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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Schwerpunkt.

Wenn man nun den Schwerpunkt f der Grundfläche A B C mit dem Scheitel der Py-
ramide O verbindet, so ist offenbar, dass der Schwerpunkt des ganzen Körpers in der
Linie f O liegen muss, weil man sich die Pyramide O A B C aus sehr vielen, zur Grund-
fläche A B C paralellen Scheiben zusammengesetzt denken kann, welche insgesammt den
Schwerpunkt in O f haben. Wenn man auf gleiche Art den Schwerpunkt d der Seiten-
fläche O A B mit C verbindet und sich die Pyramide aus sehr vielen zu dieser Fläche
A O B paralellen Scheiben zusammengesetzt denkt, so wird der Schwerpunkt der ganzen
Pyramide abermals in der Linie d C liegen. Hieraus folgt, dass sich der Schwerpunkt
der ganzen Pyramide in dem Durchschnitte e der beiden Linien O f und d C befin-
den müsse. Weil aber diese beiden Linien O f und d C sich in dem Dreiecke a C O befin-
den, so haben wir nur nöthig, den Schwerpunkt dieses Dreiecks a C O zu suchen, in-
dem derselbe zugleich der Schwerpunkt der ganzen Pyramide seyn wird. Zu dieser Ab-
sicht verbinde man die Punkte d und f, so wird die Linie d f zu O C paralell seyn, weil
sich a f:a C = 1:3 und ebenfalls a d:a O = 1:3 verhält; demnach werden die Drei-
ecke d e f und O e C einander ähnlich seyn, und es wird sich f e:d f = e O:O C verhal-
ten. Nun ist aber d f:O C = a f:a C = 1:3 oder d f = 1/3 O C; es muss daher auch
f e = 1/3 . e O = 1/3 (f O -- e f) seyn; hieraus ergibt sich f e = 1/4 f O.

Zieht man nun aus O die Linie O g perpendikulär auf die Grundfläche A C B und
verbindet f mit g, zieht man dann die Linie e i paralell zu f g, so wird sich auch
g i:g O = f e:f O = 1:4 verhalten; demnach wird die Höhe des Schwerpunk-
tes oberhalb der Grundfläche dem vierten Theile von der senkrech-
ten Höhe der Pyramide gleich seyn.

§. 78.

Der vorstehende Satz dient auch zur Bestimmung des Schwerpunktes einer
jeden vielseitigen Pyramide.

Man fälle nämlich aus dem Scheitel O dieser Pyramide ein Perpendikel O g auf die
Grundfläche A B C D E F G und verbinde den Punkt g, wo das Perpendikel hinfällt, mitFig.
34.
Tab.
1.
allen Eckpunkten A, B, C, D, E, F, G der Grundfläche der Pyramide. Hiedurch
wird die Pyramide in eben so viele dreiseitige Pyramiden A g B O, B g C O, C g D O ......
getheilt, als die Peripherie der Grundfläche Seiten A B, B C, C D ...... hat, und eine
jede dieser Pyramiden wird ihren Schwerpunkt auf dem vierten Theile der Höhe des zu-
erst herabgelassenen Perpendikels g O haben. Es wird sich daher auch der Schwerpunkt
der ganzen Pyramide auf der Höhe g i = 1/4. g O befinden. Verbindet man nun den
Schwerpunkt der Grundfläche f mit dem Scheitel O durch die Linie f O, so
wird die paralelle i e den Schwerpunkt der ganzen Pyramide in e angeben.

Dasselbe Verfahren wird angewendet, wenn das von dem Scheitel herabgefällte Per-Fig.
35.
pendikel ausser der Grundfläche nach m fällt. Man verbindet nämlich ebenfalls den
Schwerpunkt n mit dem Scheitel O, theilt das Perpendikel O m in vier gleiche Theile,
zieht aus dem ersten Theilungspunkte p die Linie p q paralell zur Grundfläche m n, so
wird der Schwerpunkt der schiefen Pyramide in q und ebenfalls m p = 1/4 m O seyn.

