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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Erforderliche Belastung für Kreisgewölbe.

Da diese beiden krummen Linien nicht die Eigenschaft besitzen, dass die Tangen-
ten ihrer Stellungswinkel den Gewichten der zu stützenden Gewölbsteine proportional
sind, so wird es nothwendig, diesen Gewölbsteinen solche Gewichte zu geben, oder sie
so zu beschweren, damit die Winkel, welche die gegebene Bogenlinie (der Kreis oder
die Elypse) an jedem Orte mit dem Horizonte macht, mit den zu stützenden Lasten in
das angemessene Verhältniss gesetzt und auf solche Art die Bogenlinie zu einer Stütz-
linie werde.

Fig.
7.
Tab.
18.kel A C M = v, so ist M P = a . Sin v, M G = a . Cos v, ferner mo = a . Cos v . d v; folglich
ist die Fläche M N n m, von welcher das Element M m belastet wird = z . a . Cos v . d v und daher
die ganze Fläche [Formel 1] z . a . d v . Cos v.
Nun muss diese Fläche der Tangente des Stellungswinkels M m o proportional seyn, wir können daher
[Formel 2] z . a . d v . Cos v : tang v = m . h : 1 setzen, woraus m . h . tang [Formel 3] z . a . d v . Cos v folgt.
Wird diese Gleichung differenzirt, so ist [Formel 4] = z . a . d v . Cos v, folglich [Formel 5] .
Nun ist der obigen Annahme gemäss im Scheitel z = h und Cos v = 1, demnach [Formel 6] , folg-
lich m = a, woraus die allgemeine Gleichung für die Belastung einer Kreislinie
[Formel 7] folgt.
Wird diese Gleichung in die Proportion z : h = 1 : Cos3 v = a3 : a3 . Cos3 v = A C3 : M G3 auf-
gelösst, so sehen wir, dass die Höhen A B = h und M N = z, womit ein jeder Punkt des Kreisge-
wölbes belastet werden muss, umgekehrt den dritten Potenzen der Cosinusse der Stellungswinkel,
oder umgekehrt den dritten Potenzen der Höhen der Punkte A, M über der Horizontallinie D E
proportional sind.
Hieraus folgt weiter, dass für die Punkte D und E, wo die Bögen auf dem Durchmesser win-
kelrecht stehen, demnach v = 90 Grad und Cos v = 0 ist, die Höhe der Belastung unend-
lich gross seyn müsste. Nimmt man überhaupt für den Stellungswinkel v die Werthe 0, 10, 20,
30, .... Grade an, und berechnet hiezu die Höhen z der entsprechenden Belastung, so ergeben sich
folgende Werthe:
[Tabelle]
Da die krumme Linie B N R F dieser Höhen von der Mitte A B des Gewölbes nach beiden Seiten ab-
wärts und dann wieder sehr schnell in die Höhe steigt, so lassen sich noch die niedrigsten Punkte
R, R' auf beiden Seiten durch Rechnung bestimmen. Die Höhe G N ist offenbar
[Formel 8] . Wird der Differenzialkoefficient dieser Funktion, nämlich
-- a . Sin [Formel 9] gesetzt, so gibt der gemeinschaftliche Faktor Sin v = 0 offenbar
die grösste Höhe bei B, nämlich C B = a + h, und der zweite Faktor -- [Formel 10] ,
gibt Cos [Formel 11] , demnach die zugehörige Höhe [Formel 12] . Setzen wir die
Gewölbstärke h im Scheitel dem 24sten Theil der Spannweite (2 a) gleich oder [Formel 13] , so ist
Cos [Formel 14] Hieraus ersehen wir, dass für jedes freie Tonnengewölbe der Kreis-
bogen nur bis zum Winkel von v = 45 Grad eine Stützlinie abgeben könne; der weitere Bogen
würde nämlich eine zu hohe Belastung erfordern, wozu in den obersten Stockwerken, wo solche
freie Gewölbe angewendet werden können, der nöthige Raum bis an die Bundtrame des Daches
nicht zureicht.
