Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Rückwirkende Festigkeit der Körper. Diess Verhältniss findet auch bei runden Säulen statt. Nimmt man nun Erfahrungen Fig.
7. Tab. 16. [Formel 1] ; folglich, weil für die gerade Säule v = 0 gesetzt werden muss, so ist z = a . l = a . Arc . Sin [Formel 2] . Setzen wir nun die Höhe oder die Länge der ganzen Säule A C = l, so ist für den Punkt B die Grösse z = A E = [Formel 3] und y = B E = e, demnach Sin l = [Formel 4] = 1; folglich l = [Formel 5] , und wenn in die Gleichung z = a . l diese Werthe gesetzt werden, so ist [Formel 6] . Dieselbe Gleichung erhalten wir für den Punkt C, wo y = 0, l = p demnach, wegen z = a . l, auch l = a . p oder a = [Formel 7] wird. Oben haben wir die Grösse [Formel 8] gesetzt, demnach ist [Formel 9] , folglich ist die Last, welche die Säule ohne Biegung tragen kann [Formel 10] . Aus dieser Gleichung lässt sich die Last bestimmen, die eine Säule zu tragen vermag, wenn für einen Stab von derselben Materie die Querschnittsfläche B. H und das Verhältniss der Ausdeh- nung zur Länge [Formel 11] , welche durch das Gewicht Q bewirkt worden, gegeben ist. Auch sehen wir, dass in jedem Falle die Last, welche eine Säule trägt, der Fläche b . h pro- portional ist, ingleichem, dass sie mit dem Verhältnisse [Formel 12] wächst, folglich eine Säule um so weniger tragen kann, je kleiner das Verhältniss [Formel 13] ist; endlich ist diese Last auch dem Verhältnisse [Formel 14] proportional. Wenn also Körper durch eine geringe Kraft stark ausgedehnt werden, so können sie nur sehr wenig tragen und sind zu Säulen nicht zu brauchen, wie diess z. B. bei elastischen Uhrfedern der Fall wäre. Beispiel. Bei dem versuchten Stabe von Tannenholz Nro. 11, war B = H = 1 Zoll, L = 37 1/6 Zoll und bei dem Gewichte von 100 Lb betrug der Tabelle zu Folge die Biegung bei vollkommener Ela- stieität [Formel 15] Linien. Demnach ergibt sich die Längenausdehnung a', welche durch ein gleiches Gewicht von 100 Lb bewirkt wird, durch Substitution in die Proportion S. 326, U : a' = [Formel 16] : H2, oder [Formel 17] , woraus [Formel 18] Linien folgt. Substituiren wir diese Werthe, so ist das Gewicht, welches eine prismatische Säule von gleichem Tannenholze mit der Querschnittsfläche b, h, Breite h und Höhe l tragen kann [Formel 19] , wo b, h und l in Zollen substituirt werden müssen, um p in Pfunden zu erhalten. Bezeichne b . h und . die Querschnittsflächen, h, die Dimensionen, welche der Biegung un- terliegen, und l, die Längen, dann p, die aufgelegten Gewichte, so folgt aus der gefundenen Glei- chung für die Last, welche Säulen ohne Biegung tragen können, die Proportion [Formel 20] . Da bei der Berechnung der Tragungsfähigkeit runder Säulen in der obigen Gleichung nur der Coefficient 12 im Nenner geändert wird, so findet diese Proportion auch bei runden Säulen statt. Rückwirkende Festigkeit der Körper. Diess Verhältniss findet auch bei runden Säulen statt. Nimmt man nun Erfahrungen Fig.
7. Tab. 16. [Formel 1] ; folglich, weil für die gerade Säule v = 0 gesetzt werden muss, so ist z = a . λ = a . Arc . Sin [Formel 2] . Setzen wir nun die Höhe oder die Länge der ganzen Säule A C = l, so ist für den Punkt B die Grösse z = A E = [Formel 3] und y = B E = e, demnach Sin λ = [Formel 4] = 1; folglich λ = [Formel 5] , und wenn in die Gleichung z = a . λ diese Werthe gesetzt werden, so ist [Formel 6] . Dieselbe Gleichung erhalten wir für den Punkt C, wo y = 0, λ = π demnach, wegen z = a . λ, auch l = a . π oder a = [Formel 7] wird. Oben haben wir die Grösse [Formel 8] gesetzt, demnach ist [Formel 9] , folglich ist die Last, welche die Säule ohne Biegung tragen kann [Formel 10] . Aus dieser Gleichung lässt sich die Last bestimmen, die eine Säule zu tragen vermag, wenn für einen Stab von derselben Materie die Querschnittsfläche B. H und das Verhältniss der Ausdeh- nung zur Länge [Formel 11] , welche durch das Gewicht Q bewirkt worden, gegeben ist. Auch sehen wir, dass in jedem Falle die Last, welche eine Säule trägt, der Fläche b . h pro- portional ist, ingleichem, dass sie mit dem Verhältnisse [Formel 12] wächst, folglich eine Säule um so weniger tragen kann, je kleiner das Verhältniss [Formel 13] ist; endlich ist diese Last auch dem Verhältnisse [Formel 14] proportional. Wenn also Körper durch eine geringe Kraft stark ausgedehnt werden, so können sie nur sehr wenig tragen und sind zu Säulen nicht zu brauchen, wie diess z. B. bei elastischen Uhrfedern der Fall wäre. Beispiel. Bei dem versuchten