Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z,
also die Entfernung von jenem Element
[Formel 1] Es wird folglich
[Formel 2] durch den ganzen Raum t ausgedehnt, was eine dreifache In-
tegration implicirt. Man sieht leicht, dass eine wahre Integra-
tion stattnehmig ist, auch wenn O innerhalb des Raumes sich
befindet, obgleich dann [Formel 3] für die unendlich nahe bei O lie-
genden Elemente unendlich gross wird. Denn wenn man an-
statt a, b, c Polarcoordinaten einführt, indem man
a = x + r cos u, b = y + r sin u cos l, c = z + r sin u sin l
setzt, so wird dt = r r sin u . d u . d l . d r, mithin
V = integralintegralintegral kr sin u . d u . d l . d r
wo die Integration in Beziehung auf r von r = o bis zu dem
an der Grenze von t Statt findendenden Werthe, von l = o bis
l = 2n, und von u = o bis u = n ausgedehnt werden muss.
Es wird also nothwendig V einen bestimmten endlichen Werth
erhalten.

Man sieht ferner leicht ein, dass man auch hier
[Formel 4] setzen darf. Die Befugniss dazu beruhet darauf, dass auch
dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordi-
naten in
[Formel 5] übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also X einen be-
stimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit
ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei O liegenden Ele-
mente nur einen unendlich kleinen Beitrag dazu geben. Aus
ähnlichen Gründen darf man auch
[Formel 6]

das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z,
also die Entfernung von jenem Element
[Formel 1] Es wird folglich
[Formel 2] durch den ganzen Raum t ausgedehnt, was eine dreifache In-
tegration implicirt. Man sieht leicht, daſs eine wahre Integra-
tion stattnehmig ist, auch wenn O innerhalb des Raumes sich
befindet, obgleich dann [Formel 3] für die unendlich nahe bei O lie-
genden Elemente unendlich groſs wird. Denn wenn man an-
statt a, b, c Polarcoordinaten einführt, indem man
a = x + r cos u, b = y + r sin u cos λ, c = z + r sin u sin λ
setzt, so wird dt = r r sin u . d u . d λ . d r, mithin
V = ∫∫∫ kr sin u . d u . d λ . d r
wo die Integration in Beziehung auf r von r = o bis zu dem
an der Grenze von t Statt findendenden Werthe, von λ = o bis
λ = 2n, und von u = o bis u = n ausgedehnt werden muſs.
Es wird also nothwendig V einen bestimmten endlichen Werth
erhalten.

Man sieht ferner leicht ein, daſs man auch hier
[Formel 4] setzen darf. Die Befugniſs dazu beruhet darauf, daſs auch
dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordi-
naten in
[Formel 5] übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also X einen be-
stimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit
ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei O liegenden Ele-
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ähnlichen Gründen darf man auch
[Formel 6]

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[7/0012] das Potential in dem Punkte O, dessen Coordinaten x, y, z, also die Entfernung von jenem Element [FORMEL] Es wird folglich [FORMEL] durch den ganzen Raum t ausgedehnt, was eine dreifache In- tegration implicirt. Man sieht leicht, daſs eine wahre Integra- tion stattnehmig ist, auch wenn O innerhalb des Raumes sich befindet, obgleich dann [FORMEL] für die unendlich nahe bei O lie- genden Elemente unendlich groſs wird. Denn wenn man an- statt a, b, c Polarcoordinaten einführt, indem man a = x + r cos u, b = y + r sin u cos λ, c = z + r sin u sin λ setzt, so wird dt = r r sin u . d u . d λ . d r, mithin V = ∫∫∫ kr sin u . d u . d λ . d r wo die Integration in Beziehung auf r von r = o bis zu dem an der Grenze von t Statt findendenden Werthe, von λ = o bis λ = 2n, und von u = o bis u = n ausgedehnt werden muſs. Es wird also nothwendig V einen bestimmten endlichen Werth erhalten. Man sieht ferner leicht ein, daſs man auch hier [FORMEL] setzen darf. Die Befugniſs dazu beruhet darauf, daſs auch dieser Ausdruck, welcher unter Anwendung von Polarcoordi- naten in [FORMEL] übergeht, einer wahren Integration fähig ist, also X einen be- stimmten endlichen Werth erhält, der sich nach der Stetigkeit ändert, weil alle in unendlicher Nähe bei O liegenden Ele- mente nur einen unendlich kleinen Beitrag dazu geben. Aus ähnlichen Gründen darf man auch [FORMEL]

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Zitationshilfe:	Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 7. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/12>, abgerufen am 04.12.2024.

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