Schwerpunkt.

Wenn man nun den Schwerpunkt f der Grundfläche A B C mit dem Scheitel der Py-
ramide O verbindet, so ist offenbar, dass der Schwerpunkt des ganzen Körpers in der
Linie f O liegen muss, weil man sich die Pyramide O A B C aus sehr vielen, zur Grund-
fläche A B C paralellen Scheiben zusammengesetzt denken kann, welche insgesammt den
Schwerpunkt in O f haben. Wenn man auf gleiche Art den Schwerpunkt d der Seiten-
fläche O A B mit C verbindet und sich die Pyramide aus sehr vielen zu dieser Fläche
A O B paralellen Scheiben zusammengesetzt denkt, so wird der Schwerpunkt der ganzen
Pyramide abermals in der Linie d C liegen. Hieraus folgt, dass sich der Schwerpunkt
der ganzen Pyramide in dem Durchschnitte e der beiden Linien O f und d C befin-
den müsse. Weil aber diese beiden Linien O f und d C sich in dem Dreiecke a C O befin-
den, so haben wir nur nöthig, den Schwerpunkt dieses Dreiecks a C O zu suchen, in-
dem derselbe zugleich der Schwerpunkt der ganzen Pyramide seyn wird. Zu dieser Ab-
sicht verbinde man die Punkte d und f, so wird die Linie d f zu O C paralell seyn, weil
sich a f:a C = 1:3 und ebenfalls a d:a O = 1:3 verhält; demnach werden die Drei-
ecke d e f und O e C einander ähnlich seyn, und es wird sich f e:d f = e O:O C verhal-
ten. Nun ist aber d f:O C = a f:a C = 1:3 oder d f = ⅓ O C; es muss daher auch
f e = ⅓. e O = ⅓(f O — e f) seyn; hieraus ergibt sich f e = ¼ f O.

Zieht man nun aus O die Linie O g perpendikulär auf die Grundfläche A C B und
verbindet f mit g, zieht man dann die Linie e i paralell zu f g, so wird sich auch
g i:g O = f e:f O = 1:4 verhalten; demnach wird die Höhe des Schwerpunk-
tes oberhalb der Grundfläche dem vierten Theile von der senkrech-
ten Höhe der Pyramide gleich seyn.

§. 78.

Der vorstehende Satz dient auch zur Bestimmung des Schwerpunktes einer
jeden vielseitigen Pyramide.

Man fälle nämlich aus dem Scheitel O dieser Pyramide ein Perpendikel O g auf die
Grundfläche A B C D E F G und verbinde den Punkt g, wo das Perpendikel hinfällt, mitFig.
34.
Tab.
1.
allen Eckpunkten A, B, C, D, E, F, G der Grundfläche der Pyramide. Hiedurch
wird die Pyramide in eben so viele dreiseitige Pyramiden A g B O, B g C O, C g D O ......
getheilt, als die Peripherie der Grundfläche Seiten A B, B C, C D ...... hat, und eine
jede dieser Pyramiden wird ihren Schwerpunkt auf dem vierten Theile der Höhe des zu-
erst herabgelassenen Perpendikels g O haben. Es wird sich daher auch der Schwerpunkt
der ganzen Pyramide auf der Höhe g i = ¼. g O befinden. Verbindet man nun den
Schwerpunkt der Grundfläche f mit dem Scheitel O durch die Linie f O, so
wird die paralelle i e den Schwerpunkt der ganzen Pyramide in e angeben.

Dasselbe Verfahren wird angewendet, wenn das von dem Scheitel herabgefällte Per-Fig.
35.
pendikel ausser der Grundfläche nach m fällt. Man verbindet nämlich ebenfalls den
Schwerpunkt n mit dem Scheitel O, theilt das Perpendikel O m in vier gleiche Theile,
zieht aus dem ersten Theilungspunkte p die Linie p q paralell zur Grundfläche m n, so
wird der Schwerpunkt der schiefen Pyramide in q und ebenfalls m p = ¼ m O seyn.

