Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Pferdegöpel. aus gleiche Stärke hat, den Ausdruck
[Formel 1]
, welcher dievollständige Gleichung der Spirallinie enthält. der Steigung der Spiralgewinde nach ihrer Höhe. Setzen wir demnach s = integral y. d ph, so ist das
Gewicht der unbestimmten Seillänge g. s = g integral y. d ph. Da wir bereits gesehen haben, dass die Ordinaten p y und q z auf gleichen Entfernungen von m einander gleich sind, so wollen wir den Winkel, welcher von der Mitte des Korbes oder von m nach y beschrieben wird = ph setzen, so ist das Gewicht des Seiles, welches auf dem Spiralgewinde von m bis y zu liegen kommt, = g integral y. d ph = g integral (m + v) d ph = g. m. ph + g integral v. d ph. Eben so haben wir wegen der Gleichheit der Winkel von m bis y und von m bis z, auch das Ge- wicht des Seiles auf dem Spiralgewinde von m bis z = g integral (m -- v) d ph = g. m. ph -- g integral v. d ph; die Summe dieser beiden Ausdrücke gibt das Gewicht des Seiles, welches von z bis y auf dem Spi- ralgewinde zu liegen kommt = 2 g. m. ph = S -- W -- U. Setzen wir endlich noch das Gewicht des Seiles, welches auf der untern Hälfte des Spiralkorbes von b bis m liegt = B, und welches auf der obern Hälfte von m bis a liegt = E, so ist W = B -- g. m. ph + g integral v. d ph und U = E -- g. m. ph. -- g integral v. d ph; demnach W -- U = B -- E + 2 g integral v. d ph. Diese Werthe in die Gleichung III gesetzt geben d. [Formel 2] + 2 g. v. d ph = 0, oder [Formel 3] = 0; folglich [Formel 4] · Das Integrale dieser Gleichung ist offenbar log. [Formel 5] sqrt (m2 + v2) = C. Die Bestimmung der beständigen Grösse C wird sich ergeben, wenn wir vorläufig die nöthige An- zahl aller Windungen, welche der Spiralkorb für jede gegebene Tiefe des Schachtes braucht, zu be- stimmen suchen. Da die Länge des aufgewundenen Seiles von z bis y = 2 m. ph, folglich für jede gleiche Anzahl Windungen zu beiden Seiten von der Mitte eben so gross ist, als ob das Seil auf dem mittlern Durchmesser des Spiralkorbes aufgewunden würde, so erhellet, dass die nöthige An- zahl Windungen für jede von der Mitte aus berechnete Seillänge auf dieselbe Art gefunden werde, wie für einen eylindrischen Spiralkorb. Setzen wir nämlich die Länge des ganzen Seiles = L, und die mittlere Peripherie des Korbes = 2 p. m, so ist die Anzahl aller Windungen, n = [Formel 6] . In dem obigen Beispiele bei dem Siegelsberger Schachte war L = 900 Fuss, und m = 9 Fuss, folglich ist die nöthige Anzahl der Spiralgewinde n = [Formel 7] = 16 beinahe. Die Höhe eines Gewindes rührt von der Stärke der Ketten oder Seile her; in unserm Falle beträgt die Seil- stärke 2 Zoll, wozu 1/2 Zoll als Spielraum gehört. Rechnet man hiezu 1 Zoll als Stärke des her- vorspringenden Bretes, um das Herabfallen der Seile zu verhindern, so ergibt sich für die eigent- liche Höhe einer Windung 3,5 Zoll, demnach die Höhe für 16 Windungen = 56 Zoll = 4 2/3 Fuss, welches den obern Kegel ausmacht. Da der andere Theil eben so gross seyn muss, so ist die Höhe des ganzen Spiralkorbes = 9 1/3 Fuss. Der Winkel, mit welchem das ganze Seil aufgewunden wird, ist offenbar = 2 p n, demnach die Hälfte dessen, oder der Winkel von m bis a oder von m bis b, nämlich ph = p n. Da nun zu gleicher Zeit auch der Unterschied [Formel 8] werden muss, so haben wir die beständige Grösse C = log [Formel 9] , folglich ist die vollständige Gleichung der Spirallinie für eine gleichförmige Seilstärke, [Formel 10] . Pferdegöpel. aus gleiche Stärke hat, den Ausdruck
[Formel 1]
, welcher dievollständige Gleichung der Spirallinie enthält. der Steigung der Spiralgewinde nach ihrer Höhe. Setzen wir demnach s = ∫ y. d φ, so ist das
