeſchloſſene kleiner
ſey als die einſchlieſſende. Solches geſchihet
nun alſo: Wann man BH, CF, DF zuſammen
ziehet/ und die Lini HA ihm ingleichen/ als ge-
zogen/ einbildet/ ſo folget alſobald (nehmlich
aus dem 21ſten Lehrſatz des Erſten Buchs Euclidis) daß AG und GH zuſammen kleiner
ſeyen als AB und BH zuſammen. Weil nun HF, als gemein zu beyden geſetzet wird/ ſo muͤſ-
ſen AG, GH, HF zuſammen wieder kleiner ſeyn/ als AB, BH, HF, zuſammen; und alſo waͤ-
re der lezte Teihl des Satzes bewieſen/ weil gemeldte beyde Lineen/ beyde nach einer Seiten
hohl/ einen Teihl/ nehmlich HF, gemein haben/ im uͤbrigen die eine von der andern umfangen
wird. Weil nun aber weiter BH und HF zuſammen/ aus obgemeldtem Grund kleiner ſind
als BC, und CF zuſammen; als werden nun AG, GH, HF um ſo viel mehr kleiner ſeyn als
AB, BC, CF; Und ferner/ weil CF wieder kleiner iſt als CD und DF zuſammen (vermoͤg des
20ſten Lehrſatzes in dem Erſten Buch Euclidis) und DF abermal kleiner als DE und EF zu-
ſammen; als muß AGHF viel kleiner ſeyn als ABCDEF; welches ſolte bewieſen werden.
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Gleichen Grund mit vorigem hat
auch der andere Beweiß des Eutokius/
nur daß die beyde Lineen anderſt gegeben/
und einige andere Vorbereitung zum Be-
weiß erfordert wird. Rehmlich daß die
begreiffende Lini ABCDE groͤſſer ſey als
die begriffene AFGHKE, machet er
kuͤrzlich alſo klar. Nachdem er die Li-
neen AF und HG biß zu ihrer Zuſam-
menkunſt in L verlaͤngert/ ſchlieſſet er
aus obigen Gruͤnden/ daß zufoͤrderſt FL
und LG zuſammen groͤſſer ſeyen als FG allein. So man nun beyden/ als gemein/ beyfuͤget
die beyde Lineen AF und GH, wird AL und LH zuſammen groͤſſer ſeyn als AF, FG, und
GH miteinander. Nun ſind aber AL und LH kleiner als AB und BH; Derowegen wer-
den dieſe/ AB und BH ſo vielmehr groͤſſer ſeyn als AF, FG und GH. Und/ ſo das gemeine
Teihl HK zu beyden geſetzet wird/ AB und BK zuſammen abermal groͤſſer als AFGHK.
Weil nun ferner BK kleiner iſt als BC und CK zugleich/ muß ABCK nohtwendig viel groͤſſer
ſeyn als AFGHK; und/ wann das gemeine Stukk KE zu beyden kommt/ ABCKE viel
groͤſſer als AFGHKE. Endlich aber/ weil CK und KE wieder kleiner ſind als CD und
DE, ſo iſt um ſo viel gewiſſer und Augenſcheinlicher/ daß die begreiffende ABCDE viel groͤſſer
ſey/ als die begriffene AFGHKE; welches zu beweiſen war.
Es iſt aber noch zweyerley hier wol in acht zu nehmen/ welches Archimedes mit ſon-
derbarem Fleiß angemerket. 1. Daß die gegebene beyde Lineen nicht nur alle beyde nach
einer Seiten hohl ſeyn muͤſſen/ ſondern auch eine von der andern entweder ganz (wie in denen
naͤchſtvorhergehenden Figuren) oder doch zum teihl muͤſſe begriffen werden/ die uͤbrige
Teihle aber mit der andern gemein haben/ dergleichen in beygeſetzter Zeichnung ſind die bey-
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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 6. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/34>, abgerufen am 23.11.2024.
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