Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

Unter den sogenannten vollständigen elliptischen Integralen der ersten und zweiten
Gattung (den Modular- und elliptischen Quadranten nach Gudermann's Benennung)
welche zu zwei conjungirten Moduln gehören, findet bekanntlich ein einfacher, zuerst
von Legendre aufgefundener Zusammenhang statt, welcher in den jetzt gebräuch-
lichen Zeichen durch die Gleichung
[Formel 1] dargestellt wird. In der vorliegenden Abhandlung beabsichtige ich, für die Abel'schen
Integrale aller Ordnungen eine Reihe analoger Relationen zu entwickeln, welche,
wie ich glaube, nicht bekannt sind. Es findet sich zwar (Crelle's Journal, Bd.
19, S. 312) eine gelegentliche Bemerkung von Jacobi, eine von ihm aufgefundene
Verallgemeinerung des Legendre'schen Satzes betreffend; allein nach den Andeutungen,
die derselbe a. a. O. giebt, glaube ich annehmen zu dürfen, dass die Relation, welche
er im Sinne hat, mit derjenigen übereinstimme, die später Hädenkamp (Crelle's
Journal, Bd. 22, S. 184) auf dem von Jacobi angegebenen Wege hergeleitet hat. Die
Resultate indess, zu welchen ich gelangt bin, sind nicht nur von dem Hädenkamp'-
schen verschieden, sondern auch weit einfacher und mit der Legendre'schen Formel
übereinstimmender.

Die von mir entwickelten Relationen sind für die Theorie der Abel'schen Tran-
scendenten von besonderer Bedeutung. Ich beschäftige mich seit längerer Zeit mit
dieser Theorie und namentlich mit der Hauptaufgabe, die von Jacobi eingeführten
umgekehrten Functionen der Abel'schen Integrale erster Gattung wirklich darzustellen.
Es ist mir gelungen, diese Aufgabe vollständig zu lösen, auf einem Wege, welcher
von dem bisher von Göpel u. A. betretenen gänzlich verschieden ist. Ich gehe näm-
lich unmittelbar von den Integral-Gleichungen aus, durch welche jene Functionen
definirt werden, und zeige zunächst, mit Hülfe des Abel'schen Theorems, dass sie
sämmtlich Wurzeln ein und derselben algebraischen Gleichung sind, deren Coefficienten
ich sodann durch eine Anzahl von Hülfsfunctionen ausdrücke, welche den sogenannten
Th Functionen, auf welche Jacobi die elliptischen Functionen zurückgeführt hat, voll-
kommen analog sind, und gleich diesen durch unendliche, nach einem einfachen Gesetze
gebildete und beständig convergirende Reihen dargestellt werden können. Diese Reihen-

Unter den sogenannten vollständigen elliptischen Integralen der ersten und zweiten
Gattung (den Modular- und elliptischen Quadranten nach Gudermann’s Benennung)
welche zu zwei conjungirten Moduln gehören, findet bekanntlich ein einfacher, zuerst
von Legendre aufgefundener Zusammenhang statt, welcher in den jetzt gebräuch-
lichen Zeichen durch die Gleichung
[Formel 1] dargestellt wird. In der vorliegenden Abhandlung beabsichtige ich, für die Abel’schen
Integrale aller Ordnungen eine Reihe analoger Relationen zu entwickeln, welche,
wie ich glaube, nicht bekannt sind. Es findet sich zwar (Crelle’s Journal, Bd.
19, S. 312) eine gelegentliche Bemerkung von Jacobi, eine von ihm aufgefundene
Verallgemeinerung des Legendre’schen Satzes betreffend; allein nach den Andeutungen,
die derselbe a. a. O. giebt, glaube ich annehmen zu dürfen, dass die Relation, welche
er im Sinne hat, mit derjenigen übereinstimme, die später Hädenkamp (Crelle’s
Journal, Bd. 22, S. 184) auf dem von Jacobi angegebenen Wege hergeleitet hat. Die
Resultate indess, zu welchen ich gelangt bin, sind nicht nur von dem Hädenkamp’-
schen verschieden, sondern auch weit einfacher und mit der Legendre’schen Formel
übereinstimmender.

Die von mir entwickelten Relationen sind für die Theorie der Abel’schen Tran-
scendenten von besonderer Bedeutung. Ich beschäftige mich seit längerer Zeit mit
dieser Theorie und namentlich mit der Hauptaufgabe, die von Jacobi eingeführten
umgekehrten Functionen der Abel’schen Integrale erster Gattung wirklich darzustellen.
Es ist mir gelungen, diese Aufgabe vollständig zu lösen, auf einem Wege, welcher
von dem bisher von Göpel u. A. betretenen gänzlich verschieden ist. Ich gehe näm-
lich unmittelbar von den Integral-Gleichungen aus, durch welche jene Functionen
definirt werden, und zeige zunächst, mit Hülfe des Abel’schen Theorems, dass sie
sämmtlich Wurzeln ein und derselben algebraischen Gleichung sind, deren Coefficienten
ich sodann durch eine Anzahl von Hülfsfunctionen ausdrücke, welche den sogenannten
Θ Functionen, auf welche Jacobi die elliptischen Functionen zurückgeführt hat, voll-
kommen analog sind, und gleich diesen durch unendliche, nach einem einfachen Gesetze
gebildete und beständig convergirende Reihen dargestellt werden können. Diese Reihen-