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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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selbst, und es findet in dem ganzen Raume eine vollständige
Destruction der Kräfte Statt.

Beweis. Wenn in dem erweiterten Lehrsatze des vor-
hergehenden Artikels für A der constante Grenzwerth des Po-
tentials angenommen wird, so erhellet, dass integral q q d T = 0 wird,
also nothwendig q = 0 in jedem Punkte des Raumes T, mithin
auch [Formel 1] = 0, [Formel 2] = 0, [Formel 3] = 0, und folglich V im gan-
zen Raume T constant.

26.

LEHRSATZ. Wenn von Massen, welche sich bloss inner-
halb des endlichen Raumes T, oder auch, ganz oder theil-
weise nach der Stetigkeit vertheilt auf dessen Oberfläche S be-
finden, das Potential in allen Punkten von S einen constanten
Werth = A hat, so wird das Potential in jedem Punkte O
des äussern unendlichen Raumes T'
erstlich, wenn A = 0 ist, gleichfalls = 0,
zweitens, wenn A nicht = 0 ist, kleiner als A und mit dem-
selben Zeichen wie A behaftet sein.

Beweis. I. Zuvörderst soll bewiesen werden, dass das
Potential in O keinen ausserhalb der Grenzen 0 und A fallen-
den Werth haben kann. Nehmen wir an, es finde in O ein
solcher Werth B für das Potential Statt, und bezeichnen mit C
eine beliebige zugleich zwischen B und 0 und zwischen B und
A fallende Grösse. Indem man von O nach allen Richtun-
gen gerade Linien ausgehen lässt, wird es auf jeder derselben
einen Punkt O' geben, in welchem das Potential = C wird,
und zwar so, dass die ganze Linie O O' dem Raume T' ange-
hört. Diess folgt unmittelbar aus der Stetigkeit der Änderung
des Potentials, welches, wenn die gerade Linie hinlänglich
fortgesetzt wird, entweder von B in A übergeht, oder unend-
lich abnimmt, jenachdem die gerade Linie die Fläche S trifft,
oder nicht (vergl. die Bemerkung am Schlusse des 21. Arti-
kels). Der Inbegriff aller Punkte O' bildet dann eine geschlos-
sene Fläche, und da das Potential in derselben constant = C
ist, so muss es nach dem Lehrsatze des vorhergehenden Arti-
kels denselben Werth in allen Punkten des von dieser Fläche

selbst, und es findet in dem ganzen Raume eine vollständige
Destruction der Kräfte Statt.

Beweis. Wenn in dem erweiterten Lehrsatze des vor-
hergehenden Artikels für A der constante Grenzwerth des Po-
tentials angenommen wird, so erhellet, daſs ∫ q q d T = 0 wird,
also nothwendig q = 0 in jedem Punkte des Raumes T, mithin
auch [Formel 1] = 0, [Formel 2] = 0, [Formel 3] = 0, und folglich V im gan-
zen Raume T constant.

26.

LEHRSATZ. Wenn von Massen, welche sich bloſs inner-
halb des endlichen Raumes T, oder auch, ganz oder theil-
weise nach der Stetigkeit vertheilt auf dessen Oberfläche S be-
finden, das Potential in allen Punkten von S einen constanten
Werth = A hat, so wird das Potential in jedem Punkte O
des äuſsern unendlichen Raumes T'
erstlich, wenn A = 0 ist, gleichfalls = 0,
zweitens, wenn A nicht = 0 ist, kleiner als A und mit dem-
selben Zeichen wie A behaftet sein.

Beweis. I. Zuvörderst soll bewiesen werden, daſs das
Potential in O keinen auſserhalb der Grenzen 0 und A fallen-
den Werth haben kann. Nehmen wir an, es finde in O ein
solcher Werth B für das Potential Statt, und bezeichnen mit C
eine beliebige zugleich zwischen B und 0 und zwischen B und
A fallende Gröſse. Indem man von O nach allen Richtun-
gen gerade Linien ausgehen läſst, wird es auf jeder derselben
einen Punkt O' geben, in welchem das Potential = C wird,
und zwar so, daſs die ganze Linie O O' dem Raume T' ange-
hört. Dieſs folgt unmittelbar aus der Stetigkeit der Änderung
des Potentials, welches, wenn die gerade Linie hinlänglich
fortgesetzt wird, entweder von B in A übergeht, oder unend-
lich abnimmt, jenachdem die gerade Linie die Fläche S trifft,
oder nicht (vergl. die Bemerkung am Schlusse des 21. Arti-
kels). Der Inbegriff aller Punkte O' bildet dann eine geschlos-
sene Fläche, und da das Potential in derselben constant = C
ist, so muſs es nach dem Lehrsatze des vorhergehenden Arti-
kels denselben Werth in allen Punkten des von dieser Fläche

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[37/0042] selbst, und es findet in dem ganzen Raume eine vollständige Destruction der Kräfte Statt. Beweis. Wenn in dem erweiterten Lehrsatze des vor- hergehenden Artikels für A der constante Grenzwerth des Po- tentials angenommen wird, so erhellet, daſs ∫ q q d T = 0 wird, also nothwendig q = 0 in jedem Punkte des Raumes T, mithin auch [FORMEL] = 0, [FORMEL] = 0, [FORMEL] = 0, und folglich V im gan- zen Raume T constant. 26. LEHRSATZ. Wenn von Massen, welche sich bloſs inner- halb des endlichen Raumes T, oder auch, ganz oder theil- weise nach der Stetigkeit vertheilt auf dessen Oberfläche S be- finden, das Potential in allen Punkten von S einen constanten Werth = A hat, so wird das Potential in jedem Punkte O des äuſsern unendlichen Raumes T' erstlich, wenn A = 0 ist, gleichfalls = 0, zweitens, wenn A nicht = 0 ist, kleiner als A und mit dem- selben Zeichen wie A behaftet sein. Beweis. I. Zuvörderst soll bewiesen werden, daſs das Potential in O keinen auſserhalb der Grenzen 0 und A fallen- den Werth haben kann. Nehmen wir an, es finde in O ein solcher Werth B für das Potential Statt, und bezeichnen mit C eine beliebige zugleich zwischen B und 0 und zwischen B und A fallende Gröſse. Indem man von O nach allen Richtun- gen gerade Linien ausgehen läſst, wird es auf jeder derselben einen Punkt O' geben, in welchem das Potential = C wird, und zwar so, daſs die ganze Linie O O' dem Raume T' ange- hört. Dieſs folgt unmittelbar aus der Stetigkeit der Änderung des Potentials, welches, wenn die gerade Linie hinlänglich fortgesetzt wird, entweder von B in A übergeht, oder unend- lich abnimmt, jenachdem die gerade Linie die Fläche S trifft, oder nicht (vergl. die Bemerkung am Schlusse des 21. Arti- kels). Der Inbegriff aller Punkte O' bildet dann eine geschlos- sene Fläche, und da das Potential in derselben constant = C ist, so muſs es nach dem Lehrsatze des vorhergehenden Arti- kels denselben Werth in allen Punkten des von dieser Fläche

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 37. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/42>, abgerufen am 04.12.2024.