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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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setzen, und diese Grössen erhalten daher, eben so wie V, in-
nerhalb t bestimmte nach der Stetigkeit sich ändernde Werthe.
Dasselbe wird auch noch auf der Grenze von t gelten.

7.

Was nun aber die Differentialquotienten höherer Ordnun-
gen betrifft, so muss für Punkte innerhalb t ein anderes Ver-
fahren eintreten, da es z. B. nicht verstattet ist, [Formel 1] in
[Formel 2] umzuformen, indem dieser Ausdruck genau betrachtet nur ein
Zeichen ohne bestimmte klare Bedeutung sein würde. Denn
in der That, da sich innerhalb jedes auch noch so kleinen
Theils von t, welcher den Punkt einschliesst, Theile nachwei-
sen lassen, über welche ausgedehnt dieses Integral jeden vor-
gegebenen Werth, er sei positiv oder negativ, überschreitet, so
fehlt hier die wesentliche Bedingung, unter welcher allein dem
ganzen Integrale eine klare Bedeutung beigelegt werden kann,
nemlich die Anwendbarkeit der Exhaustionsmethode.

8.

Ehe wir diese Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vor-
nehmen, wird es zur Fixirung der Vorstellungen nützlich sein,
einen sehr einfachen speciellen Fall zu betrachten.

Es sei t eine Kugel, deren Halbmesser = R ist, und de-
ren Mittelpunkt mit dem Anfangspunkte der Coordinaten zu-
sammenfällt: die Dichtigkeit der die Kugel erfüllenden Masse sei
constant = k, und den Abstand des Punktes O vom Mittelpunkte
bezeichnen wir mit [Formel 3] . Bekanntlich hat das
Potential zwei verschiedene Ausdrücke, je nachdem O innerhalb
der Kugel, oder ausserhalb liegt. Im erstern Fall ist nemlich
[Formel 4] im zweiten hingegen

setzen, und diese Gröſsen erhalten daher, eben so wie V, in-
nerhalb t bestimmte nach der Stetigkeit sich ändernde Werthe.
Dasselbe wird auch noch auf der Grenze von t gelten.

7.

Was nun aber die Differentialquotienten höherer Ordnun-
gen betrifft, so muſs für Punkte innerhalb t ein anderes Ver-
fahren eintreten, da es z. B. nicht verstattet ist, [Formel 1] in
[Formel 2] umzuformen, indem dieser Ausdruck genau betrachtet nur ein
Zeichen ohne bestimmte klare Bedeutung sein würde. Denn
in der That, da sich innerhalb jedes auch noch so kleinen
Theils von t, welcher den Punkt einschlieſst, Theile nachwei-
sen lassen, über welche ausgedehnt dieses Integral jeden vor-
gegebenen Werth, er sei positiv oder negativ, überschreitet, so
fehlt hier die wesentliche Bedingung, unter welcher allein dem
ganzen Integrale eine klare Bedeutung beigelegt werden kann,
nemlich die Anwendbarkeit der Exhaustionsmethode.

8.

Ehe wir diese Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vor-
nehmen, wird es zur Fixirung der Vorstellungen nützlich sein,
einen sehr einfachen speciellen Fall zu betrachten.

Es sei t eine Kugel, deren Halbmesser = R ist, und de-
ren Mittelpunkt mit dem Anfangspunkte der Coordinaten zu-
sammenfällt: die Dichtigkeit der die Kugel erfüllenden Masse sei
constant = k, und den Abstand des Punktes O vom Mittelpunkte
bezeichnen wir mit [Formel 3] . Bekanntlich hat das
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[8/0013] setzen, und diese Gröſsen erhalten daher, eben so wie V, in- nerhalb t bestimmte nach der Stetigkeit sich ändernde Werthe. Dasselbe wird auch noch auf der Grenze von t gelten. 7. Was nun aber die Differentialquotienten höherer Ordnun- gen betrifft, so muſs für Punkte innerhalb t ein anderes Ver- fahren eintreten, da es z. B. nicht verstattet ist, [FORMEL] in [FORMEL] umzuformen, indem dieser Ausdruck genau betrachtet nur ein Zeichen ohne bestimmte klare Bedeutung sein würde. Denn in der That, da sich innerhalb jedes auch noch so kleinen Theils von t, welcher den Punkt einschlieſst, Theile nachwei- sen lassen, über welche ausgedehnt dieses Integral jeden vor- gegebenen Werth, er sei positiv oder negativ, überschreitet, so fehlt hier die wesentliche Bedingung, unter welcher allein dem ganzen Integrale eine klare Bedeutung beigelegt werden kann, nemlich die Anwendbarkeit der Exhaustionsmethode. 8. Ehe wir diese Untersuchung in ihrer Allgemeinheit vor- nehmen, wird es zur Fixirung der Vorstellungen nützlich sein, einen sehr einfachen speciellen Fall zu betrachten. Es sei t eine Kugel, deren Halbmesser = R ist, und de- ren Mittelpunkt mit dem Anfangspunkte der Coordinaten zu- sammenfällt: die Dichtigkeit der die Kugel erfüllenden Masse sei constant = k, und den Abstand des Punktes O vom Mittelpunkte bezeichnen wir mit [FORMEL]. Bekanntlich hat das Potential zwei verschiedene Ausdrücke, je nachdem O innerhalb der Kugel, oder auſserhalb liegt. Im erstern Fall ist nemlich [FORMEL] im zweiten hingegen

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 8. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/13>, abgerufen am 04.12.2024.