Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

am Anfangs- und Endpunkte gleich wird, insofern die gerade
Linie die Grenzfläche nur zweimahl schneidet, oder allgemein
= S e V [Formel 1] , indem für V [Formel 2] die einzelnen Werthe in den
verschiedenen Durchschnittspunkten gesetzt werden, und e in den
ungeraden Durchschnittspunkten (dem ersten, dritten u.s.f.) = -- 1,
in den geraden = + 1. Betrachten wir ferner längs dieser geraden
Linie den prismatischen Raum, wovon das Rechteck dy . dz ein
Querschnitt, also d x . dy . dz ein Element ist, so wird das Integral
[Formel 3] ausgedehnt durch denjenigen Theil von T, welcher in jenen
prismatischen Raum fällt, = S e V [Formel 4] · dy . dz. Dieses Prisma
scheidet aus der Grenzfläche zwei, oder allgemein eine gerade
Anzahl von Stücken aus, und wenn jedes derselben mit d s
bezeichnet wird, mit x hingegen der Winkel zwischen der Axe
der x und der nach innen gerichteten Normale auf d s, so ist
dy . dz = +/- cos x . d s, das obere Zeichen für die ungeraden,
das untere für die geraden Durchschnittspunkte genommen.
Es wird folglich das obige Integral
[Formel 5] wo die Summation sich auf sämmtliche betreffende Flächen-
elemente bezieht. Wird nun der ganze Raum T in lauter
solche prismatische Elemente zerlegt, so werden auch die sämmt-
lichen correspondirenden Theile der Fläche diese ganz er-
schöpfen, und mithin
[Formel 6] sein, indem die erste Integration durch den ganzen Raum T,
die zweite über die ganze Fläche erstreckt wird. Offenbar ist
nun cos x gleich dem partiellen Differentialquotienten [Formel 7] , in-
dem p die im Art. 23 festgelegte Bedeutung hat, und x als
Function von p und zwei andern veränderlichen die einzelnen
Punkte der Fläche von einander unterscheidenden Grössen be-
trachtet werden kann, folglich

am Anfangs- und Endpunkte gleich wird, insofern die gerade
Linie die Grenzfläche nur zweimahl schneidet, oder allgemein
= Σ ε V [Formel 1] , indem für V [Formel 2] die einzelnen Werthe in den
verschiedenen Durchschnittspunkten gesetzt werden, und ε in den
ungeraden Durchschnittspunkten (dem ersten, dritten u.s.f.) = — 1,
in den geraden = + 1. Betrachten wir ferner längs dieser geraden
Linie den prismatischen Raum, wovon das Rechteck dy . dz ein
Querschnitt, also d x . dy . dz ein Element ist, so wird das Integral
[Formel 3] ausgedehnt durch denjenigen Theil von T, welcher in jenen
prismatischen Raum fällt, = Σ ε V [Formel 4] · dy . dz. Dieses Prisma
scheidet aus der Grenzfläche zwei, oder allgemein eine gerade
Anzahl von Stücken aus, und wenn jedes derselben mit d s
bezeichnet wird, mit ξ hingegen der Winkel zwischen der Axe
der x und der nach innen gerichteten Normale auf d s, so ist
dy . dz = ± cos ξ . d s, das obere Zeichen für die ungeraden,
das untere für die geraden Durchschnittspunkte genommen.
Es wird folglich das obige Integral
[Formel 5] wo die Summation sich auf sämmtliche betreffende Flächen-
elemente bezieht. Wird nun der ganze Raum T in lauter
solche prismatische Elemente zerlegt, so werden auch die sämmt-
lichen correspondirenden Theile der Fläche diese ganz er-
schöpfen, und mithin
[Formel 6] sein, indem die erste Integration durch den ganzen Raum T,
die zweite über die ganze Fläche erstreckt wird. Offenbar ist
nun cos ξ gleich dem partiellen Differentialquotienten [Formel 7] , in-
dem p die im Art. 23 festgelegte Bedeutung hat, und x als
Function von p und zwei andern veränderlichen die einzelnen
Punkte der Fläche von einander unterscheidenden Gröſsen be-
trachtet werden kann, folglich