Eben so schwer und mühsam wird diese Rech- nung auch in solchen Fällen, wo aus einem andern Grund es gantz leicht ist so gar eine allgemeine Auflösung zu geben, wie bey dieser Formel geschieht 1 - x - xx + x3, wo auf eine allgemeine Art genommen werden kann x = nn - 1, und da n eine jegliche beliebige Zahl be- deutet.
Dann wann n = 2, so wird x = 3, und unsere Formel = 1 - 3 - 9 + 27 = 16. Nimmt man n = 3, so wird x = 8 und unsere Formel = 1 - 8 - 64 + 512 = 441.
Es ereignet sich aber hier ein gantz besonderer Um- stand, welchem wir diese leichte Auflösung zu dancken haben, und welcher so gleich in die Augen fallen wird, wann wir unsere Formel in Factores auflösen. Es ist aber leicht zu sehen, daß sich dieselbe durch 1 - x theilen laße und der Quotient seyn werde 1 - xx, wel- cher weiter aus diesen Factoren besteht (1 + x) (1 - x); also daß unsere Formel diese Gestalt erhält: 1 - x - xx + x3 = (1 - x) (1 + x) (1 - x) = (1 - x)2. (1 + x). Da nun dieselbe ein Quadrat seyn soll, und ein Quadrat durch ein Quadrat divi-
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Zweyter Abſchnitt
124.
Eben ſo ſchwer und muͤhſam wird dieſe Rech- nung auch in ſolchen Faͤllen, wo aus einem andern Grund es gantz leicht iſt ſo gar eine allgemeine Aufloͤſung zu geben, wie bey dieſer Formel geſchieht 1 - x - xx + x3, wo auf eine allgemeine Art genommen werden kann x = nn - 1, und da n eine jegliche beliebige Zahl be- deutet.
Dann wann n = 2, ſo wird x = 3, und unſere Formel = 1 - 3 - 9 + 27 = 16. Nimmt man n = 3, ſo wird x = 8 und unſere Formel = 1 - 8 - 64 + 512 = 441.
Es ereignet ſich aber hier ein gantz beſonderer Um- ſtand, welchem wir dieſe leichte Aufloͤſung zu dancken haben, und welcher ſo gleich in die Augen fallen wird, wann wir unſere Formel in Factores aufloͤſen. Es iſt aber leicht zu ſehen, daß ſich dieſelbe durch 1 - x theilen laße und der Quotient ſeyn werde 1 - xx, wel- cher weiter aus dieſen Factoren beſteht (1 + x) (1 - x); alſo daß unſere Formel dieſe Geſtalt erhaͤlt: 1 - x - xx + x3 = (1 - x) (1 + x) (1 - x) = (1 - x)2. (1 + x). Da nun dieſelbe ein Quadrat ſeyn ſoll, und ein Quadrat durch ein Quadrat divi-
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Zweyter Abſchnitt
124.
Eben ſo ſchwer und muͤhſam wird dieſe Rech-
nung auch in ſolchen Faͤllen, wo aus einem andern
Grund es gantz leicht iſt ſo gar eine allgemeine Aufloͤſung
zu geben, wie bey dieſer Formel geſchieht 1 - x - xx + x3,
wo auf eine allgemeine Art genommen werden kann
x = nn - 1, und da n eine jegliche beliebige Zahl be-
deutet.
Dann wann n = 2, ſo wird x = 3, und unſere
Formel = 1 - 3 - 9 + 27 = 16. Nimmt man n = 3, ſo
wird x = 8 und unſere Formel = 1 - 8 - 64 + 512
= 441.
Es ereignet ſich aber hier ein gantz beſonderer Um-
ſtand, welchem wir dieſe leichte Aufloͤſung zu dancken
haben, und welcher ſo gleich in die Augen fallen
wird, wann wir unſere Formel in Factores aufloͤſen.
Es iſt aber leicht zu ſehen, daß ſich dieſelbe durch 1 - x
theilen laße und der Quotient ſeyn werde 1 - xx, wel-
cher weiter aus dieſen Factoren beſteht (1 + x) (1 - x);
alſo daß unſere Formel dieſe Geſtalt erhaͤlt:
1 - x - xx + x3 = (1 - x) (1 + x) (1 - x) =
(1 - x)2. (1 + x). Da nun dieſelbe ein Quadrat
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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 342. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/344>, abgerufen am 27.11.2024.
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