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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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schieden wird, und wovon r r d s . dr ein unbestimmtes Element
ist. Derjenige Theil von M, welcher sich auf diesen Raum
bezieht, wird folglich durch [Formel 1] . dr ausgedrückt werden,
wenn diese Integration durch alle in t fallenden Theile einer
durch O und einen Punkt von ds gehenden soweit als nöthig
verlängerte gerade Linie r erstreckt wird. Nehmen wir nun
an, diese gerade Linie schneide die Oberfläche von t der Reihe
nach in O', O'', O''', OIV u. s. f.; bezeichnen mit r', r'', r''', rIV
u. s. f. die Werthe von r in diesen Punkten; mit ds', ds'', ds''',
dsIV u. s. f. die entsprechenden durch den Elementarkegel aus
der Oberfläche von t ausgeschiedenen Elemente; mit k', k'', k''',
kIV u. s. f. die Werthe von k, und mit ps', ps'', ps''', psIV u. s. f.
die Werthe von ps an diesen Elementen: so übersieht man
leicht, dass

I. für den Fall, wo O innerhalb t liegt, die Anzahl jener
Punkte ungerade, und die Integration [Formel 2] von r = 0
bis r = r', dann von r = r'' bis r = r''' u. s. f. auszuführen
sein wird, woraus also, wenn die Dichtigkeit in O mit k0 be-
zeichnet wird, hervorgeht
[Formel 3]

Da die Winkel ps', ps'', ps''', psIV u. s. f. offenbar abwech-
selnd spitz und stumpf sind, so wird
[Formel 4] u. s. f. und folglich
[Formel 5] indem die Summation auf alle ds ausgedehnt wird, welche dem

schieden wird, und wovon r r d σ . dr ein unbestimmtes Element
ist. Derjenige Theil von M, welcher sich auf diesen Raum
bezieht, wird folglich durch [Formel 1] . dr ausgedrückt werden,
wenn diese Integration durch alle in t fallenden Theile einer
durch O und einen Punkt von dσ gehenden soweit als nöthig
verlängerte gerade Linie r erstreckt wird. Nehmen wir nun
an, diese gerade Linie schneide die Oberfläche von t der Reihe
nach in O', O'', O''', OIV u. s. f.; bezeichnen mit r', r'', r''', rIV
u. s. f. die Werthe von r in diesen Punkten; mit ds', ds'', ds''',
dsIV u. s. f. die entsprechenden durch den Elementarkegel aus
der Oberfläche von t ausgeschiedenen Elemente; mit k', k'', k''',
kIV u. s. f. die Werthe von k, und mit ψ', ψ'', ψ''', ψIV u. s. f.
die Werthe von ψ an diesen Elementen: so übersieht man
leicht, daſs

I. für den Fall, wo O innerhalb t liegt, die Anzahl jener
Punkte ungerade, und die Integration [Formel 2] von r = 0
bis r = r', dann von r = r'' bis r = r''' u. s. f. auszuführen
sein wird, woraus also, wenn die Dichtigkeit in O mit k0 be-
zeichnet wird, hervorgeht
[Formel 3]

Da die Winkel ψ', ψ'', ψ''', ψIV u. s. f. offenbar abwech-
selnd spitz und stumpf sind, so wird
[Formel 4] u. s. f. und folglich
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[15/0020] schieden wird, und wovon r r d σ . dr ein unbestimmtes Element ist. Derjenige Theil von M, welcher sich auf diesen Raum bezieht, wird folglich durch [FORMEL]. dr ausgedrückt werden, wenn diese Integration durch alle in t fallenden Theile einer durch O und einen Punkt von dσ gehenden soweit als nöthig verlängerte gerade Linie r erstreckt wird. Nehmen wir nun an, diese gerade Linie schneide die Oberfläche von t der Reihe nach in O', O'', O''', OIV u. s. f.; bezeichnen mit r', r'', r''', rIV u. s. f. die Werthe von r in diesen Punkten; mit ds', ds'', ds''', dsIV u. s. f. die entsprechenden durch den Elementarkegel aus der Oberfläche von t ausgeschiedenen Elemente; mit k', k'', k''', kIV u. s. f. die Werthe von k, und mit ψ', ψ'', ψ''', ψIV u. s. f. die Werthe von ψ an diesen Elementen: so übersieht man leicht, daſs I. für den Fall, wo O innerhalb t liegt, die Anzahl jener Punkte ungerade, und die Integration [FORMEL] von r = 0 bis r = r', dann von r = r'' bis r = r''' u. s. f. auszuführen sein wird, woraus also, wenn die Dichtigkeit in O mit k0 be- zeichnet wird, hervorgeht [FORMEL] Da die Winkel ψ', ψ'', ψ''', ψIV u. s. f. offenbar abwech- selnd spitz und stumpf sind, so wird [FORMEL] u. s. f. und folglich [FORMEL] indem die Summation auf alle ds ausgedehnt wird, welche dem

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 15. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/20>, abgerufen am 04.12.2024.