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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Kugel-ähnlichen Figuren.
aus L hernachmals/ in dem erhebten oder übersich geneigten Halbkreiß FN
MG, die Lini LM senkrecht auf FG; und endlich aus M, auf die untere Flä-
che/ oder auf die verlängerte KL, wieder senkrecht herunter/ die Lini MO;
zu allerlezt aber auch die Lini HM.

Nun verhält sich die Vierung MO gegen der Vierung ML, wie die Vie-
rung NX gegen der Vierung NC (wegen Aehnlichkeit beyder Dreyekke MLO,
NCX, Besihe folgende 2. Anmerkung;) Wie aber ferner die Vierung ML
(d. i. das Rechtekk FLG) gegen dem Rechtekk AKB, so verhält sich ferner die
Vierung NC (d.i. FC) gegen der Vierung AD, vermög folgender 1. An-
merkung. Derowegen auch gleichdurchgehend die Vierung MO gegen dem
Rechtekk AKB, wie die Vierung NX gegen der Vierung AD. Es verhält
sich aber auch die Vierung HK gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vierung
NX (nehmlich des halben andern Durchmessers) gegen der Vierung AD,
nach der XII. Betr. 3. Folge in V. Woraus dann folget/ daß die beyde Vie-
rungen/ und also auch die Lineen/ MO und HK einander gleich seyen/ Krafft
des 9ten im V. B. Es sind aber MO und HK auch gleichlauffend/ weil sie
beyde auf KLO senkrecht herunter gezogen werden/ Krafft des 29sten im
I. B. Weswegen dann auch HM und KO, und folgends auch die Achse CD,
gleichlauffend seyn müssen/ nach dem 33sten im I. also daß/ weil der Punct M
auf der äussern Fläche der Rund-Säule ist/ die ganze Lini HM, und also auch
der Punct H (d.i. die ganze gegebene ablange Rundung) auf besagter Fläche
seyn muß. Welches hat sollen bewiesen werden.

Anmerkungen.

1. Zwey Sätze/ welche Archimedes in obigem Beweiß für bekannt angenommen/
müssen hier/ mehrerer Deutlichkeit halben/ etwas erläutert werden. Der erste ist: Daß/
so wol in der ersten als dritten Figur/ das Rechtekk FLG gegen dem Rechtekk AKB sich ver-
halte/ wie die Vierung FC gegen der Vierung AD; welches dann folgender Gestalt erhellen
wird: Weil FG auf CD senkrecht/ AB aber nicht senkrecht/ gezogen ist/ so müssen AB und
FG, wann sie verlängert werden/ nohtwendig zusammen lauffen. Und weil AF, DC, KL,
BG, alle gleichlauffend sind/ so folget aus dem 2ten im VI. gar leicht/ daß FC gegen CL
und CL gegen LG sich verhalte/ wie AD gegen DK, und DK gegen KB; und umbge-
wendet LC gegen CF wie KD gegen DA; und zusammgesetzet LF gegen FC wie KA
gegen AD; wie auch gleichdurchgehend FC ferner gegen LG wie AD gegen KB. Wor-
aus dann endlich (vermög des allgemeinen Satzes in der 1. Anmerkung des VIII.
Lehrsatzes) folget/ daß das Rechtekk aus LF in LG gegen der Vierung FC sich verhalte/
wie das Rechtekk aus KA in KB gegen der Vierung AD; und wechselweiß das Rechtekk
FLG gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vierung FC gegen der Vierung AD.

2. Das andere ist viel leichter/ und bedürfte fast keiner Erläuterung. Dann weil beyde
Winkel NCX, und MLO, nach welchen der Halbkreiß erhoben ist/ einander gleich/ und
die bey O und X beyde gerad sind/ so sind auch die übrigen bey N und M einander gleich/ und
folget also (Krafft des 4ten im VI.) daß MO gegen ML, wie NX gegen NC, und
(Laut des 22sten im VI.) auch die Vierung MO gegen der Vierung ML, wie die Vie-
rung NX gegen der Vierung NC sich verhalte.

Der XI. Lehrsatz.

Daß jeder zweyer Kegel Verhältnis/ aus denen Verhältnissen
ihrer Grundscheiben und ihrer Höhen zusammengesetzet sey/ ist von
unsern Vorfahren erwiesen worden. Eben derselbe Beweiß aber
lehret zugleich/ daß auch eines jeden Kegels Abschnitt gegen dem

Abschnitt

Kugel-aͤhnlichen Figuren.
aus L hernachmals/ in dem erhebten oder uͤberſich geneigten Halbkreiß FN
MG, die Lini LM ſenkrecht auf FG; und endlich aus M, auf die untere Flaͤ-
che/ oder auf die verlaͤngerte KL, wieder ſenkrecht herunter/ die Lini MO;
zu allerlezt aber auch die Lini HM.

