Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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auf der innern Seite der Fläche als positiv betrachtet. Das
Potential der Massen V kann als Function von p und zweien
andern veränderlichen Grössen betrachtet werden, die auf ir-
gendwelche Art die einzelnen Punkte der Fläche von einander
unterscheiden, und eben so verhält es sich mit dem partiellen
Differentialquotienten [Formel 1] , dessen Werth hier aber nur für die
in die Fläche selbst fallenden Punkte, oder für p = 0 in Be-
tracht gezogen werden soll. Da dieser mit P völlig gleichbe-
deutend ist, wenn Massen sich nur in dem innern Raume, oder
in dem äussern, oder in beiden befinden, keine Masse aber auf
die Fläche selbst vertheilt ist, so hat man in diesem Falle
[Formel 2] .

In dem Falle hingegen, wo die ganze Masse bloss auf der
Fläche selbst vertheilt ist, so dass das Element d s die Masse
k d s erthält, bleiben [Formel 3] und P nicht mehr gleichbedeutend;
letztere Grösse stellt hier offenbar in Beziehung auf p dasselbe
vor, was X0 in Beziehung auf x im 15. Artikel; [Formel 4] hingegen
hat zwei verschiedene Werthe, nemlich P -- 2 p k und P + 2 p k,
jenachdem d p als positiv oder als negativ betrachtet wird. Da
nun integral k d s offenbar der ganzen auf die Fläche vertheilten Masse
M' gleich, und gemäss dem Lehrsatze des vorhergehenden Ar-
tikels integral P d s = 2 p M' wird, so hat man
[Formel 5] jenachdem für [Formel 6] der auf der innern, oder auf der äussern
Seite der Fläche geltende Werth überall verstanden wird, und
es verhält sich also mit dem Integrale [Formel 7] · d s im erstern
Falle genau eben so, als wenn die Masse M' zum äussern
Raume, im zweiten, als ob sie zum innern Raume gehörte.

Es gilt daher, bei irgendwie vertheilten Massen, die Glei-
chung [Formel 8] · d s = 4 p M allgemein, in dem Sinne dass M

auf der innern Seite der Fläche als positiv betrachtet. Das
Potential der Massen V kann als Function von p und zweien
andern veränderlichen Gröſsen betrachtet werden, die auf ir-
gendwelche Art die einzelnen Punkte der Fläche von einander
unterscheiden, und eben so verhält es sich mit dem partiellen
Differentialquotienten [Formel 1] , dessen Werth hier aber nur für die
in die Fläche selbst fallenden Punkte, oder für p = 0 in Be-
tracht gezogen werden soll. Da dieser mit P völlig gleichbe-
deutend ist, wenn Massen sich nur in dem innern Raume, oder
in dem äuſsern, oder in beiden befinden, keine Masse aber auf
die Fläche selbst vertheilt ist, so hat man in diesem Falle
[Formel 2] .

In dem Falle hingegen, wo die ganze Masse bloss auf der
Fläche selbst vertheilt ist, so daſs das Element d s die Masse
k d s erthält, bleiben [Formel 3] und P nicht mehr gleichbedeutend;
letztere Gröſse stellt hier offenbar in Beziehung auf p dasselbe
vor, was X0 in Beziehung auf x im 15. Artikel; [Formel 4] hingegen
hat zwei verschiedene Werthe, nemlich P — 2 π k und P + 2 π k,
jenachdem d p als positiv oder als negativ betrachtet wird. Da
nun ∫ k d s offenbar der ganzen auf die Fläche vertheilten Masse
M' gleich, und gemäſs dem Lehrsatze des vorhergehenden Ar-
tikels ∫ P d s = 2 π M' wird, so hat man
[Formel 5] jenachdem für [Formel 6] der auf der innern, oder auf der äuſsern
Seite der Fläche geltende Werth überall verstanden wird, und
es verhält sich also mit dem Integrale [Formel 7] · d s im erstern
Falle genau eben so, als wenn die Masse M' zum äuſsern
Raume, im zweiten, als ob sie zum innern Raume gehörte.

Es gilt daher, bei irgendwie vertheilten Massen, die Glei-
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[33/0038] auf der innern Seite der Fläche als positiv betrachtet. Das Potential der Massen V kann als Function von p und zweien andern veränderlichen Gröſsen betrachtet werden, die auf ir- gendwelche Art die einzelnen Punkte der Fläche von einander unterscheiden, und eben so verhält es sich mit dem partiellen Differentialquotienten [FORMEL], dessen Werth hier aber nur für die in die Fläche selbst fallenden Punkte, oder für p = 0 in Be- tracht gezogen werden soll. Da dieser mit P völlig gleichbe- deutend ist, wenn Massen sich nur in dem innern Raume, oder in dem äuſsern, oder in beiden befinden, keine Masse aber auf die Fläche selbst vertheilt ist, so hat man in diesem Falle [FORMEL]. In dem Falle hingegen, wo die ganze Masse bloss auf der Fläche selbst vertheilt ist, so daſs das Element d s die Masse k d s erthält, bleiben [FORMEL] und P nicht mehr gleichbedeutend; letztere Gröſse stellt hier offenbar in Beziehung auf p dasselbe vor, was X0 in Beziehung auf x im 15. Artikel; [FORMEL] hingegen hat zwei verschiedene Werthe, nemlich P — 2 π k und P + 2 π k, jenachdem d p als positiv oder als negativ betrachtet wird. Da nun ∫ k d s offenbar der ganzen auf die Fläche vertheilten Masse M' gleich, und gemäſs dem Lehrsatze des vorhergehenden Ar- tikels ∫ P d s = 2 π M' wird, so hat man [FORMEL] jenachdem für [FORMEL] der auf der innern, oder auf der äuſsern Seite der Fläche geltende Werth überall verstanden wird, und es verhält sich also mit dem Integrale [FORMEL] · d s im erstern Falle genau eben so, als wenn die Masse M' zum äuſsern Raume, im zweiten, als ob sie zum innern Raume gehörte. Es gilt daher, bei irgendwie vertheilten Massen, die Glei- chung [FORMEL] · d s = 4 π M allgemein, in dem Sinne daſs M 3

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Zitationshilfe:	Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 33. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/38>, abgerufen am 04.12.2024.

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