Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Widerstand der Körper gegen Drehung. gekehrten Verhältnisse steht. Gebraucht man aber hohle Röhren, die eben so vielMasse (kubischen Inhalt) wie ein solider Cylinder haben, so ist der Widerstand, welchen sie gegen die Drehung leisten, dreimal so gross. Bezeichnen wir die Kräfte, welche die Drehung zweier Wellen an den Peripherien §. 340. Quadratförmige Schafte, deren man sich auch häufig in der Ausübung bedient, *) Fig.
11. Tab. 16.Der Widerstand, den quadratförmige Schafte gegen Drehung leisten, ergibt sich aus der vorigen Berechnung. Nach derselben ist das Drehungsmoment für den, in ein Quadrat ein- geschriebenen Cylinder [Formel 2] , wo A den Halbmesser des Cylinders, a die Grösse der Drehung in der Drehungsfläche der Kraft an der Oberfläche des Cylinders gemessen, und l die Länge des Cylinders bezeichnet. Zu diesem Momente kommen nun noch die Drehungsmomente der vier rechtwinkeligen Ansätze J E G zu addiren. Um das Drehungsmoment eines solchen Ansatzes zu finden, ziehen wir auf der willkührlichen Entfernung C B den Bogen d B d' und hiezu die Tangente D B D'. Setzen wir die Linie E B = x, so ist D B D' = 2 x. Setzen wir den Winkel d C B = 2 l, so sind in dem Dreiecke d C E die Winkel und eine Seite gegeben. Ist nun C E = E, so haben wir C d : C E = Sin 45 : Sin (45 + 2 l) oder E -- x : E = Sin 45 : Sin (45 + 2 l), woraus Sin (45 + 2 l) = [Formel 3] = Sin 45 . Cos 2 l + Sin 2 l . Cos 45, oder [Formel 4] = Sin 2 l + Cos 2 l = 2 Sin l . Cos l + 1 -- 2 Sin2 l, oder [Formel 5] = Sin l . Cos l -- Sin2 l = Sin l -- Sin2 l -- [Formel 6] . Da 2 l kleiner als 45 Grad ist, demnach l in jedem Falle kleiner als 22,5 Grad seyn muss, so ist Sin l ein so kleiner Bruch, dass die höhern Potenzen, welche die dritte übersteigen, ohne An- stand vernachlässigt werden können. Mit Rücksicht auf diese Bemerkung gibt die bekannte Umkehrung der Reihen [Formel 7] . Es ist daher die Länge des Bogens B d = [Formel 8] und der ganze Bogen [Formel 9] . Wir haben im vorigen §. für das Drehungsmoment die Differenzialgleichung [Formel 10] gefunden; wird diese Gleichung hier angewendet, so ist 2 p . r = der Länge des Bogens d B d', ferner d r = d x und r2 = C B2 = (E -- x)2. Werden Widerstand der Körper gegen Drehung. gekehrten Verhältnisse steht. Gebraucht man aber hohle Röhren, die eben so vielMasse (kubischen Inhalt) wie ein solider Cylinder haben, so ist der Widerstand, welchen sie gegen die Drehung leisten, dreimal so gross. Bezeichnen wir die Kräfte, welche die Drehung zweier Wellen an den Peripherien §. 340. Quadratförmige Schafte, deren man sich auch häufig in der Ausübung bedient, *) Fig.
11. Tab. 16.Der Widerstand, den quadratförmige Schafte gegen Drehung leisten, ergibt sich aus der vorigen Berechnung. Nach derselben ist das Drehungsmoment für den, in ein Quadrat ein- geschriebenen Cylinder [Formel 2] , wo A den Halbmesser des Cylinders, a die Grösse der Drehung in der Drehungsfläche der Kraft an der Oberfläche des Cylinders gemessen, und l die Länge des Cylinders bezeichnet. Zu diesem Momente kommen nun noch die Drehungsmomente der vier rechtwinkeligen Ansätze J E G zu addiren. Um das Drehungsmoment eines solchen Ansatzes zu finden, ziehen wir auf der willkührlichen Entfernung C B den Bogen d B d' und hiezu die Tangente D B D'. Setzen wir die Linie E B = x, so ist D B D' = 2 x. Setzen wir den Winkel d C B = 2 λ, so sind in dem Dreiecke d C E die Winkel und eine Seite gegeben. Ist nun C E = E, so haben wir C d : C E = Sin 45 : Sin (45 + 2 λ) oder E — x : E = Sin 45 : Sin (45 + 2 λ), woraus Sin (45 + 2 λ) = [Formel 3] = Sin 45 . Cos 2 λ + Sin 2 λ . Cos 45, oder [Formel 4] = Sin 2 λ + Cos 2 λ = 2 Sin λ . Cos λ + 1 — 2 Sin2 λ, oder [Formel 5] = Sin λ . Cos λ — Sin2 λ = Sin λ — Sin2 λ — [Formel 6] . Da 2 λ kleiner als 45 Grad ist, demnach λ in jedem Falle kleiner als 22,5 Grad seyn muss, so ist Sin λ ein so kleiner Bruch, dass die höhern Potenzen, welche die dritte übersteigen, ohne An- stand vernachlässigt werden können. Mit Rücksicht auf diese Bemerkung gibt die bekannte Umkehrung der Reihen [Formel 7] . Es ist daher die Länge des Bogens B d = [Formel 8] und der ganze Bogen [Formel 9] . Wir haben im vorigen §. für das Drehungsmoment die Differenzialgleichung [Formel 10] gefunden; wird diese Gleichung hier angewendet, so ist 2 π . r = der Länge des Bogens d B d', ferner d r = d x und r2 = C B2 = (E — x)2. 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Widerstand der Körper gegen Drehung.