Nun verhaͤlt ſich die Vierung MO gegen der Vierung ML, wie die Vie-
rung NX gegen der Vierung NC (wegen Aehnlichkeit beyder Dreyekke MLO,
NCX, Beſihe folgende 2. Anmerkung;) Wie aber ferner die Vierung ML
(d. i. das Rechtekk FLG) gegen dem Rechtekk AKB, ſo verhaͤlt ſich ferner die
Vierung NC (d.i. FC) gegen der Vierung AD, vermoͤg folgender 1. An-
merkung. Derowegen auch gleichdurchgehend die Vierung MO gegen dem
Rechtekk AKB, wie die Vierung NX gegen der Vierung AD. Es verhaͤlt
ſich aber auch die Vierung HK gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vierung
NX (nehmlich des halben andern Durchmeſſers) gegen der Vierung AD,
nach der XII. Betr. 3. Folge in V. Woraus dann folget/ daß die beyde Vie-
rungen/ und alſo auch die Lineen/ MO und HK einander gleich ſeyen/ Krafft
des 9ten im V. B. Es ſind aber MO und HK auch gleichlauffend/ weil ſie
beyde auf KLO ſenkrecht herunter gezogen werden/ Krafft des 29ſten im
I. B. Weswegen dann auch HM und KO, und folgends auch die Achſe CD,
gleichlauffend ſeyn muͤſſen/ nach dem 33ſten im I. alſo daß/ weil der Punct M
auf der aͤuſſern Flaͤche der Rund-Saͤule iſt/ die ganze Lini HM, und alſo auch
der Punct H (d.i. die ganze gegebene ablange Rundung) auf beſagter Flaͤche
ſeyn muß. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

1. Zwey Saͤtze/ welche Archimedes in obigem Beweiß fuͤr bekannt angenommen/
muͤſſen hier/ mehrerer Deutlichkeit halben/ etwas erlaͤutert werden. Der erſte iſt: Daß/
ſo wol in der erſten als dritten Figur/ das Rechtekk FLG gegen dem Rechtekk AKB ſich ver-
halte/ wie die Vierung FC gegen der Vierung AD; welches dann folgender Geſtalt erhellen
wird: Weil FG auf CD ſenkrecht/ AB aber nicht ſenkrecht/ gezogen iſt/ ſo muͤſſen AB und
FG, wann ſie verlaͤngert werden/ nohtwendig zuſammen lauffen. Und weil AF, DC, KL,
BG, alle gleichlauffend ſind/ ſo folget aus dem 2ten im VI. gar leicht/ daß FC gegen CL
und CL gegen LG ſich verhalte/ wie AD gegen DK, und DK gegen KB; und umbge-
wendet LC gegen CF wie KD gegen DA; und zuſammgeſetzet LF gegen FC wie KA
gegen AD; wie auch gleichdurchgehend FC ferner gegen LG wie AD gegen KB. Wor-
aus dann endlich (vermoͤg des allgemeinen Satzes in der 1. Anmerkung des VIII.
Lehrſatzes) folget/ daß das Rechtekk aus LF in LG gegen der Vierung FC ſich verhalte/
wie das Rechtekk aus KA in KB gegen der Vierung AD; und wechſelweiß das Rechtekk
FLG gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vierung FC gegen der Vierung AD.

2. Das andere iſt viel leichter/ und beduͤrfte faſt keiner Erlaͤuterung. Dann weil beyde
Winkel NCX, und MLO, nach welchen der Halbkreiß erhoben iſt/ einander gleich/ und
die bey O und X beyde gerad ſind/ ſo ſind auch die uͤbrigen bey N und M einander gleich/ und
folget alſo (Krafft des 4ten im VI.) daß MO gegen ML, wie NX gegen NC, und
(Laut des 22ſten im VI.) auch die Vierung MO gegen der Vierung ML, wie die Vie-
rung NX gegen der Vierung NC ſich verhalte.

Der XI. Lehrſatz.

