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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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überall nach der Stetigkeit ändern. Setzen wir, für jeden be-
stimmten Werth von th, den Werth des Integrals [Formel 1] ,
von r = 0 bis r = r' ausgedehnt, = Q, so wird X = integralQdth,
wo die Integration von th = 0, bis th = 2p zu erstrecken ist.

Es kommt nun darauf an, die Werthe von X für x = 0,
für ein unendliches kleines positives x, und für ein unendlich
kleines negatives (die beiden andern Coordinaten y, z allemahl
= 0 angenommen) unter einander zu vergleichen; wir bezeich-
nen diese drei Werthe von X mit X0, X', X'', und die ent-
sprechenden Werthe von Q mit Q0, Q', Q''.

Da r = sqrt ((a -- x)2 + rr), so erhält man, indem man
th als constant betrachtet,
[Formel 2] und folglich Q =
[Formel 3] .
wo die beiden Integrationen von r = 0 bis r = r' auszudeh-
nen, und die Werthe von h, a, r für r = r' mit h', a', r'
bezeichnet sind. Als Constante hat man den Werth von
[Formel 4] für r = 0 anzunehmen, welcher wenn man die
Dichtigkeit in P mit k0 bezeichnet, = -- k0 wird für ein po-
sitives x, und = + k0 für ein negatives, indem für r = 0
offenbar a = 0, ps = 0, h = k0, x = +/- r wird. Für den
Fall x = 0 hingegen hat man als Constante den Grenzwerth
von [Formel 5] bei unendlich abnehmendem r anzunehmen, welcher
= 0 ist, weil a ein Unendlichkleines von einer höhern Ord-
nung wird als r.

Der Werth des Integrals [Formel 6] . dr bleibt bis auf
einen unendlich kleinen Unterschied derselbe, man möge x = 0,
oder unendlich klein = +/- e setzen. Zerlegt man nemlich
jenes Integral in

überall nach der Stetigkeit ändern. Setzen wir, für jeden be-
stimmten Werth von θ, den Werth des Integrals [Formel 1] ,
von ρ = 0 bis ρ = ρ' ausgedehnt, = Q, so wird X = ∫Qdθ,
wo die Integration von θ = 0, bis θ = 2π zu erstrecken ist.

Es kommt nun darauf an, die Werthe von X für x = 0,
für ein unendliches kleines positives x, und für ein unendlich
kleines negatives (die beiden andern Coordinaten y, z allemahl
= 0 angenommen) unter einander zu vergleichen; wir bezeich-
nen diese drei Werthe von X mit X0, X', X'', und die ent-
sprechenden Werthe von Q mit Q0, Q', Q''.

Da r = √ ((a — x)2 + ρρ), so erhält man, indem man
θ als constant betrachtet,
[Formel 2] und folglich Q =
[Formel 3] .
wo die beiden Integrationen von ρ = 0 bis ρ = ρ' auszudeh-
nen, und die Werthe von h, a, r für ρ = ρ' mit h', a', r'
bezeichnet sind. Als Constante hat man den Werth von
[Formel 4] für ρ = 0 anzunehmen, welcher wenn man die
Dichtigkeit in P mit k0 bezeichnet, = — k0 wird für ein po-
sitives x, und = + k0 für ein negatives, indem für ρ = 0
offenbar a = 0, ψ = 0, h = k0, x = ± r wird. Für den
Fall x = 0 hingegen hat man als Constante den Grenzwerth
von [Formel 5] bei unendlich abnehmendem ρ anzunehmen, welcher
= 0 ist, weil a ein Unendlichkleines von einer höhern Ord-
nung wird als r.

Der Werth des Integrals [Formel 6] . dρ bleibt bis auf
einen unendlich kleinen Unterschied derselbe, man möge x = 0,
oder unendlich klein = ± ε setzen. Zerlegt man nemlich
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[22/0027] überall nach der Stetigkeit ändern. Setzen wir, für jeden be- stimmten Werth von θ, den Werth des Integrals [FORMEL], von ρ = 0 bis ρ = ρ' ausgedehnt, = Q, so wird X = ∫Qdθ, wo die Integration von θ = 0, bis θ = 2π zu erstrecken ist. Es kommt nun darauf an, die Werthe von X für x = 0, für ein unendliches kleines positives x, und für ein unendlich kleines negatives (die beiden andern Coordinaten y, z allemahl = 0 angenommen) unter einander zu vergleichen; wir bezeich- nen diese drei Werthe von X mit X0, X', X'', und die ent- sprechenden Werthe von Q mit Q0, Q', Q''. Da r = √ ((a — x)2 + ρρ), so erhält man, indem man θ als constant betrachtet, [FORMEL] und folglich Q = [FORMEL]. wo die beiden Integrationen von ρ = 0 bis ρ = ρ' auszudeh- nen, und die Werthe von h, a, r für ρ = ρ' mit h', a', r' bezeichnet sind. Als Constante hat man den Werth von [FORMEL] für ρ = 0 anzunehmen, welcher wenn man die Dichtigkeit in P mit k0 bezeichnet, = — k0 wird für ein po- sitives x, und = + k0 für ein negatives, indem für ρ = 0 offenbar a = 0, ψ = 0, h = k0, x = ± r wird. Für den Fall x = 0 hingegen hat man als Constante den Grenzwerth von [FORMEL] bei unendlich abnehmendem ρ anzunehmen, welcher = 0 ist, weil a ein Unendlichkleines von einer höhern Ord- nung wird als r. Der Werth des Integrals [FORMEL]. dρ bleibt bis auf einen unendlich kleinen Unterschied derselbe, man möge x = 0, oder unendlich klein = ± ε setzen. Zerlegt man nemlich jenes Integral in

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 22. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/27>, abgerufen am 29.04.2024.