gekehrten Verhältnisse steht. Gebraucht man aber hohle Röhren, die eben so viel
Masse (kubischen Inhalt) wie ein solider Cylinder haben, so ist der Widerstand, welchen
sie gegen die Drehung leisten, dreimal so gross.
Bezeichnen wir die Kräfte, welche die Drehung zweier Wellen an den Peripherien
der Räder bewirken mit P, p (z. B. der Stoss des Wassers an dem Umfange eines Mühl-
rades), die Halbmesser dieser Räder mit B und b, die Durchmesser der Wellen mit
D und d, die Längen derselben mit L und l, endlich die Anzahl Grade, um welche die
Wellen der Länge nach gedreht werden, mit G und g, so ist den unten angeführten Be-
rechnungen zu Folge [FORMEL]. Diese Proportion findet jedoch
nur bei vollkommener Elasticität der Wellen, wobei also keine bleibende Drehung der-
selben eintritt, statt.
§. 340.
Quadratförmige Schafte, deren man sich auch häufig in der Ausübung bedient,
unterliegen gleichen Gesetzen, wie die cylindrischen *). Bezeichnen wir abermals die
*) Der Widerstand, den quadratförmige Schafte gegen Drehung leisten, ergibt sich aus
der vorigen Berechnung. Nach derselben ist das Drehungsmoment für den, in ein Quadrat ein-
geschriebenen Cylinder [FORMEL], wo A den Halbmesser des Cylinders, a die Grösse
der Drehung in der Drehungsfläche der Kraft an der Oberfläche des Cylinders gemessen, und l die
Länge des Cylinders bezeichnet. Zu diesem Momente kommen nun noch die Drehungsmomente der
vier rechtwinkeligen Ansätze J E G zu addiren.
Um das Drehungsmoment eines solchen Ansatzes zu finden, ziehen wir auf der willkührlichen
Entfernung C B den Bogen d B d' und hiezu die Tangente D B D'. Setzen wir die Linie E B = x, so
ist D B D' = 2 x. Setzen wir den Winkel d C B = 2 λ, so sind in dem Dreiecke d C E die Winkel
und eine Seite gegeben. Ist nun C E = E, so haben wir C d : C E = Sin 45 : Sin (45 + 2 λ)
oder E — x : E = Sin 45 : Sin (45 + 2 λ), woraus
Sin (45 + 2 λ) = [FORMEL] = Sin 45 . Cos 2 λ + Sin 2 λ . Cos 45, oder
[FORMEL] = Sin 2 λ + Cos 2 λ = 2 Sin λ . Cos λ + 1 — 2 Sin2 λ, oder
[FORMEL] = Sin λ . Cos λ — Sin2 λ = Sin λ — Sin2 λ — [FORMEL].
Da 2 λ kleiner als 45 Grad ist, demnach λ in jedem Falle kleiner als 22,5 Grad seyn muss, so
ist Sin λ ein so kleiner Bruch, dass die höhern Potenzen, welche die dritte übersteigen, ohne An-
stand vernachlässigt werden können. Mit Rücksicht auf diese Bemerkung gibt die bekannte Umkehrung
der Reihen [FORMEL]. Es ist daher die Länge des Bogens
B d = [FORMEL] und der ganze Bogen
[FORMEL].
Wir haben im vorigen §. für das Drehungsmoment die Differenzialgleichung
[FORMEL] gefunden; wird diese Gleichung hier angewendet, so ist
2 π . r = der Länge des Bogens d B d', ferner d r = d x und r2 = C B2 = (E — x)2. Werden
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