Stabe von Tannenholz Nro. 11, war B = H = 1 Zoll, L = 37⅙ Zoll und bei dem Gewichte von 100 ℔ betrug der Tabelle zu Folge die Biegung bei vollkommener Ela- stieität [Formel 15] Linien. Demnach ergibt sich die Längenausdehnung α', welche durch ein gleiches Gewicht von 100 ℔ bewirkt wird, durch Substitution in die Proportion S. 326, U : α' = [Formel 16] : H2, oder [Formel 17] , woraus [Formel 18] Linien folgt. Substituiren wir diese Werthe, so ist das Gewicht, welches eine prismatische Säule von gleichem Tannenholze mit der Querschnittsfläche b, h, Breite h und Höhe l tragen kann [Formel 19] , wo b, h und l in Zollen substituirt werden müssen, um p in Pfunden zu erhalten. Bezeichne b . h und 𝔅 . ℌ die Querschnittsflächen, h, ℌ die Dimensionen, welche der Biegung un- terliegen, und l, 𝔏 die Längen, dann p, 𝔓 die aufgelegten Gewichte, so folgt aus der gefundenen Glei- chung für die Last, welche Säulen ohne Biegung tragen können, die Proportion [Formel 20] . Da bei der Berechnung der Tragungsfähigkeit runder Säulen in der obigen Gleichung nur der Coefficient 12 im Nenner geändert wird, so findet diese Proportion auch bei runden Säulen statt. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <div n="4"> <pb facs="#f0400" n="370"/> <fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Rückwirkende Festigkeit der Körper</hi>.</fw><lb/> <p>Diess Verhältniss findet auch bei runden Säulen statt. 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Rückwirkende Festigkeit der Körper.
Diess Verhältniss findet auch bei runden Säulen statt. Nimmt man nun Erfahrungen
von solchen Säulen an, die durch viele Jahre bedeutende Lasten ohne Aenderung getra-
gen haben, so kann man aus dieser Proportion auch für jede andere Säule, deren Maasse
gegeben sind, das Gewicht finden, welches man derselben auflegen kann.
*)
*) [FORMEL]; folglich, weil für die gerade Säule v = 0 gesetzt werden muss, so ist
z = a . λ = a . Arc . Sin [FORMEL]. Setzen wir nun die Höhe oder die Länge der ganzen Säule A C = l,
so ist für den Punkt B die Grösse z = A E = [FORMEL] und y = B E = e, demnach Sin λ = [FORMEL] = 1;
folglich λ = [FORMEL], und wenn in die Gleichung z = a . λ diese Werthe gesetzt werden, so ist
[FORMEL]. Dieselbe Gleichung erhalten wir für den Punkt C, wo y = 0, λ = π
demnach, wegen z = a . λ, auch l = a . π oder a = [FORMEL] wird.
Oben haben wir die Grösse [FORMEL] gesetzt, demnach ist [FORMEL],
folglich ist die Last, welche die Säule ohne Biegung tragen kann
[FORMEL].
Aus dieser Gleichung lässt sich die Last bestimmen, die eine Säule zu tragen vermag, wenn
für einen Stab von derselben Materie die Querschnittsfläche B. H und das Verhältniss der Ausdeh-
nung zur Länge [FORMEL], welche durch das Gewicht Q bewirkt worden, gegeben ist.
Auch sehen wir, dass in jedem Falle die Last, welche eine Säule trägt, der Fläche b . h pro-
portional ist, ingleichem, dass sie mit dem Verhältnisse [FORMEL] wächst, folglich eine Säule um so
weniger tragen kann, je kleiner das Verhältniss [FORMEL] ist; endlich ist diese Last auch dem Verhältnisse [FORMEL]
proportional. Wenn also Körper durch eine geringe Kraft stark ausgedehnt werden, so können sie nur
sehr wenig tragen und sind zu Säulen nicht zu brauchen, wie diess z. B. bei elastischen Uhrfedern
der Fall wäre.
Beispiel. Bei dem versuchten Stabe von Tannenholz Nro. 11, war B = H = 1 Zoll, L = 37⅙ Zoll
und bei dem Gewichte von 100 ℔ betrug der Tabelle zu Folge die Biegung bei vollkommener Ela-
stieität [FORMEL] Linien. Demnach ergibt sich die Längenausdehnung α', welche durch ein gleiches
Gewicht von 100 ℔ bewirkt wird, durch Substitution in die Proportion S. 326, U : α' = [FORMEL] : H2, oder
[FORMEL], woraus [FORMEL] Linien folgt.
Substituiren wir diese Werthe, so ist das Gewicht, welches eine prismatische Säule von gleichem
Tannenholze mit der Querschnittsfläche b, h, Breite h und Höhe l tragen kann
[FORMEL], wo b, h und l in Zollen
substituirt werden müssen, um p in Pfunden zu erhalten.
Bezeichne b . h und 𝔅 . ℌ die Querschnittsflächen, h, ℌ die Dimensionen, welche der Biegung un-
terliegen, und l, 𝔏 die Längen, dann p, 𝔓 die aufgelegten Gewichte, so folgt aus der gefundenen Glei-
chung für die Last, welche Säulen ohne Biegung tragen können, die Proportion
[FORMEL]. Da bei der Berechnung der Tragungsfähigkeit runder Säulen
in der obigen Gleichung nur der Coefficient 12 im Nenner geändert wird, so findet diese Proportion auch bei
runden Säulen statt.
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