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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte.
sich die drei Kräfte P, Q und R befinden, nach den Richtungen der-
selben Kräfte gegen den Punkt O beschrieben wurde.

Eben so, wie wir das Verhältniss der 2 Kräfte P und Q in Bezug auf die Richtung
Fig.
2.
Tab.
4.der dritten Kraft E O gefunden haben, können wir auch das Verhältniss der Kräfte P
und R in Bezug auf die Richtung der Kraft Q finden, wenn wir Fig. 2. die Richtung der
Kraft Q, nämlich M O verlängern und aus N die Linie N B parallel zu O R, und dann
aus dem Punkte B die Linie B A parallel zu N O ziehen. Wir haben dann abermals ein
Parallelogramm O N B A, wovon die Linien O N und O A auf gleiche Art wie zuvor die
Richtungen der Kräfte P und R gegen den Punkt O vorstellen, und O B in der Richtung
der dritten Kraft liegt.

Es wird also gleichfalls die Kraft P : R sich verhalten wie O N : O A. Weil aber
in den Dreiecken O B N und M O E wegen des Parallelismus der Seiten alle Winkel ein-
ander gleich sind, und eben so die Seite O N = M E ist, so wird auch die Seite
B N = O E seyn, und da in dem Parallelogramme O A B N die Seite O A = B N ist,
so wird auch O A = O E seyn. Wir können daher in der obigen Proportion statt der
Seite O A die ihr gleiche O E setzen, und erhalten
P : R = O N : O E, d. h.
die Kraft P verhält sich zur Kraft R wie die Seite O N zur Diagonale
O E des Parallelogrammes O M E N. Vereinigen wir mit dieser Proportion noch
die erste, so erhalten wir P : Q : R = O N : O M : O E, und weil in dem Parallelogramme
O M E N die gegenüberstehenden Seiten einander gleich sind, so können wir statt O M
die Seite N E setzen; sonach ist P : Q : R = O N : N E : O E. Hieraus ersehen wir, dass
die drei Kräfte P, Q und R im Stande ihres Gleichgewichtes sich ver-
halten wie die drei Seiten eines Dreieckes, welches nach den Rich-
tungen der drei Kräfte konstruiret worden.

§. 114.

Uiber die Winkel dieses Dreieckes ist zu bemerken, dass diese drei Winkel diejeni-
Fig.
2.gen zu 180° ergänzen, welche die Richtungen der drei Kräfte gegen einander einschlies-
sen. Wenn wir nämlich die drei Seiten O N, N E und O E mit den diesen Seiten pro-
portionalen Kräften P, Q und R, und die gegenüber stehenden Winkel mit p, q und r
bezeichnen, so ist der Winkel q = E O N = 180° -- R O P, oder der Winkel q, wel-
cher der Kraft Q gegenüber steht, ist der Ergänzungswinkel desjenigen, den die Rich-
tungen der zwei übrigen Kräfte O P und O R am Punkte O bilden. Auf gleiche Art ist
der Winkel p = N E O = M O E = 180° -- Q O R, oder p ist der Ergänzungswinkel
desjenigen, den die Richtungen der zwei übrigen Kräfte Q O und R O am Punkte O mit
einander einschliessen. Eben so ist auch r = O N E = 180° -- P O Q; oder der Win-
kel, welcher der Kraft R gegenübersteht, ist der Ergänzungswinkel desjenigen, welchen
die Richtungen der beiden übrigen Kräfte P O und Q O am Punkte O bilden. Da nun
in jedem Dreiecke die Seiten den Sinusen der gegenüberstehenden Winkel proportional
sind, so haben wir
P : Q : R = Sin. p : Sin. q : Sin. r = Sin. Q O R : Sin. P O R : Sin. P O Q,
woraus wir also für den angenommenen Fall, wenn die Richtungen der drei Kräfte P O,

Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte.
sich die drei Kräfte P, Q und R befinden, nach den Richtungen der-
selben Kräfte gegen den Punkt O beschrieben wurde.

Eben so, wie wir das Verhältniss der 2 Kräfte P und Q in Bezug auf die Richtung
Fig.
2.
Tab.
4.der dritten Kraft E O gefunden haben, können wir auch das Verhältniss der Kräfte P
und R in Bezug auf die Richtung der Kraft Q finden, wenn wir Fig. 2. die Richtung der
Kraft Q, nämlich M O verlängern und aus N die Linie N B parallel zu O R, und dann
aus dem Punkte B die Linie B A parallel zu N O ziehen. Wir haben dann abermals ein
Parallelogramm O N B A, wovon die Linien O N und O A auf gleiche Art wie zuvor die
Richtungen der Kräfte P und R gegen den Punkt O vorstellen, und O B in der Richtung
der dritten Kraft liegt.

Es wird also gleichfalls die Kraft P : R sich verhalten wie O N : O A. Weil aber
in den Dreiecken O B N und M O E wegen des Parallelismus der Seiten alle Winkel ein-
ander gleich sind, und eben so die Seite O N = M E ist, so wird auch die Seite
B N = O E seyn, und da in dem Parallelogramme O A B N die Seite O A = B N ist,
so wird auch O A = O E seyn. Wir können daher in der obigen Proportion statt der
Seite O A die ihr gleiche O E setzen, und erhalten
P : R = O N : O E, d. h.
die Kraft P verhält sich zur Kraft R wie die Seite O N zur Diagonale
O E des Parallelogrammes O M E N. Vereinigen wir mit dieser Proportion noch
die erste, so erhalten wir P : Q : R = O N : O M : O E, und weil in dem Parallelogramme
O M E N die gegenüberstehenden Seiten einander gleich sind, so können wir statt O M
die Seite N E setzen; sonach ist P : Q : R = O N : N E : O E. Hieraus ersehen wir, dass
die drei Kräfte P, Q und R im Stande ihres Gleichgewichtes sich ver-
halten wie die drei Seiten eines Dreieckes, welches nach den Rich-
tungen der drei Kräfte konstruiret worden.

