Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Widerstand der Körper gegen Drehung. äussern Rades J T mit der dritten Potenz des Halbmessers A des Cylinders und mit dem beider Drehung beschriebenen Bogen a im geraden, mit der Länge l des Cylinders aber im um- wir nun für den ganzen Cylinder r = A setzen, so ergibt sich die Gleichung für die drehende KraftFig.
9. Tab. 16. P nun Spannkraft aller Fasern des Cylinders [Formel 1] . Diese Gleichung enthält blos das Moment der Ausdehnung der Fasern des Cylinders. Weil aber die Ausdehnung auch eine Zusammendrückung der innern Theile der Welle veranlasst und so, wie wir bei der Biegung der Balken gesehen haben, sich auf ein gleiches Rückwirkungsmoment stützt, und auch von der am Rade der Welle angebrachten Kraft gewältigt werden muss, so ist in dieser Hinsicht [Formel 2] . Vergleichen wir daher diesen Cylin- der mit einem andern von derselben Materie, so fällt der gemeinschaftliche Faktor [Formel 3] p weg, und es verhalten sich die Momente der drehenden Kräfte B . P : B' . P', wie die Produkte aus den Würfeln der Halbmesser A der Cylinder in die Räume a, um welche das eine Ende des Cylinders mehr als das andere gedreht worden, und umgekehrt in die Längen dieser Cylinder. Wenn das Drehungsmoment für einen hohlen Cylinder oder eine Röhre gesucht wird, so sey derFig. 10. Tab. 16. Halbmesser des äussern Umfangs der Röhre = R, des innern Umfanges = r, so ist nach der vo- rigen Gleichung [Formel 4] . In diesem Ausdrucke ist p (R2 -- r2) die Querschnittsfläche der Röhre. Wollten wir diese dem obigen p . r2 gleich setzen, so wird R2 = 2 r2, und wir erhalten für die Röhre, deren äusserer Halbmesser [Formel 5] ist, das Moment [Formel 6] ; da diess dreimal so gross ist, als das vorige Moment, so ergibt sich, dass eine hohle Röhre, die eben so viel Masse (kubischen Inhalt), wie ein solider Cylinder hat, einen dreimal so grossen Widerstand gegen Drehung leiste. Bei dieser hohlen Röhre muss aber r = A seyn, d. h. der Halbmesser r im Lichten der hoh- len Röhre muss eben so gross, als der äussere Halbmesser A des soliden Cylinders seyn. Die obige Gleichung [Formel 7] lässt sich noch in folgende Propor- tion auflösen [Formel 8] . Hierin ist [Formel 9] die dre- hende Kraft auf den Halbmesser des Cylinders reduzirt; es verhält sich also die Kraft Q zu dem Produkte der zugehörigen Querschnittsfläche in das Verhältniss der Ausdehnung zur ausge- dehnten Länge, wie die reduzirte Kraft [Formel 10] zur Querschnittsfläche des Cylinders p . A2, multiplizirt mit dem Verhältnisse der Ausdehnung a zur zugehörigen Länge l. Diese Proportion ist der §. 238 aufgestellten vollkommen ähnlich und hätte selbst ohne die vorangeführte Berechnung angenommen werden können. Da die Verdrehung der Wellen gewöhnlich durch Grade gemessen wird, so wollen wir die obige Gleichung [Formel 11] zu diesem Gebrauche einrichten. Die Peripherie der Welle ist offenbar = 2 p . A; wenn diese in 360 Grade eingetheilt wird und G die Anzahl Grade vorstellt, welche der Bogenlänge a entsprechen, so haben wir die Proportion 2 p . A : 360 = a : G, woraus [Formel 12] . Wird dieser Werth in die obige Gleichung gesetzt, so ist [Formel 13] . Wenn wir demnach zwei Wellen mit einander vergleichen, und statt des Halbmessers A den Durchmesser D einführen, und eben so den Durchmesser der zweiten Welle d nennen, so ist [Formel 14] . Widerstand der Körper gegen Drehung. äussern Rades J T mit der dritten Potenz des Halbmessers A des Cylinders und mit dem beider Drehung beschriebenen Bogen a im geraden, mit der Länge l des Cylinders aber im um- wir nun für den ganzen Cylinder r = A setzen, so ergibt sich die Gleichung für die drehende KraftFig.
