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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte.

Man denke sich die drei Richtungslinien O P, O Q und O R auf einer festen Ebene
z. B. auf einem Brette gezeichnet, verlängere die Richtung einer von diesen drei Kräf-Fig.
1.
Tab.
4.
ten z. B. von der Kraft R nach der Richtung O R rückwärts von O nach m, nehme in
dieser verlängerten Richtungslinie O m einen Punkt E willkührlich an, und ziehe aus E
gegen die Richtung der beiden übrigen Kräfte O P und O Q die winkelrechten Linien
E b und E c.

Da in der aufgestellten Frage nur die Richtungen der drei Kräfte gegen den
Punkt O gegeben sind, so können wir jede Kraft in was immer für einen Punkt ihrer
Richtung stellen. Wir wollen demnach die Kraft P in b, die Kraft Q in c und die
Kraft R in E, jede nach ihrer Richtung angebracht denken.

Ziehen wir nun aus E mit den Halbmessern b E und c E die Kreise b a m und c d o,
so werden die Richtungen der Kräfte P und Q nämlich O b P und O c Q mit den Tan-
genten dieser Kreise übereinkommen und gegen die dritte in E befindliche Kraft eben
so wirken, wie es bei dem Rade an der Welle der Fall ist. Weil aber alle Kräfte,
welche sich in der Peripherie eines Kreises befinden, und nach den Richtungen der
Tangenten dieses Kreises wirken, wegen der Gleichheit der Halbmesser auch ein glei-
ches Vermögen zur Umdrehung des Kreises besitzen, so können wir auch die Kraft
P von b nach den in derselben Peripherie befindlichen Punkt a übersetzen, sonach die
Wirkung der Kraft P nach der Richtung der Tangente b P der Wirkung derselben Kraft
in a nach der Richtung der Tangente a P' gleich setzen. Auf gleiche Art können wir
auch die Kraft Q von c in den Endpunkt der horizontalen Linie d E a nach d über-
setzen und ihre Wirkung nach der Richtung der Tangente c Q der Wirkung derselben
Kraft nach der Richtung der Tangente d Q' gleich annehmen.

Die Kräfte P' und Q' an dem horizontalen Hebel a E d sind aber (nach §. 55) im
Gleichgewichte, wenn sich die Kräfte P' und Q' verhalten wie umgekehrt ihre Hebels-
arme oder
P' : Q' = d E : a E.
Weil aber P' = P, Q' = Q, a E = b E, d E = c E, so ist auch
P : Q = c E : b E.
Zieht man aus E die Linie E M parallel zu O P, und E N parallel zu O Q, so erhält
man ein Parallelogramm O M E N, wovon O M und O N in den Richtungen der
Kräfte Q und P liegen. Hiedurch entstehen nun die ähnlichen Dreiecke E M c und
E N b; denn die Winkel bei c und b sind rechte Winkel, und wegen des Parallelismus
der Linien M E und O N ist der Winkel c M E = M O N, und eben so ist wegen des
Parallelismus der Linien M O und E N der Winkel M O N = E N b, also auch
c M E = E N b u. s. w.

Aus der Aehnlichkeit dieser Dreiecke folgt die Proportion
E c : E b = E M : E N und wegen E M = O N und E N = O M
auch E c : E b = O N : O M.
Oben war E c : E b = P : Q , daher auch
P : Q = O N : O M d. h.
die zwei Kräfte P und Q verhalten sich wie die Seiten O N und O M
eines Parallelogrammes O M E N, welches in der Fläche, in welcher

Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte.

Man denke sich die drei Richtungslinien O P, O Q und O R auf einer festen Ebene
z. B. auf einem Brette gezeichnet, verlängere die Richtung einer von diesen drei Kräf-Fig.
1.
Tab.
4.
ten z. B. von der Kraft R nach der Richtung O R rückwärts von O nach m, nehme in
dieser verlängerten Richtungslinie O m einen Punkt E willkührlich an, und ziehe aus E
gegen die Richtung der beiden übrigen Kräfte O P und O Q die winkelrechten Linien
E b und E c.

Da in der aufgestellten Frage nur die Richtungen der drei Kräfte gegen den
Punkt O gegeben sind, so können wir jede Kraft in was immer für einen Punkt ihrer
Richtung stellen. Wir wollen demnach die Kraft P in b, die Kraft Q in c und die
Kraft R in E, jede nach ihrer Richtung angebracht denken.

Ziehen wir nun aus E mit den Halbmessern b E und c E die Kreise b a m und c d o,
so werden die Richtungen der Kräfte P und Q nämlich O b P und O c Q mit den Tan-
genten dieser Kreise übereinkommen und gegen die dritte in E befindliche Kraft eben
so wirken, wie es bei dem Rade an der Welle der Fall ist. Weil aber alle Kräfte,
welche sich in der Peripherie eines Kreises befinden, und nach den Richtungen der
Tangenten dieses Kreises wirken, wegen der Gleichheit der Halbmesser auch ein glei-
ches Vermögen zur Umdrehung des Kreises besitzen, so können wir auch die Kraft
P von b nach den in derselben Peripherie befindlichen Punkt a übersetzen, sonach die
Wirkung der Kraft P nach der Richtung der Tangente b P der Wirkung derselben Kraft
in a nach der Richtung der Tangente a P' gleich setzen. Auf gleiche Art können wir
auch die Kraft Q von c in den Endpunkt der horizontalen Linie d E a nach d über-
setzen und ihre Wirkung nach der Richtung der Tangente c Q der Wirkung derselben
Kraft nach der Richtung der Tangente d Q' gleich annehmen.

