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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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die im innern Raume enthaltene Masse bedeutet, wohlverstan-
den, dass, wenn auch auf der Oberfläche selbst stetig vertheilte
Massen sich befinden, diese den innern zugerechnet, oder da-
von ausgeschlossen werden müssen, jenachdem man für [Formel 1]
den auf die Aussenseite oder auf die Innenseite sich beziehen-
den Werth gewählt hat.

Sind demnach im Innern des Raumes gar keine Massen
enthalten, so ist, wenn jedenfalls unter [Formel 2] der auf die In-
nenseite sich beziehende Werth verstanden wird, [Formel 3] · d s = 0.

24.

Unter denselben Voraussetzungen, wie am Schluss des
vorhergehenden Artikels, und indem wir den in Rede stehen-
den Raum mit T, und die in dem Elemente desselben dT durch
die ausserhalb des Raumes oder auch nach der Stetigkeit in
der Oberfläche vertheilten Massen entspringende ganze Kraft
mit q bezeichnen, haben wir folgenden wichtigen

LEHRSATZ. Es ist
[Formel 4] wenn das erste Integral über die ganze Fläche, das zweite
durch den ganzen Raum T ausgedehnt wird.

Beweis. Indem wir rechtwinklige Coordinaten x, y, z
einführen, betrachten wir zuvörderst eine der Axe der x pa-
rallele den Raum T schneidende gerade Linie, wo also y, z
constante Werthe haben. Aus der identischen Gleichung
[Formel 5] folgt, dass das Integral
[Formel 6] durch dasjenige Stück jener geraden Linie ausgedehnt, welches
innerhalb T fällt, der Differenz der beiden Werthe von V [Formel 7]

die im innern Raume enthaltene Masse bedeutet, wohlverstan-
den, daſs, wenn auch auf der Oberfläche selbst stetig vertheilte
Massen sich befinden, diese den innern zugerechnet, oder da-
von ausgeschlossen werden müssen, jenachdem man für [Formel 1]
den auf die Auſsenseite oder auf die Innenseite sich beziehen-
den Werth gewählt hat.

Sind demnach im Innern des Raumes gar keine Massen
enthalten, so ist, wenn jedenfalls unter [Formel 2] der auf die In-
nenseite sich beziehende Werth verstanden wird, [Formel 3] · d s = 0.

24.

Unter denselben Voraussetzungen, wie am Schluſs des
vorhergehenden Artikels, und indem wir den in Rede stehen-
den Raum mit T, und die in dem Elemente desselben dT durch
die auſserhalb des Raumes oder auch nach der Stetigkeit in
der Oberfläche vertheilten Massen entspringende ganze Kraft
mit q bezeichnen, haben wir folgenden wichtigen

LEHRSATZ. Es ist
[Formel 4] wenn das erste Integral über die ganze Fläche, das zweite
durch den ganzen Raum T ausgedehnt wird.

Beweis. Indem wir rechtwinklige Coordinaten x, y, z
einführen, betrachten wir zuvörderst eine der Axe der x pa-
rallele den Raum T schneidende gerade Linie, wo also y, z
constante Werthe haben. Aus der identischen Gleichung
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[34/0039] die im innern Raume enthaltene Masse bedeutet, wohlverstan- den, daſs, wenn auch auf der Oberfläche selbst stetig vertheilte Massen sich befinden, diese den innern zugerechnet, oder da- von ausgeschlossen werden müssen, jenachdem man für [FORMEL] den auf die Auſsenseite oder auf die Innenseite sich beziehen- den Werth gewählt hat. Sind demnach im Innern des Raumes gar keine Massen enthalten, so ist, wenn jedenfalls unter [FORMEL] der auf die In- nenseite sich beziehende Werth verstanden wird, [FORMEL] · d s = 0. 24. Unter denselben Voraussetzungen, wie am Schluſs des vorhergehenden Artikels, und indem wir den in Rede stehen- den Raum mit T, und die in dem Elemente desselben dT durch die auſserhalb des Raumes oder auch nach der Stetigkeit in der Oberfläche vertheilten Massen entspringende ganze Kraft mit q bezeichnen, haben wir folgenden wichtigen LEHRSATZ. Es ist [FORMEL] wenn das erste Integral über die ganze Fläche, das zweite durch den ganzen Raum T ausgedehnt wird. Beweis. Indem wir rechtwinklige Coordinaten x, y, z einführen, betrachten wir zuvörderst eine der Axe der x pa- rallele den Raum T schneidende gerade Linie, wo also y, z constante Werthe haben. Aus der identischen Gleichung [FORMEL] folgt, daſs das Integral [FORMEL] durch dasjenige Stück jener geraden Linie ausgedehnt, welches innerhalb T fällt, der Differenz der beiden Werthe von V [FORMEL]

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 34. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/39>, abgerufen am 04.12.2024.