9. Tab. 16. P nun Spannkraft aller Fasern des Cylinders [Formel 1] . Diese Gleichung enthält blos das Moment der Ausdehnung der Fasern des Cylinders. Weil aber die Ausdehnung auch eine Zusammendrückung der innern Theile der Welle veranlasst und so, wie wir bei der Biegung der Balken gesehen haben, sich auf ein gleiches Rückwirkungsmoment stützt, und auch von der am Rade der Welle angebrachten Kraft gewältigt werden muss, so ist in dieser Hinsicht [Formel 2] . Vergleichen wir daher diesen Cylin- der mit einem andern von derselben Materie, so fällt der gemeinschaftliche Faktor [Formel 3] π weg, und es verhalten sich die Momente der drehenden Kräfte B . P : B' . P', wie die Produkte aus den Würfeln der Halbmesser A der Cylinder in die Räume a, um welche das eine Ende des Cylinders mehr als das andere gedreht worden, und umgekehrt in die Längen dieser Cylinder. Wenn das Drehungsmoment für einen hohlen Cylinder oder eine Röhre gesucht wird, so sey derFig. 10. Tab. 16. Halbmesser des äussern Umfangs der Röhre = R, des innern Umfanges = r, so ist nach der vo- rigen Gleichung [Formel 4] . In diesem Ausdrucke ist π (R2 — r2) die Querschnittsfläche der Röhre. Wollten wir diese dem obigen π . r2 gleich setzen, so wird R2 = 2 r2, und wir erhalten für die Röhre, deren äusserer Halbmesser [Formel 5] ist, das Moment [Formel 6] ; da diess dreimal so gross ist, als das vorige Moment, so ergibt sich, dass eine hohle Röhre, die eben so viel Masse (kubischen Inhalt), wie ein solider Cylinder hat, einen dreimal so grossen Widerstand gegen Drehung leiste. Bei dieser hohlen Röhre muss aber r = A seyn, d. h. der Halbmesser r im Lichten der hoh- len Röhre muss eben so gross, als der äussere Halbmesser A des soliden Cylinders seyn. Die obige Gleichung [Formel 7] lässt sich noch in folgende Propor- tion auflösen [Formel 8] . Hierin ist [Formel 9] die dre- hende Kraft auf den Halbmesser des Cylinders reduzirt; es verhält sich also die Kraft Q zu dem Produkte der zugehörigen Querschnittsfläche in das Verhältniss der Ausdehnung zur ausge- dehnten Länge, wie die reduzirte Kraft [Formel 10] zur Querschnittsfläche des Cylinders π . A2, multiplizirt mit dem Verhältnisse der Ausdehnung a zur zugehörigen Länge l. Diese Proportion ist der §. 238 aufgestellten vollkommen ähnlich und hätte selbst ohne die vorangeführte Berechnung angenommen werden können. Da die Verdrehung der Wellen gewöhnlich durch Grade gemessen wird, so wollen wir die obige Gleichung [Formel 11] zu diesem Gebrauche einrichten. Die Peripherie der Welle ist offenbar = 2 π . A; wenn diese in 360 Grade eingetheilt wird und G die Anzahl Grade vorstellt, welche der Bogenlänge a entsprechen, so haben wir die Proportion 2 π . A : 360 = a : G, woraus [Formel 12] . Wird dieser Werth in die obige Gleichung gesetzt, so ist [Formel 13] . Wenn wir demnach zwei Wellen mit einander vergleichen, und statt des Halbmessers A den Durchmesser D einführen, und eben so den Durchmesser der zweiten Welle d nennen, so ist [Formel 14] . <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <div n="4"> <p><pb facs="#f0405" n="375"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Widerstand der Körper gegen Drehung</hi>.</fw><lb/> äussern Rades J T mit der dritten Potenz des Halbmessers A des Cylinders und mit dem bei<lb/> der Drehung beschriebenen Bogen a im geraden, mit der Länge l des Cylinders aber im um-<lb/><note xml:id="note-0405" prev="#note-0404" place="foot" n="*)">wir nun für den ganzen Cylinder r = A setzen, so ergibt sich die Gleichung für die drehende Kraft<note place="right">Fig.<lb/> 9.<lb/> Tab.<lb/> 16.</note><lb/> P nun Spannkraft aller Fasern des Cylinders <formula/>. Diese Gleichung<lb/> enthält blos das Moment der Ausdehnung der Fasern des Cylinders. 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Widerstand der Körper gegen Drehung.