§. 114.

Uiber die Winkel dieses Dreieckes ist zu bemerken, dass diese drei Winkel diejeni-
Fig.
2.gen zu 180° ergänzen, welche die Richtungen der drei Kräfte gegen einander einschlies-
sen. Wenn wir nämlich die drei Seiten O N, N E und O E mit den diesen Seiten pro-
portionalen Kräften P, Q und R, und die gegenüber stehenden Winkel mit p, q und r
bezeichnen, so ist der Winkel q = E O N = 180° — R O P, oder der Winkel q, wel-
cher der Kraft Q gegenüber steht, ist der Ergänzungswinkel desjenigen, den die Rich-
tungen der zwei übrigen Kräfte O P und O R am Punkte O bilden. Auf gleiche Art ist
der Winkel p = N E O = M O E = 180° — Q O R, oder p ist der Ergänzungswinkel
desjenigen, den die Richtungen der zwei übrigen Kräfte Q O und R O am Punkte O mit
einander einschliessen. Eben so ist auch r = O N E = 180° — P O Q; oder der Win-
kel, welcher der Kraft R gegenübersteht, ist der Ergänzungswinkel desjenigen, welchen
die Richtungen der beiden übrigen Kräfte P O und Q O am Punkte O bilden. Da nun
in jedem Dreiecke die Seiten den Sinusen der gegenüberstehenden Winkel proportional
sind, so haben wir
P : Q : R = Sin. p : Sin. q : Sin. r = Sin. Q O R : Sin. P O R : Sin. P O Q,
woraus wir also für den angenommenen Fall, wenn die Richtungen der drei Kräfte P O,

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[126/0156] Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte. sich die drei Kräfte P, Q und R befinden, nach den Richtungen der- selben Kräfte gegen den Punkt O beschrieben wurde. Eben so, wie wir das Verhältniss der 2 Kräfte P und Q in Bezug auf die Richtung der dritten Kraft E O gefunden haben, können wir auch das Verhältniss der Kräfte P und R in Bezug auf die Richtung der Kraft Q finden, wenn wir Fig. 2. die Richtung der Kraft Q, nämlich M O verlängern und aus N die Linie N B parallel zu O R, und dann aus dem Punkte B die Linie B A parallel zu N O ziehen. Wir haben dann abermals ein Parallelogramm O N B A, wovon die Linien O N und O A auf gleiche Art wie zuvor die Richtungen der Kräfte P und R gegen den Punkt O vorstellen, und O B in der Richtung der dritten Kraft liegt. Fig. 2. Tab. 4. Es wird also gleichfalls die Kraft P : R sich verhalten wie O N : O A. Weil aber in den Dreiecken O B N und M O E wegen des Parallelismus der Seiten alle Winkel ein- ander gleich sind, und eben so die Seite O N = M E ist, so wird auch die Seite B N = O E seyn, und da in dem Parallelogramme O A B N die Seite O A = B N ist, so wird auch O A = O E seyn. Wir können daher in der obigen Proportion statt der Seite O A die ihr gleiche O E setzen, und erhalten P : R = O N : O E, d. h. die Kraft P verhält sich zur Kraft R wie die Seite O N zur Diagonale O E des Parallelogrammes O M E N. Vereinigen wir mit dieser Proportion noch die erste, so erhalten wir P : Q : R = O N : O M : O E, und weil in dem Parallelogramme O M E N die gegenüberstehenden Seiten einander gleich sind, so können wir statt O M die Seite N E setzen; sonach ist P : Q : R = O N : N E : O E. Hieraus ersehen wir, dass die drei Kräfte P, Q und R im Stande ihres Gleichgewichtes sich ver- halten wie die drei Seiten eines Dreieckes, welches nach den Rich- tungen der drei Kräfte konstruiret worden. §. 114. Uiber die Winkel dieses Dreieckes ist zu bemerken, dass diese drei Winkel diejeni- gen zu 180° ergänzen, welche die Richtungen der drei Kräfte gegen einander einschlies- sen. Wenn wir nämlich die drei Seiten O N, N E und O E mit den diesen Seiten pro- portionalen Kräften P, Q und R, und die gegenüber stehenden Winkel mit p, q und r bezeichnen, so ist der Winkel q = E O N = 180° — R O P, oder der Winkel q, wel- cher der Kraft Q gegenüber steht, ist der Ergänzungswinkel desjenigen, den die Rich- tungen der zwei übrigen Kräfte O P und O R am Punkte O bilden. Auf gleiche Art ist der Winkel p = N E O = M O E = 180° — Q O R, oder p ist der Ergänzungswinkel desjenigen, den die Richtungen der zwei übrigen Kräfte Q O und R O am Punkte O mit einander einschliessen. Eben so ist auch r = O N E = 180° — P O Q; oder der Win- kel, welcher der Kraft R gegenübersteht, ist der Ergänzungswinkel desjenigen, welchen die Richtungen der beiden übrigen Kräfte P O und Q O am Punkte O bilden. Da nun in jedem Dreiecke die Seiten den Sinusen der gegenüberstehenden Winkel proportional sind, so haben wir P : Q : R = Sin. p : Sin. q : Sin. r = Sin. Q O R : Sin. P O R : Sin. P O Q, woraus wir also für den angenommenen Fall, wenn die Richtungen der drei Kräfte P O, Fig. 2.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 126. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/156>, abgerufen am 23.11.2024.