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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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der Kugel innerhalb A liegender Punkt ist, X' und [Formel 1]
gleichbedeutend sind und bestimmte nach der Stetigkeit sich
ändernde Werthe haben, so erhellet, dass das gegenseitige Ver-
halten zwischen X0 -- X' und [Formel 2] , d. i. zwischen
X und [Formel 3] ganz dasselbe ist, wie zwischen X0 und [Formel 4] ,
woraus also die im vorhergehenden Artikel aufgestellten Sätze
von selbst folgen.

15.

Für die allgemeinere Untersuchung ist es vortheilhaft, den
Anfangspunkt der Coordinaten in einen in der Fläche selbst lie-
genden Punkt P zu setzen, und die erste Coordinatenaxe senk-
recht gegen die Berührungsebene in P zu legen. Bezeich-
nen wir mit ps den Winkel zwischen der Normale auf das
unbestimmte Flächenelement ds und der ersten Coordinatenaxe,
so ist cos ps . ds die Projection von ds auf die Ebene der b und
c; und setzen wir sqrt (bb + cc) = r, b = r cos th, c = r sin th,
so wird r dr . d th ein unbestimmtes Element dieser Ebene vor-
stellen, und das entsprechende Flächenelement ds [Formel 5]
sein; das darin enthaltene Massenelement wird also = h r d r . d th
sein, wenn wir zur Abkürzung h für [Formel 6] schreiben.

Wir wollen nun untersuchen, inwiefern der Werth von
X sich sprungsweise ändert, indem der Punkt O in der ersten
Coordinatenaxe von der einen Seite der Fläche auf die andere,
oder x aus einem negativen Werthe in einen positiven über-
geht. Für diese Frage ist es offenbar einerlei, ob wir die
ganze Fläche in Betracht ziehen, oder nur einen beliebig klei-
nen, den Punkt P einschliessenden Theil, da der Beitrag des
übrigen Theils der Fläche zu dem Werthe von X sich nach
der Stetigkeit ändert. Es ist daher erlaubt, r nur von 0 bis
zu einem beliebig kleinen Grenzwerthe r' auszudehnen, und
vorauszusetzen, dass in der so begrenzten Fläche h und [Formel 7] sich

der Kugel innerhalb A liegender Punkt ist, X' und [Formel 1]
gleichbedeutend sind und bestimmte nach der Stetigkeit sich
ändernde Werthe haben, so erhellet, daſs das gegenseitige Ver-
halten zwischen X0 — X' und [Formel 2] , d. i. zwischen
X und [Formel 3] ganz dasselbe ist, wie zwischen X0 und [Formel 4] ,
woraus also die im vorhergehenden Artikel aufgestellten Sätze
von selbst folgen.

15.

Für die allgemeinere Untersuchung ist es vortheilhaft, den
Anfangspunkt der Coordinaten in einen in der Fläche selbst lie-
genden Punkt P zu setzen, und die erste Coordinatenaxe senk-
recht gegen die Berührungsebene in P zu legen. Bezeich-
nen wir mit ψ den Winkel zwischen der Normale auf das
unbestimmte Flächenelement ds und der ersten Coordinatenaxe,
so ist cos ψ . ds die Projection von ds auf die Ebene der b und
c; und setzen wir √ (bb + cc) = ρ, b = ρ cos θ, c = ρ sin θ,
so wird ρ dρ . d θ ein unbestimmtes Element dieser Ebene vor-
stellen, und das entsprechende Flächenelement ds [Formel 5]
sein; das darin enthaltene Massenelement wird also = h ρ d ρ . d θ
sein, wenn wir zur Abkürzung h für [Formel 6] schreiben.

Wir wollen nun untersuchen, inwiefern der Werth von
X sich sprungsweise ändert, indem der Punkt O in der ersten
Coordinatenaxe von der einen Seite der Fläche auf die andere,
oder x aus einem negativen Werthe in einen positiven über-
geht. Für diese Frage ist es offenbar einerlei, ob wir die
ganze Fläche in Betracht ziehen, oder nur einen beliebig klei-
nen, den Punkt P einschlieſsenden Theil, da der Beitrag des
übrigen Theils der Fläche zu dem Werthe von X sich nach
der Stetigkeit ändert. Es ist daher erlaubt, ρ nur von 0 bis
zu einem beliebig kleinen Grenzwerthe ρ' auszudehnen, und
vorauszusetzen, daſs in der so begrenzten Fläche h und [Formel 7] sich

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[21/0026] der Kugel innerhalb A liegender Punkt ist, X' und [FORMEL] gleichbedeutend sind und bestimmte nach der Stetigkeit sich ändernde Werthe haben, so erhellet, daſs das gegenseitige Ver- halten zwischen X0 — X' und [FORMEL], d. i. zwischen X und [FORMEL] ganz dasselbe ist, wie zwischen X0 und [FORMEL], woraus also die im vorhergehenden Artikel aufgestellten Sätze von selbst folgen. 15. Für die allgemeinere Untersuchung ist es vortheilhaft, den Anfangspunkt der Coordinaten in einen in der Fläche selbst lie- genden Punkt P zu setzen, und die erste Coordinatenaxe senk- recht gegen die Berührungsebene in P zu legen. Bezeich- nen wir mit ψ den Winkel zwischen der Normale auf das unbestimmte Flächenelement ds und der ersten Coordinatenaxe, so ist cos ψ . ds die Projection von ds auf die Ebene der b und c; und setzen wir √ (bb + cc) = ρ, b = ρ cos θ, c = ρ sin θ, so wird ρ dρ . d θ ein unbestimmtes Element dieser Ebene vor- stellen, und das entsprechende Flächenelement ds [FORMEL] sein; das darin enthaltene Massenelement wird also = h ρ d ρ . d θ sein, wenn wir zur Abkürzung h für [FORMEL] schreiben. Wir wollen nun untersuchen, inwiefern der Werth von X sich sprungsweise ändert, indem der Punkt O in der ersten Coordinatenaxe von der einen Seite der Fläche auf die andere, oder x aus einem negativen Werthe in einen positiven über- geht. Für diese Frage ist es offenbar einerlei, ob wir die ganze Fläche in Betracht ziehen, oder nur einen beliebig klei- nen, den Punkt P einschlieſsenden Theil, da der Beitrag des übrigen Theils der Fläche zu dem Werthe von X sich nach der Stetigkeit ändert. Es ist daher erlaubt, ρ nur von 0 bis zu einem beliebig kleinen Grenzwerthe ρ' auszudehnen, und vorauszusetzen, daſs in der so begrenzten Fläche h und [FORMEL] sich

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 21. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/26>, abgerufen am 04.12.2024.