Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Schwerpunkt. gleiche Weise wird nun der Schwerpunkt einer jeden andern, von mehreren Seiten um-schlossenen Fläche gefunden. *) §. 77. Nach dieser Bestimmung des Schwerpunktes von einem Dreiecke, einem Trapeze und *) Der Schwerpunkt krummer Linien und jener Flächen und Körper, die von krummen Linien begränzt sind, wird auf dieselbe Art gefunden, welche bereits in §. 69 angegeben wurde. Es sey nämlich die Stellung aller Punkte der krummen Linie A N n P durch eine Gleichung zwi-Fig. 37. Tab. 1. schen den Abscissen A M = x und den Ordinaten M N = y gegeben. Man ziehe eine zweite Ordina- te mn und setze den Unterschied der Abscissen M m = N o = d x, den Unterschied der Ordinaten n o = d y und den dazwischen liegenden Bogen N n = d s, so wird man aus der zwischen x und y gegebenen Gleichung auch die Verhältnisse zwischen den Grössen d x, d y und d s ableiten können. Da wir annahmen, dass die Linien, Flächen und Körper, für welche die Schwerpunkte zu be- stimmen sind, eigentlich Scheiben von sehr geringer Stärke und von einer gleichförmig dichten Ma- terie sind, so können wir die Gewichte ihrer Bestandtheile der Grösse derselben proportional setzen. Sucht man demnach den Schwerpunkt des Bogens A N n P, so ist das Moment des Elementes N n offen- bar N M x N n = y. d s, demnach die Höhe des Schwerpunktes für alle Elemente in der krummen Li- nie A N P oder [Formel 1] , und eben so wird die Entfernung des Schwerpunktes U für den- selben Bogen von einer Linie, die durch A senkrecht auf A C oder paralell zu U V gezogen wird, nämlich [Formel 2] seyn. Beispiel. Es sey der Bogen A N P ein aus dem Mittelpunkte C mit dem Halbmesser A C = a be- schriebener Kreisbogen und der Winkel A C N = l, so ist N M = y = a. Sin. l und A M = x = a -- a Cos. l, der Bogen A N = a. l = s, folglich N n = a. d l und die Höhe des Schwerpunktes für den Bogen [Formel 3] , folglich für den ganzen Bogen A N P oder die Höhe [Formel 4] . Eben so findet man die Ent- fernung des Schwerpunktes für den Bogen A N von der Richtungslinie [Formel 5] , folglich ist die Entfernung des Schwerpunktes für den ganzen Bogen A N P oder [Formel 6] . Daraus folgt die Entfernung desselben Schwerpunktes vom Mittelpunkte [Formel 7] . Z. B. Es sey der Bogen A N P = 1/2 a. p oder der 4te Theil des ganzen Kreises, so ergibt sich [Formel 8] und [Formel 9] . Wäre der Bogen A N P ein halber Kreis oder = a p, so ist [Formel 10] und die Entfernung des Schwerpunktes vom Mit- telpunkte [Formel 11] , wie es auch seyn muss. Wäre der Bogen A N P = 2 a. p oder die Peripherie des ganzen Kreises, so ist [Formel 12] und die Entfernung [Formel 13] , d. i. der Schwerpunkt befindet sich im Mit- telpunkte, wie es für sich offenbar ist. 12 *
Schwerpunkt. gleiche Weise wird nun der Schwerpunkt einer jeden andern, von mehreren Seiten um-schlossenen Fläche gefunden. *) §. 77. Nach dieser Bestimmung des Schwerpunktes von einem Dreiecke, einem Trapeze und *) Der Schwerpunkt krummer Linien und jener Flächen und Körper, die von krummen Linien begränzt sind, wird auf dieselbe Art gefunden, welche bereits in §. 69 angegeben wurde. Es sey nämlich die Stellung aller Punkte der krummen Linie A N n P durch eine Gleichung zwi-Fig. 37. Tab. 1. schen den Abscissen A M = x und den Ordinaten M N = y gegeben. Man ziehe eine zweite Ordina- te mn und setze den Unterschied der Abscissen M m = N o = d x, den Unterschied der Ordinaten n o = d y und den dazwischen liegenden Bogen N n = d s, so wird man aus der zwischen x und y gegebenen Gleichung auch die Verhältnisse zwischen den Grössen d x, d y und d s ableiten können. Da wir annahmen, dass die Linien, Flächen und Körper, für welche die Schwerpunkte zu be- stimmen sind, eigentlich Scheiben von sehr geringer Stärke und von einer gleichförmig dichten Ma- terie sind, so können wir die Gewichte ihrer Bestandtheile der Grösse derselben proportional setzen. Sucht man demnach den Schwerpunkt des Bogens A N n P, so ist das Moment des Elementes N n offen- bar N M × N n = y. d s, demnach die Höhe des Schwerpunktes für alle Elemente in der krummen Li- nie A N P oder [Formel 1] , und eben so wird die Entfernung des