Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Biegung gleichförmig belasteter Balken. §. 333. Da in der Ausübung sehr viele Fälle vorkommen, dass Balken durch ihre gan- *) Fig.
6. Tab. 16.Es sey P die ganze Last, welche auf dem Balken A B C gleichförmig vertheilt ist, A N M D C sey die krumme Linie, welche der Ballen A B C unter dem Drucke der Last P angenommen hat, die Co- ordinaten des Punktes M seyen R M = u, R D = y, dann M O = d y und O N = d u, endlich [Formel 1] ; demnach ist die Last, welche auf A M ruht = [Formel 2] und die Last, welche auf M D C ruht = [Formel 3] . Von der Last [Formel 4] drückt nach §. 300 die Hälfte auf A und die andere Hälfte auf M, und eben so drückt von der Last [Formel 5] die eine Hälfte auf C und die andere auf M. Wir haben also den gesammten senkrechten Druck auf M = [Formel 6] . Diese Last muss nun von der Elasticität des Querschnittes in M aufgewogen werden. Wir haben bereits S. 325 gezeigt, dass die Elasticität der Biegung des Balkens in dem Punkte M mit dem statischen Momente [Formel 7] entgegenwirkt; wir müssen daher itzt auch das Moment von der Last [Formel 8] , wel- ches die Biegung in M hervorbringt, bestimmen. Bei der Lehre vom Hebel wurde gezeigt, dass von der Last [Formel 9] , welche in J auf dem Hebel A C liegt, der Theil [Formel 10] auf A und [Formel 11] auf C drückt. Da nun der Punkt A von dieser Last [Formel 12] herabgedrückt wird, so müssen wir annehmen, dass er eben so stark entge- gendrückt, es wird also das Moment dieser senkrecht aufwärts wirkenden Kraft um den Punkt M er- halten, wenn wir [Formel 13] mit dem Hebelsarme A J multipliciren, welches [Formel 14] gibt. Eben so wirkt die zweite Last bei C mit dem Hebelsarme J C, es ist demnach ihr Moment ebenfalls [Formel 15] . Diese Momente sind daher nicht nur unter einander, sondern auch dem Elasticitätsmomente gleich, welches übrigens für jeden Punkt der krummen Linie statt findet. Da nun A J = E -- y und C J = E + y, so ist A J . J C = E2 -- y2, demnach [Formel 16] , welches die allgemeine Gleichung für die krum- me Linie A N M D C des gleichförmig beschwerten Balkens ist. Setzen wir nun den Winkel N M O = w, so ist Sin N M O = [Formel 17] ; Cos N M O = [Formel 18] und der Krümmungshalbmesser r = [Formel 19] . Wird nun dieser Werth in die obige Glei- chung substituirt, so ist P [Formel 20] und integrirt Biegung gleichförmig belasteter Balken. §. 333. Da in der Ausübung sehr viele Fälle vorkommen, dass Balken durch ihre gan- *) Fig.
6. Tab. 16.Es sey P die ganze Last, welche auf dem Balken A B C gleichförmig vertheilt ist, A N M D C sey die krumme Linie, welche der Ballen A B C unter dem Drucke der Last P angenommen hat, die Co- ordinaten des Punktes M seyen R M = u, R D = y, dann M O = d y und O N = d u, endlich [Formel 1] ; demnach ist die Last, welche auf A M ruht = [Formel 2] und die Last, welche auf M D C ruht = [Formel 3] . Von der Last [Formel 4] drückt nach §. 300 die Hälfte auf A und die andere Hälfte auf M, und eben so drückt von der Last [Formel 5] die eine Hälfte auf C und die andere auf M. Wir haben also den gesammten senkrechten Druck auf M = [Formel 6] . Diese Last muss nun von der Elasticität des Querschnittes in M aufgewogen werden. Wir haben bereits S. 325 gezeigt, dass die Elasticität der Biegung des Balkens in dem Punkte M mit dem statischen Momente [Formel 7] entgegenwirkt; wir müssen daher itzt auch das Moment von der Last [Formel 8] , wel- ches die Biegung in M hervorbringt, bestimmen. Bei der Lehre vom Hebel wurde gezeigt, dass von der Last [Formel 9] , welche in J auf dem Hebel A C liegt, der Theil [Formel 10] auf A und [Formel 11] auf C drückt. Da nun der Punkt A von dieser Last [Formel 12] herabgedrückt wird, so müssen wir annehmen, dass er eben so stark entge- gendrückt, es wird also das Moment dieser senkrecht aufwärts wirkenden Kraft um den Punkt M er- halten, wenn wir [Formel 13] mit dem Hebelsarme A J multipliciren, welches [Formel 14] gibt. Eben so wirkt die zweite Last bei C mit dem Hebelsarme J C, es ist demnach ihr Moment ebenfalls [Formel 15] . Diese Momente sind daher nicht nur unter einander, sondern auch dem Elasticitätsmomente gleich, welches übrigens für jeden Punkt der krummen Linie statt findet. Da nun A J = E — y und C J = E + y, so ist A J . J C = E2 — y2, demnach [Formel 16] , welches die allgemeine Gleichung für die krum- me Linie A N M D C des gleichförmig beschwerten Balkens ist. Setzen wir nun den Winkel N M O = w, so ist Sin N M O = [Formel 17] ; Cos N M O = [Formel 18] und der Krümmungshalbmesser r = [Formel 19] . 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Biegung gleichförmig belasteter Balken.