äussern Rades J T mit der dritten Potenz des Halbmessers A des Cylinders und mit dem bei
der Drehung beschriebenen Bogen a im geraden, mit der Länge l des Cylinders aber im um-
*)
*) wir nun für den ganzen Cylinder r = A setzen, so ergibt sich die Gleichung für die drehende Kraft
P nun Spannkraft aller Fasern des Cylinders [FORMEL]. Diese Gleichung
enthält blos das Moment der Ausdehnung der Fasern des Cylinders. Weil aber die Ausdehnung
auch eine Zusammendrückung der innern Theile der Welle veranlasst und so, wie wir bei der
Biegung der Balken gesehen haben, sich auf ein gleiches Rückwirkungsmoment stützt, und auch von
der am Rade der Welle angebrachten Kraft gewältigt werden muss, so ist in dieser Hinsicht
[FORMEL]. Vergleichen wir daher diesen Cylin-
der mit einem andern von derselben Materie, so fällt der gemeinschaftliche Faktor [FORMEL] π weg,
und es verhalten sich die Momente der drehenden Kräfte B . P : B' . P', wie die Produkte aus den
Würfeln der Halbmesser A der Cylinder in die Räume a, um welche das eine Ende des Cylinders mehr
als das andere gedreht worden, und umgekehrt in die Längen dieser Cylinder.
Wenn das Drehungsmoment für einen hohlen Cylinder oder eine Röhre gesucht wird, so sey der
Halbmesser des äussern Umfangs der Röhre = R, des innern Umfanges = r, so ist nach der vo-
rigen Gleichung [FORMEL]. In diesem
Ausdrucke ist π (R2 — r2) die Querschnittsfläche der Röhre. Wollten wir diese dem obigen π . r2 gleich
setzen, so wird R2 = 2 r2, und wir erhalten für die Röhre, deren äusserer Halbmesser [FORMEL]
ist, das Moment [FORMEL]; da diess dreimal so gross ist, als das vorige
Moment, so ergibt sich, dass eine hohle Röhre, die eben so viel Masse (kubischen
Inhalt), wie ein solider Cylinder hat, einen dreimal so grossen Widerstand
gegen Drehung leiste.
Bei dieser hohlen Röhre muss aber r = A seyn, d. h. der Halbmesser r im Lichten der hoh-
len Röhre muss eben so gross, als der äussere Halbmesser A des soliden Cylinders seyn.
Die obige Gleichung [FORMEL] lässt sich noch in folgende Propor-
tion auflösen [FORMEL]. Hierin ist [FORMEL] die dre-
hende Kraft auf den Halbmesser des Cylinders reduzirt; es verhält sich also die Kraft Q zu
dem Produkte der zugehörigen Querschnittsfläche in das Verhältniss der Ausdehnung zur ausge-
dehnten Länge, wie die reduzirte Kraft [FORMEL] zur Querschnittsfläche des Cylinders π . A2, multiplizirt
mit dem Verhältnisse der Ausdehnung a zur zugehörigen Länge l. Diese Proportion ist der §. 238
aufgestellten vollkommen ähnlich und hätte selbst ohne die vorangeführte Berechnung angenommen
werden können.
Da die Verdrehung der Wellen gewöhnlich durch Grade gemessen wird, so wollen wir die obige
Gleichung [FORMEL] zu diesem Gebrauche einrichten. Die Peripherie der
Welle ist offenbar = 2 π . A; wenn diese in 360 Grade eingetheilt wird und G die Anzahl Grade
vorstellt, welche der Bogenlänge a entsprechen, so haben wir die Proportion 2 π . A : 360 = a : G,
woraus [FORMEL]. Wird dieser Werth in die obige Gleichung gesetzt, so ist
[FORMEL]. Wenn wir demnach zwei Wellen mit einander vergleichen, und
statt des Halbmessers A den Durchmesser D einführen, und eben so den Durchmesser der zweiten
Welle d nennen, so ist [FORMEL].
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