Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.
I. Abschnitt. [Gleich. 35] 35)
[Formel 1]
,Für den kritischen Zustand ist daher (wie schon wegen des Verschwindens von d2 p / d v2 für den kritischen Zustand zu erwarten war) auch d2 p / d o2 = 0, dagegen d3 p / d o3 negativ. Die Isotherme hat also daselbst einen Inflexionspunkt. Ihre Tangente wird zwar der Abscissenaxe parallel; aber die Ordi- nate p nimmt zu beiden Seiten mit wachsendem o ab. Die- selbe Isotherme hat einen 2. Inflexionspunkt etwa für o = 1,87; sie wendet also für die zwischen diesem Werthe und der Einheit liegenden Abscissen o ihre concave, für die übrigen Abscissen ihre convexe Seite nach abwärts. Curve 1 der Fig. 1 stellt die der kritischen Temperatur entsprechende Isotherme dar. Die beiden Inflexionspunkte beginnen bei der Isotherme, 3. Es sei 0 < t < 1, d. h. die Temperatur liege unter der 1) d2 p / d o2 verschwindet nämlich für t = (3 o -- 1)3 / 8 o4. Der Aus-
druck rechts ist für sehr grosse Werthe von o, sowie für solche, die wenig grösser als 1/3 sind, positiv und verschwindend klein. Er ist zwischen diesen Grenzen continuirlich und hat ein einziges Maximum 37.2--11 für o = 4/3. Für t > 37.2--11 kann daher d2 p / d o2 nicht verschwinden. I. Abschnitt. [Gleich. 35] 35)
[Formel 1]
,Für den kritischen Zustand ist daher (wie schon wegen des Verschwindens von d2 p / d v2 für den kritischen Zustand zu erwarten war) auch d2 π / d ω2 = 0, dagegen d3 π / d ω3 negativ. Die Isotherme hat also daselbst einen Inflexionspunkt. Ihre Tangente wird zwar der Abscissenaxe parallel; aber die Ordi- nate π nimmt zu beiden Seiten mit wachsendem ω ab. Die- selbe Isotherme hat einen 2. Inflexionspunkt etwa für ω = 1,87; sie wendet also für die zwischen diesem Werthe und der Einheit liegenden Abscissen ω ihre concave, für die übrigen Abscissen ihre convexe Seite nach abwärts. Curve 1 der Fig. 1 stellt die der kritischen Temperatur entsprechende Isotherme dar. Die beiden Inflexionspunkte beginnen bei der Isotherme, 3. Es sei 0 < τ < 1, d. h. die Temperatur liege unter der 1) d2 π / d ω2 verschwindet nämlich für τ = (3 ω — 1)3 / 8 ω4. Der Aus-
druck rechts ist für sehr grosse Werthe von ω, sowie für solche, die wenig grösser als ⅓ sind, positiv und verschwindend klein. Er ist zwischen diesen Grenzen continuirlich und hat ein einziges Maximum 37.2—11 für ω = 4/3. Für τ > 37.2—11 kann daher d2 π / d ω2 nicht verschwinden. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0048" n="30"/><fw place="top" type="header">I. Abschnitt. [Gleich. 35]</fw><lb/> 35) <hi rendition="#et"><formula/>,</hi><lb/> Für den kritischen Zustand ist daher (wie schon wegen des<lb/> Verschwindens von <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">p / d v</hi><hi rendition="#sup">2</hi> für den kritischen Zustand zu<lb/> erwarten war) auch <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">π / d ω</hi><hi rendition="#sup">2</hi> = 0, dagegen <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">3</hi> <hi rendition="#i">π / d ω</hi><hi rendition="#sup">3</hi> negativ.<lb/> Die Isotherme hat also daselbst einen Inflexionspunkt. Ihre<lb/> Tangente wird zwar der Abscissenaxe parallel; aber die Ordi-<lb/> nate <hi rendition="#i">π</hi> nimmt zu beiden Seiten mit wachsendem <hi rendition="#i">ω</hi> ab. Die-<lb/> selbe Isotherme hat einen 2. Inflexionspunkt etwa für <hi rendition="#i">ω</hi> = 1,87;<lb/> sie wendet also für die zwischen diesem Werthe und der Einheit<lb/> liegenden Abscissen <hi rendition="#i">ω</hi> ihre concave, für die übrigen Abscissen<lb/> ihre convexe Seite nach abwärts. Curve 1 der Fig. 1 stellt<lb/> die der kritischen Temperatur entsprechende Isotherme dar.</p><lb/> <p>Die beiden Inflexionspunkte beginnen bei der Isotherme,<lb/> welche zur reducirten Temperatur <hi rendition="#i">τ</hi> = 3<hi rendition="#sup">7</hi>.2<hi rendition="#sup">—11</hi> = 1,06787 gehört,<lb/> wo sie beide unmittelbar bei <hi rendition="#i">ω</hi> = 4/3 liegen<note place="foot" n="1)"><hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi><hi rendition="#i">π / d ω</hi><hi rendition="#sup">2</hi> verschwindet nämlich für <hi rendition="#i">τ</hi> = (3 <hi rendition="#i">ω</hi> — 1)<hi rendition="#sup">3</hi> / 8 <hi rendition="#i">ω</hi><hi rendition="#sup">4</hi>. Der Aus-<lb/> druck rechts ist für sehr grosse Werthe von <hi rendition="#i">ω</hi>, sowie für solche, die<lb/> wenig grösser als ⅓ sind, positiv und verschwindend klein. Er ist zwischen<lb/> diesen Grenzen continuirlich und hat ein einziges Maximum 3<hi rendition="#sup">7</hi>.2<hi rendition="#sup">—11</hi> für<lb/><hi rendition="#i">ω</hi> = 4/3. Für <hi rendition="#i">τ</hi> > 3<hi rendition="#sup">7</hi>.2<hi rendition="#sup">—11</hi> kann daher <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">π / d ω</hi><hi rendition="#sup">2</hi> nicht verschwinden.