Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.
[Formel 1]
so ist klar, dass das Behauptete für den ersten Theil gilt, Ein ähnlicher Schluss gilt auch in Beziehung auf das In- Endlich sind auch offenbar die Werthe von
[Formel 7]
für Hieraus folgt also, dass Q' + k0, Q0, Q'' -- k0 bis auf Man kann diesen wichtigen Satz auch so ausdrücken: der
[Formel 1]
so ist klar, daſs das Behauptete für den ersten Theil gilt, Ein ähnlicher Schluſs gilt auch in Beziehung auf das In- Endlich sind auch offenbar die Werthe von
[Formel 7]
für Hieraus folgt also, dass Q' + k0, Q0, Q'' — k0 bis auf Man kann diesen wichtigen Satz auch so ausdrücken: der <TEI> <text> <body> <div n="1"> <p><pb facs="#f0028" n="23"/><hi rendition="#et"><formula/></hi> so ist klar, daſs das Behauptete für den ersten Theil gilt,<lb/> wenn <hi rendition="#i">δ</hi> unendlich klein, und für den zweiten, wenn <formula/> unend-<lb/> lich groſs ist, also für das Ganze, wenn <hi rendition="#i">δ</hi> ein Unendlichkleines<lb/> von einer niedrigern Ordnung als <hi rendition="#i">ε</hi>.</p><lb/> <p>Ein ähnlicher Schluſs gilt auch in Beziehung auf das In-<lb/> tegral <formula/>, wenn die Punkte der Fläche, welche<lb/> dem bestimmten Werthe von <hi rendition="#i">θ</hi> entsprechen, eine Curve bilden,<lb/> die in <hi rendition="#i">P</hi> eine meſsbare Krümmung hat, so daſs <formula/> in dem hier<lb/> betrachteten Raume einen endlichen nach der Stetigkeit sich<lb/> ändernden Werth erhält. Bezeichnet man nemlich diesen Werth<lb/> mit <hi rendition="#i">A</hi>, so wird<lb/><hi rendition="#et"><formula/></hi> mithin zerlegt sich jenes Integral in folgende zwei<lb/><hi rendition="#et"><formula/></hi> bei welchen beiden die Gültigkeit obiger Schluſsweise von<lb/> selbst klar ist.</p><lb/> <p>Endlich sind auch offenbar die Werthe von <formula/> für<lb/> alle drei Werthe von <hi rendition="#i">x</hi> bis auf unendlich kleine Unterschiede<lb/> gleich.</p><lb/> <p>Hieraus folgt also, dass <hi rendition="#i">Q</hi>' + <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">Q</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">Q''</hi> — <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sup">0</hi> bis auf<lb/> unendlich kleine Unterschiede gleich sind, und dasselbe wird<lb/> demnach auch von <hi rendition="#i">∫</hi> (<hi rendition="#i">Q</hi>' + <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sup">0</hi>)d<hi rendition="#i">θ, ∫Q</hi><hi rendition="#sup">0</hi>d<hi rendition="#i">θ, ∫</hi> (<hi rendition="#i">Q</hi>'' — <hi rendition="#i">k</hi><hi rendition="#sup">0</hi>) d<hi rendition="#i">θ</hi><lb/> gelten, oder von den Grössen <hi rendition="#i">X</hi>' + 2<hi rendition="#i">πk</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">X</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, <hi rendition="#i">X</hi>'' — 2<hi rendition="#i">πk</hi><hi rendition="#sup">0</hi>.</p><lb/> <p>Man kann diesen wichtigen Satz auch so ausdrücken: der<lb/> Grenzwerth von <hi rendition="#i">X</hi>, bei unendlich abnehmendem positiven <hi rendition="#i">x</hi> ist<lb/><hi rendition="#i">X</hi><hi rendition="#sup">0</hi> — 2<hi rendition="#i">πk</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, bei unendlich abnehmenden negativen <hi rendition="#i">x</hi> hingegen<lb/><hi rendition="#i">X</hi><hi rendition="#sup">0</hi> + 2<hi rendition="#i">πk</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, oder <hi rendition="#i">X</hi> ändert sich zweimahl sprungsweise um<lb/> — 2<hi rendition="#i">πk</hi><hi rendition="#sup">0</hi>, indem <hi rendition="#i">x</hi> aus einem negativen Werthe in einen po-<lb/> sitiven übergeht, das erstemahl, indem <hi rendition="#i">x</hi> den Werth 0 erreicht,<lb/> und das zweitemahl, indem es ihn überschreitet.</p> </div><lb/> </body> </text> </TEI> [23/0028]
[FORMEL] so ist klar, daſs das Behauptete für den ersten Theil gilt,
wenn δ unendlich klein, und für den zweiten, wenn [FORMEL] unend-
lich groſs ist, also für das Ganze, wenn δ ein Unendlichkleines
von einer niedrigern Ordnung als ε.
Ein ähnlicher Schluſs gilt auch in Beziehung auf das In-
tegral [FORMEL], wenn die Punkte der Fläche, welche
dem bestimmten Werthe von θ entsprechen, eine Curve bilden,
die in P eine meſsbare Krümmung hat, so daſs [FORMEL] in dem hier
betrachteten Raume einen endlichen nach der Stetigkeit sich
ändernden Werth erhält. Bezeichnet man nemlich diesen Werth
mit A, so wird
[FORMEL] mithin zerlegt sich jenes Integral in folgende zwei
[FORMEL] bei welchen beiden die Gültigkeit obiger Schluſsweise von
selbst klar ist.
Endlich sind auch offenbar die Werthe von [FORMEL] für
alle drei Werthe von x bis auf unendlich kleine Unterschiede
gleich.
Hieraus folgt also, dass Q' + k0, Q0, Q'' — k0 bis auf
unendlich kleine Unterschiede gleich sind, und dasselbe wird
demnach auch von ∫ (Q' + k0)dθ, ∫Q0dθ, ∫ (Q'' — k0) dθ
gelten, oder von den Grössen X' + 2πk0, X0, X'' — 2πk0.
Man kann diesen wichtigen Satz auch so ausdrücken: der
Grenzwerth von X, bei unendlich abnehmendem positiven x ist
X0 — 2πk0, bei unendlich abnehmenden negativen x hingegen
X0 + 2πk0, oder X ändert sich zweimahl sprungsweise um
— 2πk0, indem x aus einem negativen Werthe in einen po-
sitiven übergeht, das erstemahl, indem x den Werth 0 erreicht,
und das zweitemahl, indem es ihn überschreitet.
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