Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z, Man sieht ferner leicht ein, dass man auch hier das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z, Man sieht ferner leicht ein, daſs man auch hier <TEI> <text> <body> <div n="1"> <p><pb facs="#f0012" n="7"/> das Potential in dem Punkte <hi rendition="#i">O</hi>, dessen Coordinaten <hi rendition="#i">x, y, z</hi>,<lb/> also die Entfernung von jenem Element<lb/><hi rendition="#et"><formula/></hi> Es wird folglich<lb/><hi rendition="#et"><formula/></hi> durch den ganzen Raum <hi rendition="#i">t</hi> ausgedehnt, was eine dreifache In-<lb/> tegration implicirt. Man sieht leicht, daſs eine wahre Integra-<lb/> tion stattnehmig ist, auch wenn <hi rendition="#i">O</hi> innerhalb des Raumes sich<lb/> befindet, obgleich dann <formula/> für die unendlich nahe bei <hi rendition="#i">O</hi> lie-<lb/> genden Elemente unendlich groſs wird. Denn wenn man an-<lb/> statt <hi rendition="#i">a, b, c</hi> Polarcoordinaten einführt, indem man<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">r</hi> cos <hi rendition="#i">u, b</hi> = <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">r</hi> sin <hi rendition="#i">u</hi> cos <hi rendition="#i">λ, c</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> + <hi rendition="#i">r</hi> sin <hi rendition="#i">u</hi> sin <hi rendition="#i">λ</hi></hi><lb/> setzt, so wird d<hi rendition="#i">t</hi> = <hi rendition="#i">r r</hi> sin <hi rendition="#i">u</hi> . d <hi rendition="#i">u</hi> . d <hi rendition="#i">λ</hi> . d <hi rendition="#i">r</hi>, mithin<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">V</hi> = <hi rendition="#i">∫∫∫ kr</hi> sin <hi rendition="#i">u</hi> . d <hi rendition="#i">u</hi> . d <hi rendition="#i">λ</hi> . d <hi rendition="#i">r</hi></hi><lb/> wo die Integration in Beziehung auf <hi rendition="#i">r</hi> von <hi rendition="#i">r</hi> = <hi rendition="#i">o</hi> bis zu dem<lb/> an der Grenze von <hi rendition="#i">t</hi> Statt findendenden Werthe, von <hi rendition="#i">λ</hi> = <hi rendition="#i">o</hi> bis<lb/><hi rendition="#i">λ</hi> = 2<hi rendition="#i">n</hi>, und von <hi rendition="#i">u</hi> = <hi rendition="#i">o</hi> bis <hi rendition="#i">u</hi> = <hi rendition="#i">n</hi> ausgedehnt werden muſs.<lb/> Es wird also nothwendig <hi rendition="#i">V</hi> einen bestimmten endlichen Werth<lb/> erhalten.</p><lb/> <p>Man sieht ferner leicht ein, daſs man auch hier<lb/><hi rendition="#et"><formula/></hi> setzen darf. Die Befugniſs dazu beruhet darauf, daſs auch<lb/> dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordi-<lb/> naten in<lb/><hi rendition="#et"><formula/></hi> übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also <hi rendition="#i">X</hi> einen be-<lb/> stimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit<lb/> ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei <hi rendition="#i">O</hi> liegenden Ele-<lb/> mente nur einen unendlich kleinen Beitrag dazu geben. Aus<lb/> ähnlichen Gründen darf man auch<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> </p> </div> </body> </text> </TEI> [7/0012]
das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z,
also die Entfernung von jenem Element
[FORMEL] Es wird folglich
[FORMEL] durch den ganzen Raum t ausgedehnt, was eine dreifache In-
tegration implicirt. Man sieht leicht, daſs eine wahre Integra-
tion stattnehmig ist, auch wenn O innerhalb des Raumes sich
befindet, obgleich dann [FORMEL] für die unendlich nahe bei O lie-
genden Elemente unendlich groſs wird. Denn wenn man an-
statt a, b, c Polarcoordinaten einführt, indem man
a = x + r cos u, b = y + r sin u cos λ, c = z + r sin u sin λ
setzt, so wird dt = r r sin u . d u . d λ . d r, mithin
V = ∫∫∫ kr sin u . d u . d λ . d r
wo die Integration in Beziehung auf r von r = o bis zu dem
an der Grenze von t Statt findendenden Werthe, von λ = o bis
λ = 2n, und von u = o bis u = n ausgedehnt werden muſs.
Es wird also nothwendig V einen bestimmten endlichen Werth
erhalten.
Man sieht ferner leicht ein, daſs man auch hier
[FORMEL] setzen darf. Die Befugniſs dazu beruhet darauf, daſs auch
dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordi-
naten in
[FORMEL] übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also X einen be-
stimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit
ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei O liegenden Ele-
mente nur einen unendlich kleinen Beitrag dazu geben. Aus
ähnlichen Gründen darf man auch
[FORMEL]
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Zitationshilfe: | Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 7. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/12>, abgerufen am 16.07.2024. |