</note> und rücken für<lb/> kleinere <hi rendition="#i">τ</hi> immer weiter aus einander. Für grössere <hi rendition="#i">τ</hi> fallen<lb/> die Isothermen ohne Inflexionspunkt unter fortdauernder Ab-<lb/> nahme von <hi rendition="#i">d π / d ω</hi> gegen die positive Abscissenaxe ab.</p><lb/> <p>3. Es sei 0 < <hi rendition="#i">τ</hi> < 1, d. h. die Temperatur liege unter der<lb/> kritischen. Dann ist, wie man aus Gleichung 33) sieht, für<lb/><hi rendition="#i">ω</hi> = 1 die Grösse <hi rendition="#i">d π / d ω</hi> positiv, während sie für grosse<lb/> Werthe des <hi rendition="#i">ω</hi> und solche, die nahe an ⅓ liegen, negativ ist.<lb/> Es muss also <hi rendition="#i">d π / d ω</hi> sowohl für einen Werth des <hi rendition="#i">ω</hi>, der<lb/> grösser als 1 ist, als auch für einen, der zwischen 1 und ⅓<lb/> liegt, verschwinden. Für keinen dieser Werthe kann auch noch<lb/><hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">π / d ω</hi><hi rendition="#sup">2</hi> verschwinden, denn aus Gleichung 35) folgt, dass<lb/><hi rendition="#i">d π / d ω</hi> und <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">π / d ω</hi><hi rendition="#sup">2</hi> nur für <hi rendition="#i">ω</hi> = 1 gleichzeitig verschwinden<lb/> können. Dies folgt übrigens auch aus dem Umstande, dass<lb/> dann die Gleichung 30), die sich nur in der Wahl der Maass-<lb/> einheiten von unseren jetzigen unterscheidet, für <hi rendition="#i">v</hi> drei gleiche<lb/> Wurzeln haben müsste, was, wie wir sahen, nur für den<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [30/0048]
I. Abschnitt. [Gleich. 35]
35) [FORMEL],
Für den kritischen Zustand ist daher (wie schon wegen des
Verschwindens von d2 p / d v2 für den kritischen Zustand zu
erwarten war) auch d2 π / d ω2 = 0, dagegen d3 π / d ω3 negativ.
Die Isotherme hat also daselbst einen Inflexionspunkt. Ihre
Tangente wird zwar der Abscissenaxe parallel; aber die Ordi-
nate π nimmt zu beiden Seiten mit wachsendem ω ab. Die-
selbe Isotherme hat einen 2. Inflexionspunkt etwa für ω = 1,87;
sie wendet also für die zwischen diesem Werthe und der Einheit
liegenden Abscissen ω ihre concave, für die übrigen Abscissen
ihre convexe Seite nach abwärts. Curve 1 der Fig. 1 stellt
die der kritischen Temperatur entsprechende Isotherme dar.
Die beiden Inflexionspunkte beginnen bei der Isotherme,
welche zur reducirten Temperatur τ = 37.2—11 = 1,06787 gehört,
wo sie beide unmittelbar bei ω = 4/3 liegen 1) und rücken für
kleinere τ immer weiter aus einander. Für grössere τ fallen
die Isothermen ohne Inflexionspunkt unter fortdauernder Ab-
nahme von d π / d ω gegen die positive Abscissenaxe ab.
3. Es sei 0 < τ < 1, d. h. die Temperatur liege unter der
kritischen. Dann ist, wie man aus Gleichung 33) sieht, für
ω = 1 die Grösse d π / d ω positiv, während sie für grosse
Werthe des ω und solche, die nahe an ⅓ liegen, negativ ist.
Es muss also d π / d ω sowohl für einen Werth des ω, der
grösser als 1 ist, als auch für einen, der zwischen 1 und ⅓
liegt, verschwinden. Für keinen dieser Werthe kann auch noch
d2 π / d ω2 verschwinden, denn aus Gleichung 35) folgt, dass
d π / d ω und d2 π / d ω2 nur für ω = 1 gleichzeitig verschwinden
können. Dies folgt übrigens auch aus dem Umstande, dass
dann die Gleichung 30), die sich nur in der Wahl der Maass-
einheiten von unseren jetzigen unterscheidet, für v drei gleiche
Wurzeln haben müsste, was, wie wir sahen, nur für den
1) d2 π / d ω2 verschwindet nämlich für τ = (3 ω — 1)3 / 8 ω4. Der Aus-
druck rechts ist für sehr grosse Werthe von ω, sowie für solche, die
wenig grösser als ⅓ sind, positiv und verschwindend klein. Er ist zwischen
diesen Grenzen continuirlich und hat ein einziges Maximum 37.2—11 für
ω = 4/3. Für τ > 37.2—11 kann daher d2 π / d ω2 nicht verschwinden.
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