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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Biegung gleichförmig belasteter Balken.
seiner ganzen Länge gleichförmig beschwerter Balken sich in der
Mitte eben so viel biegt, als wenn bloss fünf Achtel derselben Last
auf die Mitte gelegt werden.

[Formel 1] , wo keine beständige Grösse beizusetzen ist, weilFig.
6.
Tab.
16.
y und w zugleich verschwinden.
Nun ist Sin w = [Formel 2] ; weil aber die Biegung sehr klein, folglich s = y angenommen
wird, so ist auch d s = d y und Sin w = [Formel 3] . Wird dieser Werth in vorstehende Gleichung ge-
setzt, so ist [Formel 4] und integrirt
[Formel 5] , wo abermals keine beständige Grösse beizusetzen ist,
weil u und y auch mit einander verschwinden. Da in dieser Gleichung die erste Potenz von u durch
die vierte Potenz von y ausgedrückt ist, so folgt, dass zwischen u und y eine parabolische
Gleichung des vierten Grades statt findet.
Setzen wir in der vorigen Gleichung y = A B = E und die Biegung des Balkens in der Mitte
u = B D = U, so haben wir [Formel 6] oder
[Formel 7] , und da E = [Formel 8] ist, so folgt
[Formel 9] .
Nehmen wir im Gegentheile an, dass derselbe Balken bloss in seiner Mitte B mit der Last G
beschwert wird, so drückt auf ein jedes Ende A und C die Last [Formel 10] ; wir haben also
[Formel 11] . Nun ist A J = E -- y und r = [Formel 12] , folglich
[Formel 13] und integrirt
[Formel 14] . Setzen wir wieder Sin w = [Formel 15] und integri-
ren, so ist [Formel 16] . Da hier u' in der ersten und y in der
dritten Potenz vorkommt, so wird die krumme Linie des Balkens durch eine parabolische Glei-
chung des dritten Grades ausgedrückt.
Wird y = E = [Formel 17] und u' = U' gesetzt, so ist [Formel 18] .
Werden die Gleichungen I und II durch einander dividirt, so ist [Formel 19] . Sollen nun die
Biegungen der Balken in der Mitte einander gleich, oder U = U' seyn, so muss G = [Formel 20] P seyn; wä-
re aber G = P, so ist U = [Formel 21] U', d. h. wenn ein Balken mit der Last P gleichför-
mig auf seiner ganzen Länge beschwert wird, so ist seine Biegung in der
Mitte eben so gross, als wenn nur fünf Achtel derselben Last P auf die Mit-
te gelegt werden.
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Biegung gleichförmig belasteter Balken.
seiner ganzen Länge gleichförmig beschwerter Balken sich in der
Mitte eben so viel biegt, als wenn bloss fünf Achtel derselben Last
auf die Mitte gelegt werden.

[Formel 1] , wo keine beständige Grösse beizusetzen ist, weilFig.
6.
Tab.
16.
y und w zugleich verschwinden.
Nun ist Sin w = [Formel 2] ; weil aber die Biegung sehr klein, folglich s = y angenommen
wird, so ist auch d s = d y und Sin w = [Formel 3] . Wird dieser Werth in vorstehende Gleichung ge-
setzt, so ist [Formel 4] und integrirt
[Formel 5] , wo abermals keine beständige Grösse beizusetzen ist,
weil u und y auch mit einander verschwinden. Da in dieser Gleichung die erste Potenz von u durch
die vierte Potenz von y ausgedrückt ist, so folgt, dass zwischen u und y eine parabolische
Gleichung des vierten Grades statt findet.
Setzen wir in der vorigen Gleichung y = A B = E und die Biegung des Balkens in der Mitte
u = B D = U, so haben wir [Formel 6] oder
[Formel 7] , und da E = [Formel 8] ist, so folgt
[Formel 9] .
Nehmen wir im Gegentheile an, dass derselbe Balken bloss in seiner Mitte B mit der Last G
beschwert wird, so drückt auf ein jedes Ende A und C die Last [Formel 10] ; wir haben also
[Formel 11] . Nun ist A J = E — y und r = [Formel 12] , folglich
[Formel 13] und integrirt
[Formel 14] . Setzen wir wieder Sin w = [Formel 15] und integri-
ren, so ist [Formel 16] . Da hier u' in der ersten und y in der
dritten Potenz vorkommt, so wird die krumme Linie des Balkens durch eine parabolische Glei-
chung des dritten Grades ausgedrückt.
Wird y = E = [Formel 17] und u' = U' gesetzt, so ist [Formel 18] .
Werden die Gleichungen I und II durch einander dividirt, so ist [Formel 19] . Sollen nun die
Biegungen der Balken in der Mitte einander gleich, oder U = U' seyn, so muss G = [Formel 20] P seyn; wä-
re aber G = P, so ist U = [Formel 21] U', d. h. wenn ein Balken mit der Last P gleichför-
mig auf seiner ganzen Länge beschwert wird, so ist seine Biegung in der
Mitte eben so gross, als wenn nur fünf Achtel derselben Last P auf die Mit-
te gelegt werden.
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[363/0393] Biegung gleichförmig belasteter Balken. seiner ganzen Länge gleichförmig beschwerter Balken sich in der Mitte eben so viel biegt, als wenn bloss fünf Achtel derselben Last auf die Mitte gelegt werden. *) *) [FORMEL], wo keine beständige Grösse beizusetzen ist, weil y und w zugleich verschwinden. Nun ist Sin w = [FORMEL]; weil aber die Biegung sehr klein, folglich s = y angenommen wird, so ist auch d s = d y und Sin w = [FORMEL]. Wird dieser Werth in vorstehende Gleichung ge- setzt, so ist [FORMEL] und integrirt [FORMEL], wo abermals keine beständige Grösse beizusetzen ist, weil u und y auch mit einander verschwinden. Da in dieser Gleichung die erste Potenz von u durch die vierte Potenz von y ausgedrückt ist, so folgt, dass zwischen u und y eine parabolische Gleichung des vierten Grades statt findet. Setzen wir in der vorigen Gleichung y = A B = E und die Biegung des Balkens in der Mitte u = B D = U, so haben wir [FORMEL] oder [FORMEL], und da E = [FORMEL] ist, so folgt [FORMEL]. Nehmen wir im Gegentheile an, dass derselbe Balken bloss in seiner Mitte B mit der Last G beschwert wird, so drückt auf ein jedes Ende A und C die Last [FORMEL]; wir haben also [FORMEL]. Nun ist A J = E — y und r = [FORMEL], folglich [FORMEL] und integrirt [FORMEL]. Setzen wir wieder Sin w = [FORMEL] und integri- ren, so ist [FORMEL]. Da hier u' in der ersten und y in der dritten Potenz vorkommt, so wird die krumme Linie des Balkens durch eine parabolische Glei- chung des dritten Grades ausgedrückt. Wird y = E = [FORMEL] und u' = U' gesetzt, so ist [FORMEL]. Werden die Gleichungen I und II durch einander dividirt, so ist [FORMEL]. Sollen nun die Biegungen der Balken in der Mitte einander gleich, oder U = U' seyn, so muss G = [FORMEL] P seyn; wä- re aber G = P, so ist U = [FORMEL] U', d. h. wenn ein Balken mit der Last P gleichför- mig auf seiner ganzen Länge beschwert wird, so ist seine Biegung in der Mitte eben so gross, als wenn nur fünf Achtel derselben Last P auf die Mit- te gelegt werden. 46 *

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 363. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/393>, abgerufen am 21.11.2024.