Gewicht der unbestimmten Seillänge g. s = g ∫ y. d φ. Da wir bereits gesehen haben, dass die Ordinaten p y und q z auf gleichen Entfernungen von m einander gleich sind, so wollen wir den Winkel, welcher von der Mitte des Korbes oder von m nach y beschrieben wird = φ setzen, so ist das Gewicht des Seiles, welches auf dem Spiralgewinde von m bis y zu liegen kommt, = g ∫ y. d φ = g ∫ (m + v) d φ = g. m. φ + g ∫ v. d φ. Eben so haben wir wegen der Gleichheit der Winkel von m bis y und von m bis z, auch das Ge- wicht des Seiles auf dem Spiralgewinde von m bis z = g ∫ (m — v) d φ = g. m. φ — g ∫ v. d φ; die Summe dieser beiden Ausdrücke gibt das Gewicht des Seiles, welches von z bis y auf dem Spi- ralgewinde zu liegen kommt = 2 g. m. φ = S — W — U. Setzen wir endlich noch das Gewicht des Seiles, welches auf der untern Hälfte des Spiralkorbes von b bis m liegt = B, und welches auf der obern Hälfte von m bis a liegt = E, so ist W = B — g. m. φ + g ∫ v. d φ und U = E — g. m. φ. — g ∫ v. d φ; demnach W — U = B — E + 2 g ∫ v. d φ. Diese Werthe in die Gleichung III gesetzt geben d. [Formel 2] + 2 g. v. d φ = 0, oder [Formel 3] = 0; folglich [Formel 4] · Das Integrale dieser Gleichung ist offenbar log. [Formel 5] √ (m2 + v2) = C. Die Bestimmung der beständigen Grösse C wird sich ergeben, wenn wir vorläufig die nöthige An- zahl aller Windungen, welche der Spiralkorb für jede gegebene Tiefe des Schachtes braucht, zu be- stimmen suchen. Da die Länge des aufgewundenen Seiles von z bis y = 2 m. φ, folglich für jede gleiche Anzahl Windungen zu beiden Seiten von der Mitte eben so gross ist, als ob das Seil auf dem mittlern Durchmesser des Spiralkorbes aufgewunden würde, so erhellet, dass die nöthige An- zahl Windungen für jede von der Mitte aus berechnete Seillänge auf dieselbe Art gefunden werde, wie für einen eylindrischen Spiralkorb. Setzen wir nämlich die Länge des ganzen Seiles = L, und die mittlere Peripherie des Korbes = 2 π. m, so ist die Anzahl aller Windungen, n = [Formel 6] . In dem obigen Beispiele bei dem Siegelsberger Schachte war L = 900 Fuss, und m = 9 Fuss, folglich ist die nöthige Anzahl der Spiralgewinde n = [Formel 7] = 16 beinahe. Die Höhe eines Gewindes rührt von der Stärke der Ketten oder Seile her; in unserm Falle beträgt die Seil- stärke 2 Zoll, wozu ½ Zoll als Spielraum gehört. Rechnet man hiezu 1 Zoll als Stärke des her- vorspringenden Bretes, um das Herabfallen der Seile zu verhindern, so ergibt sich für die eigent- liche Höhe einer Windung 3,5 Zoll, demnach die Höhe für 16 Windungen = 56 Zoll = 4⅔ Fuss, welches den obern Kegel ausmacht. Da der andere Theil eben so gross seyn muss, so ist die Höhe des ganzen Spiralkorbes = 9⅓ Fuss. Der Winkel, mit welchem das ganze Seil aufgewunden wird, ist offenbar = 2 π n, demnach die Hälfte dessen, oder der Winkel von m bis a oder von m bis b, nämlich φ = π n. Da nun zu gleicher Zeit auch der Unterschied [Formel 8] werden muss, so haben wir die beständige Grösse C = log [Formel 9] , folglich ist die vollständige Gleichung der Spirallinie für eine gleichförmige Seilstärke, [Formel 10] . <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <div n="4"> <p><pb facs="#f0262" n="232"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Pferdegöpel.</hi></fw><lb/><hi rendition="#g">aus gleiche Stärke hat</hi>, den Ausdruck <formula/>, welcher die<lb/><hi rendition="#g">vollständige Gleichung der Spirallinie</hi> enthält.</p><lb/> <note xml:id="note-0262" prev="#note-0261" place="foot" n="*)">der Steigung der Spiralgewinde nach ihrer Höhe. 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Pferdegöpel.
aus gleiche Stärke hat, den Ausdruck [FORMEL], welcher die
vollständige Gleichung der Spirallinie enthält.