§. 333.
Da in der Ausübung sehr viele Fälle vorkommen, dass Balken durch ihre gan-
ze Länge gleichförmig belastet werden, und da auch das eigene Gewicht
der Balken als eine gleichförmig vertheilte Last angesehen werden muss, so ist es noch
wichtig, die Biegung kennen zu lernen, welche durch eine gleichförmig vertheilte Last
in der Mitte der Balken bewirkt wird. *) Die höhere Analysis lehrt, dass ein auf
*) Es sey P die ganze Last, welche auf dem Balken A B C gleichförmig vertheilt ist, A N M D C sey
die krumme Linie, welche der Ballen A B C unter dem Drucke der Last P angenommen hat, die Co-
ordinaten des Punktes M seyen R M = u, R D = y, dann M O = d y und O N = d u, endlich
[FORMEL]; demnach ist die Last, welche auf A M ruht = [FORMEL] und die Last,
welche auf M D C ruht = [FORMEL].
Von der Last [FORMEL] drückt nach §. 300 die Hälfte auf A und die andere Hälfte auf M, und
eben so drückt von der Last [FORMEL] die eine Hälfte auf C und die andere auf M. Wir haben also
den gesammten senkrechten Druck auf M = [FORMEL]. Diese Last muss nun von
der Elasticität des Querschnittes in M aufgewogen werden. Wir haben bereits S. 325 gezeigt, dass
die Elasticität der Biegung des Balkens in dem Punkte M mit dem statischen Momente
[FORMEL] entgegenwirkt; wir müssen daher itzt auch das Moment von der Last [FORMEL], wel-
ches die Biegung in M hervorbringt, bestimmen.
Bei der Lehre vom Hebel wurde gezeigt, dass von der Last [FORMEL], welche in J auf dem
Hebel A C liegt, der Theil [FORMEL] auf A und [FORMEL] auf C drückt. Da nun der Punkt A
von dieser Last [FORMEL] herabgedrückt wird, so müssen wir annehmen, dass er eben so stark entge-
gendrückt, es wird also das Moment dieser senkrecht aufwärts wirkenden Kraft um den Punkt M er-
halten, wenn wir [FORMEL] mit dem Hebelsarme A J multipliciren, welches [FORMEL] gibt. Eben
so wirkt die zweite Last bei C mit dem Hebelsarme J C, es ist demnach ihr Moment ebenfalls
[FORMEL]. Diese Momente sind daher nicht nur unter einander,
sondern auch dem Elasticitätsmomente gleich, welches übrigens für jeden Punkt der krummen Linie
statt findet.
Da nun A J = E — y und C J = E + y, so ist A J . J C = E2 — y2, demnach
[FORMEL], welches die allgemeine Gleichung für die krum-
me Linie A N M D C des gleichförmig beschwerten Balkens ist.
Setzen wir nun den Winkel N M O = w, so ist Sin N M O = [FORMEL]; Cos N M O = [FORMEL] und der
Krümmungshalbmesser r = [FORMEL]. Wird nun dieser Werth in die obige Glei-
chung substituirt, so ist P [FORMEL] und integrirt
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