Erforderliche Belastung für Kreisgewölbe.

Da diese beiden krummen Linien nicht die Eigenschaft besitzen, dass die Tangen-
ten ihrer Stellungswinkel den Gewichten der zu stützenden Gewölbsteine proportional
sind, so wird es nothwendig, diesen Gewölbsteinen solche Gewichte zu geben, oder sie
so zu beschweren, damit die Winkel, welche die gegebene Bogenlinie (der Kreis oder
die Elypse) an jedem Orte mit dem Horizonte macht, mit den zu stützenden Lasten in
das angemessene Verhältniss gesetzt und auf solche Art die Bogenlinie zu einer Stütz-
linie werde.

Fig.
7.
Tab.
18.kel A C M = v, so ist M P = a . Sin v, M G = a . Cos v, ferner mo = a . Cos v . d v; folglich
ist die Fläche M N n m, von welcher das Element M m belastet wird = z . a . Cos v . d v und daher
die ganze Fläche [Formel 1] z . a . d v . Cos v.
Nun muss diese Fläche der Tangente des Stellungswinkels M m o proportional seyn, wir können daher
[Formel 2] z . a . d v . Cos v : tang v = m . h : 1 setzen, woraus m . h . tang [Formel 3] z . a . d v . Cos v folgt.
Wird diese Gleichung differenzirt, so ist [Formel 4] = z . a . d v . Cos v, folglich [Formel 5] .
Nun ist der obigen Annahme gemäss im Scheitel z = h und Cos v = 1, demnach [Formel 6] , folg-
lich m = a, woraus die allgemeine Gleichung für die Belastung einer Kreislinie
[Formel 7] folgt.
Wird diese Gleichung in die Proportion z : h = 1 : Cos3 v = a3 : a3 . Cos3 v = A C3 : M G3 auf-
gelösst, so sehen wir, dass die Höhen A B = h und M N = z, womit ein jeder Punkt des Kreisge-
wölbes belastet werden muss, umgekehrt den dritten Potenzen der Cosinusse der Stellungswinkel,
oder umgekehrt den dritten Potenzen der Höhen der Punkte A, M über der Horizontallinie D E
proportional sind.
Hieraus folgt weiter, dass für die Punkte D und E, wo die Bögen auf dem Durchmesser win-
kelrecht stehen, demnach v = 90 Grad und Cos v = 0 ist, die Höhe der Belastung unend-
lich gross seyn müsste. Nimmt man überhaupt für den Stellungswinkel v die Werthe 0, 10, 20,
30, .... Grade an, und berechnet hiezu die Höhen z der entsprechenden Belastung, so ergeben sich
folgende Werthe:
[Tabelle]
Da die krumme Linie B N R F dieser Höhen von der Mitte A B des Gewölbes nach beiden Seiten ab-
wärts und dann wieder sehr schnell in die Höhe steigt, so lassen sich noch die niedrigsten Punkte
R, R' auf beiden Seiten durch Rechnung bestimmen. Die Höhe G N ist offenbar
[Formel 8] . Wird der Differenzialkoefficient dieser Funktion, nämlich
— a . Sin [Formel 9] gesetzt, so gibt der gemeinschaftliche Faktor Sin v = 0 offenbar
die grösste Höhe bei B, nämlich C B = a + h, und der zweite Faktor — [Formel 10] ,
gibt Cos [Formel 11] , demnach die zugehörige Höhe [Formel 12] . Setzen wir die
Gewölbstärke h im Scheitel dem 24sten Theil der Spannweite (2 a) gleich oder [Formel 13] , so ist
Cos [Formel 14] Hieraus ersehen wir, dass für jedes freie Tonnengewölbe der Kreis-
bogen nur bis zum Winkel von v = 45 Grad eine Stützlinie abgeben könne; der weitere Bogen
würde nämlich eine zu hohe Belastung erfordern, wozu in den obersten Stockwerken, wo solche
freie Gewölbe angewendet werden können, der nöthige Raum bis an die Bundtrame des Daches
nicht zureicht.
