Wundt, Wilhelm: Handbuch der medicinischen Physik. Erlangen, 1867.

Das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten führt auch am leichtesten zu einem
mathematischen Ausdruck für die Bedingungen des Gleichgewichts. Bezeichnen wir
nämlich die Kraft a e (Fig. 5) durch p, die Kraft c g durch p' und die übrigen etwa
am System wirkenden Kräfte durch p", p''' u. s. w. Bezeichnen wir ferner den b a e
mit a, d c g mit a' und die entsprechenden Winkel der übrigen Kräfte mit a", a'''
u. s. w., so werden die sämmtlichen Componenten, die der Axe a c parallel sind,
durch p. sin. a, p'. sin. a', p". sin. a" u. s. w. die sämmtlichen Componenten, die auf
a c senkrecht stehen, durch p. cos. a, p'. cos. a', p". cos. a" u. s. w. ausgedrückt.
Nimmt man in beiden Fällen die Kräfte, die nach der einen Richtung gehen, positiv
und diejenigen von entgegengesetzter Richtung negativ, so muss offenbar, wenn Gleich-
gewicht in Bezug auf fortschreitende Bewegung bestehen soll,

1) p. sin. a + p'. sin. a' + p". sin. a" + ... = 0 sein, und ebenso muss

2) p. cos. a + p'. cos. a' + p". cos. a" + ... = 0 sein.

Um die Gleichgewichtsbedingung in Bezug auf drehende Bewegung zu finden,
erwäge man, dass, wie wir früher gezeigt haben, die Kraft a e nach m i und die Kraft
c g nach i n verlegt werden kann, wenn man sich nur das Dreieck a i c fest mit a c
verbunden denkt. Dies bedeutet aber hinsichtlich der drehenden Bewegung nichts an-
deres, als dass man sich den Hebel a s c durch den bei s geknickten Hebel m s n er-
setzt denkt, und Gleichgewicht muss nun herrschen, wenn die am Hebelarm m s wir-
kende Kraft m i der am Hebelarm n s wirkenden Kraft n i das Gleichgewicht hält.
Denken wir uns eine virtuelle Drehung um einen b zu Stande gebracht, so ist der vom
Punkt m beschriebene Bogen = m s. b und der vom Punkt n beschriebene Bogen = n s. b,
es muss also nach dem Princip der virtuellen Geschwindigkeiten m i. m s. b = n i. n s. b,
d. h. m i. m s = n i. n s sein, oder wenn wir wieder die Kraft m i = a e mit p, die
Kraft n i = c g mit p', und den Hebelarm m s mit l, n s mit l' bezeichnen: p. l =
p'. l'. Nun sind aber die Linien l und l' nichts anderes als die Perpendikel vom
Punkte s auf die Richtungen der Kräfte a e und c g. Denken wir uns noch beliebig
viele Kräfte p", p''' ... hinzu, so werden wir auch auf ihre Richtungen Perpendikel
l", l''' .... ziehen können, und nehmen wir jetzt wieder die Kräfte, die nach der
einen Richtung zu drehen streben, positiv, die nach der andern Richtung negativ, so
muss, wenn keine Drehung um den Punct s erfolgen soll,

3) p. l + p'. l' + p". l" + ... = 0 sein.

Nun ist es aber klar, dass, wenn wir ganz allgemein untersuchen, ob ein System
sich drehen kann oder nicht, wir einen beliebigen Punkt wählen können, den wir als
Drehpunkt voraussetzen. Wenn ein Körper sich in Bezug auf irgend einen Punkt
nicht gedreht hat, so hat er sich überhaupt nicht gedreht. Folglich hätten wir statt
des Punktes s auch einen andern Punkt nehmen können, und die allgemeine Gleichge-
wichtsbedingung in Bezug auf Drehung lautet nun: wenn man von irgend einem Punkt
aus auf die Richtungen der Kräfte Perpendikel zieht, so muss die Summe der Producte
dieser Kräfte in ihre Perpendikel gleich null sein. Zur allgemeinen Feststellung der
Bedingungen des Gleichgewichtes braucht man also drei Gleichungen, zwei für die fort-
schreitende Bewegung (1 und 2) und eine für die drehende Bewegung (3).