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[93/0123] Schwerpunkt. Wenn man nun den Schwerpunkt f der Grundfläche A B C mit dem Scheitel der Py- ramide O verbindet, so ist offenbar, dass der Schwerpunkt des ganzen Körpers in der Linie f O liegen muss, weil man sich die Pyramide O A B C aus sehr vielen, zur Grund- fläche A B C paralellen Scheiben zusammengesetzt denken kann, welche insgesammt den Schwerpunkt in O f haben. Wenn man auf gleiche Art den Schwerpunkt d der Seiten- fläche O A B mit C verbindet und sich die Pyramide aus sehr vielen zu dieser Fläche A O B paralellen Scheiben zusammengesetzt denkt, so wird der Schwerpunkt der ganzen Pyramide abermals in der Linie d C liegen. Hieraus folgt, dass sich der Schwerpunkt der ganzen Pyramide in dem Durchschnitte e der beiden Linien O f und d C befin- den müsse. Weil aber diese beiden Linien O f und d C sich in dem Dreiecke a C O befin- den, so haben wir nur nöthig, den Schwerpunkt dieses Dreiecks a C O zu suchen, in- dem derselbe zugleich der Schwerpunkt der ganzen Pyramide seyn wird. Zu dieser Ab- sicht verbinde man die Punkte d und f, so wird die Linie d f zu O C paralell seyn, weil sich a f:a C = 1:3 und ebenfalls a d:a O = 1:3 verhält; demnach werden die Drei- ecke d e f und O e C einander ähnlich seyn, und es wird sich f e:d f = e O:O C verhal- ten. Nun ist aber d f:O C = a f:a C = 1:3 oder d f = ⅓ O C; es muss daher auch f e = ⅓. e O = ⅓(f O — e f) seyn; hieraus ergibt sich f e = ¼ f O. Zieht man nun aus O die Linie O g perpendikulär auf die Grundfläche A C B und verbindet f mit g, zieht man dann die Linie e i paralell zu f g, so wird sich auch g i:g O = f e:f O = 1:4 verhalten; demnach wird die Höhe des Schwerpunk- tes oberhalb der Grundfläche dem vierten Theile von der senkrech- ten Höhe der Pyramide gleich seyn. §. 78. Der vorstehende Satz dient auch zur Bestimmung des Schwerpunktes einer jeden vielseitigen Pyramide. Man fälle nämlich aus dem Scheitel O dieser Pyramide ein Perpendikel O g auf die Grundfläche A B C D E F G und verbinde den Punkt g, wo das Perpendikel hinfällt, mit allen Eckpunkten A, B, C, D, E, F, G der Grundfläche der Pyramide. Hiedurch wird die Pyramide in eben so viele dreiseitige Pyramiden A g B O, B g C O, C g D O ...... getheilt, als die Peripherie der Grundfläche Seiten A B, B C, C D ...... hat, und eine jede dieser Pyramiden wird ihren Schwerpunkt auf dem vierten Theile der Höhe des zu- erst herabgelassenen Perpendikels g O haben. Es wird sich daher auch der Schwerpunkt der ganzen Pyramide auf der Höhe g i = ¼. g O befinden. Verbindet man nun den Schwerpunkt der Grundfläche f mit dem Scheitel O durch die Linie f O, so wird die paralelle i e den Schwerpunkt der ganzen Pyramide in e angeben. Fig. 34. Tab. 1. Dasselbe Verfahren wird angewendet, wenn das von dem Scheitel herabgefällte Per- pendikel ausser der Grundfläche nach m fällt. Man verbindet nämlich ebenfalls den Schwerpunkt n mit dem Scheitel O, theilt das Perpendikel O m in vier gleiche Theile, zieht aus dem ersten Theilungspunkte p die Linie p q paralell zur Grundfläche m n, so wird der Schwerpunkt der schiefen Pyramide in q und ebenfalls m p = ¼ m O seyn. Fig. 35.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 93. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/123>, abgerufen am 21.11.2024.