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[414/0444] Erforderliche Belastung für Kreisgewölbe. Da diese beiden krummen Linien nicht die Eigenschaft besitzen, dass die Tangen- ten ihrer Stellungswinkel den Gewichten der zu stützenden Gewölbsteine proportional sind, so wird es nothwendig, diesen Gewölbsteinen solche Gewichte zu geben, oder sie so zu beschweren, damit die Winkel, welche die gegebene Bogenlinie (der Kreis oder die Elypse) an jedem Orte mit dem Horizonte macht, mit den zu stützenden Lasten in das angemessene Verhältniss gesetzt und auf solche Art die Bogenlinie zu einer Stütz- linie werde. *) *) kel A C M = v, so ist M P = a . Sin v, M G = a . Cos v, ferner mo = a . Cos v . d v; folglich ist die Fläche M N n m, von welcher das Element M m belastet wird = z . a . Cos v . d v und daher die ganze Fläche [FORMEL] z . a . d v . Cos v. Nun muss diese Fläche der Tangente des Stellungswinkels M m o proportional seyn, wir können daher [FORMEL] z . a . d v . Cos v : tang v = m . h : 1 setzen, woraus m . h . tang [FORMEL] z . a . d v . Cos v folgt. Wird diese Gleichung differenzirt, so ist [FORMEL] = z . a . d v . Cos v, folglich [FORMEL]. Nun ist der obigen Annahme gemäss im Scheitel z = h und Cos v = 1, demnach [FORMEL], folg- lich m = a, woraus die allgemeine Gleichung für die Belastung einer Kreislinie [FORMEL] folgt. Wird diese Gleichung in die Proportion z : h = 1 : Cos3 v = a3 : a3 . Cos3 v = A C3 : M G3 auf- gelösst, so sehen wir, dass die Höhen A B = h und M N = z, womit ein jeder Punkt des Kreisge- wölbes belastet werden muss, umgekehrt den dritten Potenzen der Cosinusse der Stellungswinkel, oder umgekehrt den dritten Potenzen der Höhen der Punkte A, M über der Horizontallinie D E proportional sind. Hieraus folgt weiter, dass für die Punkte D und E, wo die Bögen auf dem Durchmesser win- kelrecht stehen, demnach v = 90 Grad und Cos v = 0 ist, die Höhe der Belastung unend- lich gross seyn müsste. Nimmt man überhaupt für den Stellungswinkel v die Werthe 0, 10, 20, 30, .... Grade an, und berechnet hiezu die Höhen z der entsprechenden Belastung, so ergeben sich folgende Werthe: Da die krumme Linie B N R F dieser Höhen von der Mitte A B des Gewölbes nach beiden Seiten ab- wärts und dann wieder sehr schnell in die Höhe steigt, so lassen sich noch die niedrigsten Punkte R, R' auf beiden Seiten durch Rechnung bestimmen. Die Höhe G N ist offenbar [FORMEL]. Wird der Differenzialkoefficient dieser Funktion, nämlich — a . Sin [FORMEL] gesetzt, so gibt der gemeinschaftliche Faktor Sin v = 0 offenbar die grösste Höhe bei B, nämlich C B = a + h, und der zweite Faktor — [FORMEL], gibt Cos [FORMEL], demnach die zugehörige Höhe [FORMEL]. Setzen wir die Gewölbstärke h im Scheitel dem 24sten Theil der Spannweite (2 a) gleich oder [FORMEL], so ist Cos [FORMEL] Hieraus ersehen wir, dass für jedes freie Tonnengewölbe der Kreis- bogen nur bis zum Winkel von v = 45 Grad eine Stützlinie abgeben könne; der weitere Bogen würde nämlich eine zu hohe Belastung erfordern, wozu in den obersten Stockwerken, wo solche freie Gewölbe angewendet werden können, der nöthige Raum bis an die Bundtrame des Daches nicht zureicht.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 414. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/444>, abgerufen am 21.11.2024.