Kaum ist in der Natur oder in der Technik ein Beispiel der Er-22
Anwendungen
der Sätze vom
Kräfteparalle-
logramm und
vom Hebel.
zeugung von Kraft und Geschwindigkeit zu finden, in welchem nicht
der Satz vom Kräfteparallelogramm oder der Satz vom Hebel oder

Das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten führt auch am leichtesten zu einem
mathematischen Ausdruck für die Bedingungen des Gleichgewichts. Bezeichnen wir
nämlich die Kraft a e (Fig. 5) durch p, die Kraft c g durch p' und die übrigen etwa
am System wirkenden Kräfte durch p″, p‴ u. s. w. Bezeichnen wir ferner den ∟ b a e
mit α, d c g mit α' und die entsprechenden Winkel der übrigen Kräfte mit α″, α‴
u. s. w., so werden die sämmtlichen Componenten, die der Axe a c parallel sind,
durch p. sin. α, p'. sin. α', p″. sin. α″ u. s. w. die sämmtlichen Componenten, die auf
a c senkrecht stehen, durch p. cos. α, p'. cos. α', p″. cos. α″ u. s. w. ausgedrückt.
Nimmt man in beiden Fällen die Kräfte, die nach der einen Richtung gehen, positiv
und diejenigen von entgegengesetzter Richtung negativ, so muss offenbar, wenn Gleich-
gewicht in Bezug auf fortschreitende Bewegung bestehen soll,

1) p. sin. α + p'. sin. α' + p″. sin. α″ + … = 0 sein, und ebenso muss

2) p. cos. α + p'. cos. α' + p″. cos. α″ + … = 0 sein.

Um die Gleichgewichtsbedingung in Bezug auf drehende Bewegung zu finden,
erwäge man, dass, wie wir früher gezeigt haben, die Kraft a e nach m i und die Kraft
c g nach i n verlegt werden kann, wenn man sich nur das Dreieck a i c fest mit a c
verbunden denkt. Dies bedeutet aber hinsichtlich der drehenden Bewegung nichts an-
deres, als dass man sich den Hebel a s c durch den bei s geknickten Hebel m s n er-
setzt denkt, und Gleichgewicht muss nun herrschen, wenn die am Hebelarm m s wir-
kende Kraft m i der am Hebelarm n s wirkenden Kraft n i das Gleichgewicht hält.
Denken wir uns eine virtuelle Drehung um einen ∟ β zu Stande gebracht, so ist der vom
Punkt m beschriebene Bogen = m s. β und der vom Punkt n beschriebene Bogen = n s. β,
es muss also nach dem Princip der virtuellen Geschwindigkeiten m i. m s. β = n i. n s. β,
d. h. m i. m s = n i. n s sein, oder wenn wir wieder die Kraft m i = a e mit p, die
Kraft n i = c g mit p', und den Hebelarm m s mit l, n s mit l' bezeichnen: p. l =
p'. l'. Nun sind aber die Linien l und l' nichts anderes als die Perpendikel vom
Punkte s auf die Richtungen der Kräfte a e und c g. Denken wir uns noch beliebig
viele Kräfte p″, p‴ … hinzu, so werden wir auch auf ihre Richtungen Perpendikel
l″, l‴ .... ziehen können, und nehmen wir jetzt wieder die Kräfte, die nach der
einen Richtung zu drehen streben, positiv, die nach der andern Richtung negativ, so
muss, wenn keine Drehung um den Punct s erfolgen soll,

3) p. l + p'. l' + p″. l″ + … = 0 sein.

Nun ist es aber klar, dass, wenn wir ganz allgemein untersuchen, ob ein System
sich drehen kann oder nicht, wir einen beliebigen Punkt wählen können, den wir als
Drehpunkt voraussetzen. Wenn ein Körper sich in Bezug auf irgend einen Punkt
nicht gedreht hat, so hat er sich überhaupt nicht gedreht. Folglich hätten wir statt
des Punktes s auch einen andern Punkt nehmen können, und die allgemeine Gleichge-
wichtsbedingung in Bezug auf Drehung lautet nun: wenn man von irgend einem Punkt
aus auf die Richtungen der Kräfte Perpendikel zieht, so muss die Summe der Producte
dieser Kräfte in ihre Perpendikel gleich null sein. Zur allgemeinen Feststellung der
Bedingungen des Gleichgewichtes braucht man also drei Gleichungen, zwei für die fort-
schreitende Bewegung (1 und 2) und eine für die drehende Bewegung (3).

Kaum ist in der Natur oder in der Technik ein Beispiel der Er-22
Anwendungen
der Sätze vom
Kräfteparalle-
logramm und
vom Hebel.
zeugung von Kraft und Geschwindigkeit zu finden, in welchem nicht
der Satz vom Kräfteparallelogramm oder der Satz vom Hebel oder