Die Kräfte P' und Q' an dem horizontalen Hebel a E d sind aber (nach §. 55) im
Gleichgewichte, wenn sich die Kräfte P' und Q' verhalten wie umgekehrt ihre Hebels-
arme oder
P' : Q' = d E : a E.
Weil aber P' = P, Q' = Q, a E = b E, d E = c E, so ist auch
P : Q = c E : b E.
Zieht man aus E die Linie E M parallel zu O P, und E N parallel zu O Q, so erhält
man ein Parallelogramm O M E N, wovon O M und O N in den Richtungen der
Kräfte Q und P liegen. Hiedurch entstehen nun die ähnlichen Dreiecke E M c und
E N b; denn die Winkel bei c und b sind rechte Winkel, und wegen des Parallelismus
der Linien M E und O N ist der Winkel c M E = M O N, und eben so ist wegen des
Parallelismus der Linien M O und E N der Winkel M O N = E N b, also auch
c M E = E N b u. s. w.

Aus der Aehnlichkeit dieser Dreiecke folgt die Proportion
E c : E b = E M : E N und wegen E M = O N und E N = O M
auch E c : E b = O N : O M.
Oben war E c : E b = P : Q , daher auch
P : Q = O N : O M d. h.
die zwei Kräfte P und Q verhalten sich wie die Seiten O N und O M
eines Parallelogrammes O M E N, welches in der Fläche, in welcher

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[125/0155] Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte. Man denke sich die drei Richtungslinien O P, O Q und O R auf einer festen Ebene z. B. auf einem Brette gezeichnet, verlängere die Richtung einer von diesen drei Kräf- ten z. B. von der Kraft R nach der Richtung O R rückwärts von O nach m, nehme in dieser verlängerten Richtungslinie O m einen Punkt E willkührlich an, und ziehe aus E gegen die Richtung der beiden übrigen Kräfte O P und O Q die winkelrechten Linien E b und E c. Fig. 1. Tab. 4. Da in der aufgestellten Frage nur die Richtungen der drei Kräfte gegen den Punkt O gegeben sind, so können wir jede Kraft in was immer für einen Punkt ihrer Richtung stellen. Wir wollen demnach die Kraft P in b, die Kraft Q in c und die Kraft R in E, jede nach ihrer Richtung angebracht denken. Ziehen wir nun aus E mit den Halbmessern b E und c E die Kreise b a m und c d o, so werden die Richtungen der Kräfte P und Q nämlich O b P und O c Q mit den Tan- genten dieser Kreise übereinkommen und gegen die dritte in E befindliche Kraft eben so wirken, wie es bei dem Rade an der Welle der Fall ist. Weil aber alle Kräfte, welche sich in der Peripherie eines Kreises befinden, und nach den Richtungen der Tangenten dieses Kreises wirken, wegen der Gleichheit der Halbmesser auch ein glei- ches Vermögen zur Umdrehung des Kreises besitzen, so können wir auch die Kraft P von b nach den in derselben Peripherie befindlichen Punkt a übersetzen, sonach die Wirkung der Kraft P nach der Richtung der Tangente b P der Wirkung derselben Kraft in a nach der Richtung der Tangente a P' gleich setzen. Auf gleiche Art können wir auch die Kraft Q von c in den Endpunkt der horizontalen Linie d E a nach d über- setzen und ihre Wirkung nach der Richtung der Tangente c Q der Wirkung derselben Kraft nach der Richtung der Tangente d Q' gleich annehmen. Die Kräfte P' und Q' an dem horizontalen Hebel a E d sind aber (nach §. 55) im Gleichgewichte, wenn sich die Kräfte P' und Q' verhalten wie umgekehrt ihre Hebels- arme oder P' : Q' = d E : a E. Weil aber P' = P, Q' = Q, a E = b E, d E = c E, so ist auch P : Q = c E : b E. Zieht man aus E die Linie E M parallel zu O P, und E N parallel zu O Q, so erhält man ein Parallelogramm O M E N, wovon O M und O N in den Richtungen der Kräfte Q und P liegen. Hiedurch entstehen nun die ähnlichen Dreiecke E M c und E N b; denn die Winkel bei c und b sind rechte Winkel, und wegen des Parallelismus der Linien M E und O N ist der Winkel c M E = M O N, und eben so ist wegen des Parallelismus der Linien M O und E N der Winkel M O N = E N b, also auch c M E = E N b u. s. w. Aus der Aehnlichkeit dieser Dreiecke folgt die Proportion E c : E b = E M : E N und wegen E M = O N und E N = O M auch E c : E b = O N : O M. Oben war E c : E b = P : Q , daher auch P : Q = O N : O M d. h. die zwei Kräfte P und Q verhalten sich wie die Seiten O N und O M eines Parallelogrammes O M E N, welches in der Fläche, in welcher

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 125. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/155>, abgerufen am 22.11.2024.