*)
*) der Steigung der Spiralgewinde nach ihrer Höhe. Setzen wir demnach s = ∫ y. d φ, so ist das
Gewicht der unbestimmten Seillänge g. s = g ∫ y. d φ.
Da wir bereits gesehen haben, dass die Ordinaten p y und q z auf gleichen Entfernungen von m
einander gleich sind, so wollen wir den Winkel, welcher von der Mitte des Korbes oder von m nach y
beschrieben wird = φ setzen, so ist das Gewicht des Seiles, welches auf dem Spiralgewinde von
m bis y zu liegen kommt, = g ∫ y. d φ = g ∫ (m + v) d φ = g. m. φ + g ∫ v. d φ.
Eben so haben wir wegen der Gleichheit der Winkel von m bis y und von m bis z, auch das Ge-
wicht des Seiles auf dem Spiralgewinde von m bis z = g ∫ (m — v) d φ = g. m. φ — g ∫ v. d φ;
die Summe dieser beiden Ausdrücke gibt das Gewicht des Seiles, welches von z bis y auf dem Spi-
ralgewinde zu liegen kommt = 2 g. m. φ = S — W — U.
Setzen wir endlich noch das Gewicht des Seiles, welches auf der untern Hälfte des Spiralkorbes
von b bis m liegt = B, und welches auf der obern Hälfte von m bis a liegt = E, so ist
W = B — g. m. φ + g ∫ v. d φ und U = E — g. m. φ. — g ∫ v. d φ; demnach
W — U = B — E + 2 g ∫ v. d φ. Diese Werthe in die Gleichung III gesetzt geben
d. [FORMEL] + 2 g. v. d φ = 0, oder [FORMEL] = 0; folglich
[FORMEL] · Das Integrale dieser Gleichung ist offenbar log. [FORMEL] √ (m2 + v2) = C.
Die Bestimmung der beständigen Grösse C wird sich ergeben, wenn wir vorläufig die nöthige An-
zahl aller Windungen, welche der Spiralkorb für jede gegebene Tiefe des Schachtes braucht, zu be-
stimmen suchen. Da die Länge des aufgewundenen Seiles von z bis y = 2 m. φ, folglich für jede
gleiche Anzahl Windungen zu beiden Seiten von der Mitte eben so gross ist, als ob das Seil auf
dem mittlern Durchmesser des Spiralkorbes aufgewunden würde, so erhellet, dass die nöthige An-
zahl Windungen für jede von der Mitte aus berechnete Seillänge auf dieselbe Art gefunden werde,
wie für einen eylindrischen Spiralkorb. Setzen wir nämlich die Länge des ganzen Seiles = L, und
die mittlere Peripherie des Korbes = 2 π. m, so ist die Anzahl aller Windungen, n = [FORMEL].
In dem obigen Beispiele bei dem Siegelsberger Schachte war L = 900 Fuss, und m = 9 Fuss,
folglich ist die nöthige Anzahl der Spiralgewinde n = [FORMEL] = 16 beinahe. Die Höhe
eines Gewindes rührt von der Stärke der Ketten oder Seile her; in unserm Falle beträgt die Seil-
stärke 2 Zoll, wozu ½ Zoll als Spielraum gehört. Rechnet man hiezu 1 Zoll als Stärke des her-
vorspringenden Bretes, um das Herabfallen der Seile zu verhindern, so ergibt sich für die eigent-
liche Höhe einer Windung 3,5 Zoll, demnach die Höhe für 16 Windungen = 56 Zoll = 4⅔ Fuss,
welches den obern Kegel ausmacht. Da der andere Theil eben so gross seyn muss, so ist die Höhe
des ganzen Spiralkorbes = 9⅓ Fuss.
Der Winkel, mit welchem das ganze Seil aufgewunden wird, ist offenbar = 2 π n, demnach
die Hälfte dessen, oder der Winkel von m bis a oder von m bis b, nämlich φ = π n. Da nun zu
gleicher Zeit auch der Unterschied [FORMEL] werden muss, so haben wir die beständige
Grösse C = log [FORMEL], folglich ist die vollständige Gleichung der Spirallinie für
eine gleichförmige Seilstärke, [FORMEL].
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 232. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/262>, abgerufen am 21.11.2024. |
