Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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[Formel 1] ,
also
[Formel 2]

Es sei nun
[Formel 3] und es werde zunächst angenommen, dass die Zahlen a1, a2 . . . . sämmtlich reell
und so geordnet seien, dass
[Formel 4]

Alsdann hat R (x), wenn x zwischen den Grenzen am, am + 1 enthalten ist, wo m
irgend eine der Zahlen 1, 2, ..., 2n bedeutet, dasselbe Zeichen wie (--1)m--1, so
dass man setzen kann
[Formel 5] ,
wo sqrt[(--1)m--1 R (x)] den positiven Werth der Quadratwurzel aus der positiven
Grösse (-- 1)m--1 R(x) bezeichnen soll. Liegt x zwischen -- infinity und a1, so hat man
[Formel 6] ,
und wenn x zwischen a2n+1 und + infinity enthalten ist
[Formel 7] Um nun einem Integral wie [Formel 8] eine ganz bestimmte Bedeutung zu ge-
ben, werde für das Folgende festgesetzt, dass bei der Integration von den beiden
Werthen, welche sqrtR (x) hat, immer derjenige in Anwendung kommen soll, den man
erhält, wenn man in den vorstehenden Formeln das obere Zeichen nimmt.

Dies vorausgesetzt setze man in der Gleichung (2) a = am, b = an und nehme
zunächst an, dass n > m + 1 aber < 2n + 1 sei, so darf man a = am+ 1, b = an + 1
nehmen, weil in diesem Fall die Differenz x--y innerhalb der Grenzen der Integration
nicht = 0 wird. Die linke Seite wird alsdann = 0, und man erhält demnach
3. [Formel 9]

[Formel 1] ,
also
[Formel 2]

Es sei nun
[Formel 3] und es werde zunächst angenommen, dass die Zahlen a1, a2 . . . . sämmtlich reell
und so geordnet seien, dass
[Formel 4]

Alsdann hat R (x), wenn x zwischen den Grenzen aμ, aμ + 1 enthalten ist, wo μ
irgend eine der Zahlen 1, 2, …, 2n bedeutet, dasselbe Zeichen wie (—1)μ—1, so
dass man setzen kann
[Formel 5] ,
wo √[(—1)μ—1 R (x)] den positiven Werth der Quadratwurzel aus der positiven
Grösse (— 1)μ—1 R(x) bezeichnen soll. Liegt x zwischen — ∞ und a1, so hat man
[Formel 6] ,
und wenn x zwischen a2n+1 und + ∞ enthalten ist
[Formel 7] Um nun einem Integral wie [Formel 8] eine ganz bestimmte Bedeutung zu ge-
ben, werde für das Folgende festgesetzt, dass bei der Integration von den beiden
Werthen, welche √R (x) hat, immer derjenige in Anwendung kommen soll, den man
erhält, wenn man in den vorstehenden Formeln das obere Zeichen nimmt.

Dies vorausgesetzt setze man in der Gleichung (2) a = aμ, b = aν und nehme
zunächst an, dass ν > μ + 1 aber < 2n + 1 sei, so darf man a = aμ+ 1, β = aν + 1
nehmen, weil in diesem Fall die Differenz x—y innerhalb der Grenzen der Integration
nicht = 0 wird. Die linke Seite wird alsdann = 0, und man erhält demnach
3. [Formel 9]

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[5/0010] [FORMEL], also [FORMEL] Es sei nun [FORMEL] und es werde zunächst angenommen, dass die Zahlen a1, a2 . . . . sämmtlich reell und so geordnet seien, dass [FORMEL] Alsdann hat R (x), wenn x zwischen den Grenzen aμ, aμ + 1 enthalten ist, wo μ irgend eine der Zahlen 1, 2, …, 2n bedeutet, dasselbe Zeichen wie (—1)μ—1, so dass man setzen kann [FORMEL], wo √[(—1)μ—1 R (x)] den positiven Werth der Quadratwurzel aus der positiven Grösse (— 1)μ—1 R(x) bezeichnen soll. Liegt x zwischen — ∞ und a1, so hat man [FORMEL], und wenn x zwischen a2n+1 und + ∞ enthalten ist [FORMEL] Um nun einem Integral wie [FORMEL] eine ganz bestimmte Bedeutung zu ge- ben, werde für das Folgende festgesetzt, dass bei der Integration von den beiden Werthen, welche √R (x) hat, immer derjenige in Anwendung kommen soll, den man erhält, wenn man in den vorstehenden Formeln das obere Zeichen nimmt. Dies vorausgesetzt setze man in der Gleichung (2) a = aμ, b = aν und nehme zunächst an, dass ν > μ + 1 aber < 2n + 1 sei, so darf man a = aμ+ 1, β = aν + 1 nehmen, weil in diesem Fall die Differenz x—y innerhalb der Grenzen der Integration nicht = 0 wird. Die linke Seite wird alsdann = 0, und man erhält demnach 3. [FORMEL] 1*

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Zitationshilfe:	Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 5. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/10>, abgerufen am 03.12.2024.

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