Daß jeder zweyer Kegel Verhaͤltnis/ aus denen Verhaͤltniſſen
ihrer Grundſcheiben und ihrer Hoͤhen zuſammengeſetzet ſey/ iſt von
unſern Vorfahren erwieſen worden. Eben derſelbe Beweiß aber
lehret zugleich/ daß auch eines jeden Kegels Abſchnitt gegen dem

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[343/0371] Kugel-aͤhnlichen Figuren. aus L hernachmals/ in dem erhebten oder uͤberſich geneigten Halbkreiß FN MG, die Lini LM ſenkrecht auf FG; und endlich aus M, auf die untere Flaͤ- che/ oder auf die verlaͤngerte KL, wieder ſenkrecht herunter/ die Lini MO; zu allerlezt aber auch die Lini HM. Nun verhaͤlt ſich die Vierung MO gegen der Vierung ML, wie die Vie- rung NX gegen der Vierung NC (wegen Aehnlichkeit beyder Dreyekke MLO, NCX, Beſihe folgende 2. Anmerkung;) Wie aber ferner die Vierung ML (d. i. das Rechtekk FLG) gegen dem Rechtekk AKB, ſo verhaͤlt ſich ferner die Vierung NC (d.i. FC) gegen der Vierung AD, vermoͤg folgender 1. An- merkung. Derowegen auch gleichdurchgehend die Vierung MO gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vierung NX gegen der Vierung AD. Es verhaͤlt ſich aber auch die Vierung HK gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vierung NX (nehmlich des halben andern Durchmeſſers) gegen der Vierung AD, nach der XII. Betr. 3. Folge in V. Woraus dann folget/ daß die beyde Vie- rungen/ und alſo auch die Lineen/ MO und HK einander gleich ſeyen/ Krafft des 9ten im V. B. Es ſind aber MO und HK auch gleichlauffend/ weil ſie beyde auf KLO ſenkrecht herunter gezogen werden/ Krafft des 29ſten im I. B. Weswegen dann auch HM und KO, und folgends auch die Achſe CD, gleichlauffend ſeyn muͤſſen/ nach dem 33ſten im I. alſo daß/ weil der Punct M auf der aͤuſſern Flaͤche der Rund-Saͤule iſt/ die ganze Lini HM, und alſo auch der Punct H (d.i. die ganze gegebene ablange Rundung) auf beſagter Flaͤche ſeyn muß. Welches hat ſollen bewieſen werden. Anmerkungen. 1. Zwey Saͤtze/ welche Archimedes in obigem Beweiß fuͤr bekannt angenommen/ muͤſſen hier/ mehrerer Deutlichkeit halben/ etwas erlaͤutert werden. Der erſte iſt: Daß/ ſo wol in der erſten als dritten Figur/ das Rechtekk FLG gegen dem Rechtekk AKB ſich ver- halte/ wie die Vierung FC gegen der Vierung AD; welches dann folgender Geſtalt erhellen wird: Weil FG auf CD ſenkrecht/ AB aber nicht ſenkrecht/ gezogen iſt/ ſo muͤſſen AB und FG, wann ſie verlaͤngert werden/ nohtwendig zuſammen lauffen. Und weil AF, DC, KL, BG, alle gleichlauffend ſind/ ſo folget aus dem 2ten im VI. gar leicht/ daß FC gegen CL und CL gegen LG ſich verhalte/ wie AD gegen DK, und DK gegen KB; und umbge- wendet LC gegen CF wie KD gegen DA; und zuſammgeſetzet LF gegen FC wie KA gegen AD; wie auch gleichdurchgehend FC ferner gegen LG wie AD gegen KB. Wor- aus dann endlich (vermoͤg des allgemeinen Satzes in der 1. Anmerkung des VIII. Lehrſatzes) folget/ daß das Rechtekk aus LF in LG gegen der Vierung FC ſich verhalte/ wie das Rechtekk aus KA in KB gegen der Vierung AD; und wechſelweiß das Rechtekk FLG gegen dem Rechtekk AKB, wie die Vierung FC gegen der Vierung AD. 2. Das andere iſt viel leichter/ und beduͤrfte faſt keiner Erlaͤuterung. Dann weil beyde Winkel NCX, und MLO, nach welchen der Halbkreiß erhoben iſt/ einander gleich/ und die bey O und X beyde gerad ſind/ ſo ſind auch die uͤbrigen bey N und M einander gleich/ und folget alſo (Krafft des 4ten im VI.) daß MO gegen ML, wie NX gegen NC, und (Laut des 22ſten im VI.) auch die Vierung MO gegen der Vierung ML, wie die Vie- rung NX gegen der Vierung NC ſich verhalte. Der XI. Lehrſatz. Daß jeder zweyer Kegel Verhaͤltnis/ aus denen Verhaͤltniſſen ihrer Grundſcheiben und ihrer Hoͤhen zuſammengeſetzet ſey/ iſt von unſern Vorfahren erwieſen worden. Eben derſelbe Beweiß aber lehret zugleich/ daß auch eines jeden Kegels Abſchnitt gegen dem Abſchnitt

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 343. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/371>, abgerufen am 25.11.2024.