Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

Für den Fall A = 0 ist hiedurch unser Lehrsatz vollstän-
dig bewiesen; für den zweiten Fall, wo A nicht = 0 ist, so-
weit, dass erhellet, das Potential könne in keinem Punkte von
T' grösser als A, oder mit entgegengesetztem Zeichen behaftet sein.

II. Um für den zweiten Fall unsern Beweis vollständig
zu machen, beschreiben wir um O als Mittelpunkt mit einem
Halbmesser R, der kleiner ist als die kleinste Entfernung des
Punkts O von S, eine Kugelfläche, zerlegen sie in Elemente
d s, und bezeichnen das Potential in jedem Elemente mit V;
das Potential in O soll wieder mit B bezeichnet werden. Nach
dem Lehrsatze des 20. Artikels wird dann das über die ganze
Kugelfläche ausgedehnte Integral
integral V d s = 4 p R R B, und folglich integral (V -- B) d s = 0.
Diese Gleichheit kann aber nur bestehen, wenn V entweder
in allen Punkten der Kugelfläche constant = B, oder wenn V
in verschiedenen Theilen der Kugelfläche in entgegengesetztem
Sinne von B verschieden ist. In der ersten Voraussetzung
würde nach Art. 25 das Potential im ganzen innern Raume der
Kugel und daher nach Art. 21 im ganzen unendlichen Raume
T' constant, und zwar = 0 sein müssen, im Widerspruche
mit der Voraussetzung, dass es an der Grenze dieses Raumes,
auf der Fläche S, von 0 verschieden ist, und der Unmöglichkeit,
dass es sich von da ab sprungsweise ändere. Die zweite Vor-
aussetzung hingegen würde mit dem unter I. bewiesenen im
Widerspruch stehen, wenn B entweder = 0 oder = A wäre.
Es muss daher nothwendig B zwischen 0 und A fallen.

LEHRSATZ. In dem Lehrsatze des vorhergehenden Arti-
kels kann der erste Fall, oder der Werth 0 des constanten
Potentials A, nur dann Statt finden, wenn die Summe aller
Massen selbst = 0 ist, und der zweite nur dann, wenn diese
Summe nicht = 0 ist.

Beweis. Es sei d s das Element der Oberfläche irgend
einer den Raum T einschliessenden Kugel, R ihr Halbmesser,

Für den Fall A = 0 ist hiedurch unser Lehrsatz vollstän-
dig bewiesen; für den zweiten Fall, wo A nicht = 0 ist, so-
weit, daſs erhellet, das Potential könne in keinem Punkte von
T' gröſser als A, oder mit entgegengesetztem Zeichen behaftet sein.

II. Um für den zweiten Fall unsern Beweis vollständig
zu machen, beschreiben wir um O als Mittelpunkt mit einem
Halbmesser R, der kleiner ist als die kleinste Entfernung des
Punkts O von S, eine Kugelfläche, zerlegen sie in Elemente
d s, und bezeichnen das Potential in jedem Elemente mit V;
das Potential in O soll wieder mit B bezeichnet werden. Nach
dem Lehrsatze des 20. Artikels wird dann das über die ganze
Kugelfläche ausgedehnte Integral
∫ V d s = 4 π R R B, und folglich ∫ (V — B) d s = 0.
Diese Gleichheit kann aber nur bestehen, wenn V entweder
in allen Punkten der Kugelfläche constant = B, oder wenn V
in verschiedenen Theilen der Kugelfläche in entgegengesetztem
Sinne von B verschieden ist. In der ersten Voraussetzung
würde nach Art. 25 das Potential im ganzen innern Raume der
Kugel und daher nach Art. 21 im ganzen unendlichen Raume
T' constant, und zwar = 0 sein müssen, im Widerspruche
mit der Voraussetzung, daſs es an der Grenze dieses Raumes,
auf der Fläche S, von 0 verschieden ist, und der Unmöglichkeit,
daſs es sich von da ab sprungsweise ändere. Die zweite Vor-
aussetzung hingegen würde mit dem unter I. bewiesenen im
Widerspruch stehen, wenn B entweder = 0 oder = A wäre.
Es muſs daher nothwendig B zwischen 0 und A fallen.

LEHRSATZ. In dem Lehrsatze des vorhergehenden Arti-
kels kann der erste Fall, oder der Werth 0 des constanten
Potentials A, nur dann Statt finden, wenn die Summe aller
Massen selbst = 0 ist, und der zweite nur dann, wenn diese
Summe nicht = 0 ist.

Beweis. Es sei d s das Element der Oberfläche irgend
einer den Raum T einschlieſsenden Kugel, R ihr Halbmesser,