Schwerpunktes U für den- selben Bogen von einer Linie, die durch A senkrecht auf A C oder paralell zu U V gezogen wird, nämlich [Formel 2] seyn. Beispiel. Es sey der Bogen A N P ein aus dem Mittelpunkte C mit dem Halbmesser A C = a be- schriebener Kreisbogen und der Winkel A C N = λ, so ist N M = y = a. Sin. λ und A M = x = a — a Cos. λ, der Bogen A N = a. λ = s, folglich N n = a. d λ und die Höhe des Schwerpunktes für den Bogen [Formel 3] , folglich für den ganzen Bogen A N P oder die Höhe [Formel 4] . Eben so findet man die Ent- fernung des Schwerpunktes für den Bogen A N von der Richtungslinie [Formel 5] , folglich ist die Entfernung des Schwerpunktes für den ganzen Bogen A N P oder [Formel 6] . Daraus folgt die Entfernung desselben Schwerpunktes vom Mittelpunkte [Formel 7] . Z. B. Es sey der Bogen A N P = ½ a. π oder der 4te Theil des ganzen Kreises, so ergibt sich [Formel 8] und [Formel 9] . Wäre der Bogen A N P ein halber Kreis oder = a π, so ist [Formel 10] und die Entfernung des Schwerpunktes vom Mit- telpunkte [Formel 11] , wie es auch seyn muss. Wäre der Bogen A N P = 2 a. π oder die Peripherie des ganzen Kreises, so ist [Formel 12] und die Entfernung [Formel 13] , d. i. der Schwerpunkt befindet sich im Mit- telpunkte, wie es für sich offenbar ist. 12 *
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Schwerpunkt.
gleiche Weise wird nun der Schwerpunkt einer jeden andern, von mehreren Seiten um-
schlossenen Fläche gefunden. *)
§. 77.
Nach dieser Bestimmung des Schwerpunktes von einem Dreiecke, einem Trapeze und
andern mit geraden Linien begränzten Flächen wollen wir nun zur Bestimmung des
Schwerpunktes einer dreiseitigen Pyramide übergehen. Es sey die Grundfläche
*) Der Schwerpunkt krummer Linien und jener Flächen und Körper, die von krummen Linien
begränzt sind, wird auf dieselbe Art gefunden, welche bereits in §. 69 angegeben wurde.
Es sey nämlich die Stellung aller Punkte der krummen Linie A N n P durch eine Gleichung zwi-
schen den Abscissen A M = x und den Ordinaten M N = y gegeben. Man ziehe eine zweite Ordina-
te mn und setze den Unterschied der Abscissen M m = N o = d x, den Unterschied der Ordinaten
n o = d y und den dazwischen liegenden Bogen N n = d s, so wird man aus der zwischen x und y
gegebenen Gleichung auch die Verhältnisse zwischen den Grössen d x, d y und d s ableiten können.
Da wir annahmen, dass die Linien, Flächen und Körper, für welche die Schwerpunkte zu be-
stimmen sind, eigentlich Scheiben von sehr geringer Stärke und von einer gleichförmig dichten Ma-
terie sind, so können wir die Gewichte ihrer Bestandtheile der Grösse derselben proportional setzen.
Sucht man demnach den Schwerpunkt des Bogens A N n P, so ist das Moment des Elementes N n offen-
bar N M × N n = y. d s, demnach die Höhe des Schwerpunktes für alle Elemente in der krummen Li-
nie A N P oder [FORMEL], und eben so wird die Entfernung des Schwerpunktes U für den-
selben Bogen von einer Linie, die durch A senkrecht auf A C oder paralell zu U V gezogen wird,
nämlich [FORMEL] seyn.
Beispiel. Es sey der Bogen A N P ein aus dem Mittelpunkte C mit dem Halbmesser A C = a be-
schriebener Kreisbogen und der Winkel A C N = λ, so ist N M = y = a. Sin. λ und
A M = x = a — a Cos. λ, der Bogen A N = a. λ = s, folglich N n = a. d λ und die Höhe
des Schwerpunktes für den Bogen [FORMEL],
folglich für den ganzen Bogen A N P oder die Höhe [FORMEL]. Eben so findet man die Ent-
fernung des Schwerpunktes für den Bogen A N von der Richtungslinie
[FORMEL], folglich ist die
Entfernung des Schwerpunktes für den ganzen Bogen A N P oder
[FORMEL]. Daraus folgt die Entfernung desselben
Schwerpunktes vom Mittelpunkte [FORMEL].
Z. B. Es sey der Bogen A N P = ½ a. π oder der 4te Theil des ganzen Kreises, so ergibt sich
[FORMEL] und [FORMEL]. Wäre der Bogen A N P ein halber Kreis
oder = a π, so ist [FORMEL] und die Entfernung des Schwerpunktes vom Mit-
telpunkte [FORMEL], wie es auch seyn muss.
Wäre der Bogen A N P = 2 a. π oder die Peripherie des ganzen Kreises, so ist
[FORMEL] und die Entfernung [FORMEL], d. i. der Schwerpunkt befindet sich im Mit-
telpunkte, wie es für sich offenbar ist.
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