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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Reibung bei der schiefen Fläche.
P . Cos (a + w) = Q . Sin (a + v) und daher P = [Formel 1] . Aus dieser Glei-
chung sehen wir, dass die kleinste Zugkraft in dem Falle erfordert wird, wenn der Nen-
ner am grössten, demnach Cos (a + w) = 1 und daher a + w = 0 oder w = -- a ist,
d. h. der Zugwinkel w muss eben so gross als der Reibungswinkel a seyn, allein der
Zug muss aufwärts statt finden.

§. 468.

Bei den schiefen Flächen, für welche wir gewöhnlich die Zugkraft berechnen, ist
der Neigungswinkel v sehr klein, z. B. bei unsern Strassen, deren Steigung nicht über
4 Zoll auf die Klafter betragen darf, ist Sin v = 4/72 und daher v = 3° 11Min. 5Sec.. Der
Zugwinkel w ist ebenfalls in diesen Fällen unbedeutend, weil der Zug von der Richtung
der schiefen Fläche nicht viel abweicht. Endlich ist auch der Reibungswinkel bei den
meisten Strassen nicht sehr gross. Wir können demnach zur leichtern Berechnung der
Zugkraft auf unsern schiefen Flächen folgendes Verfahren anwenden:

Es sey Fig. 25 die gegebene schiefe Fläche A B C; man trage von A die Linie
Fig.
25.
Tab.
27.A D = m . b = m . B C winkelrecht auf, und verbinde D mit C, so hat man eine schiefe
Fläche D C B erhalten, bei welcher die Höhe h um m . b vermehrt ist, welche Vermeh-
rung gerade so viel als der Widerstand der Reibung beträgt. Es ist demnach eine gleich
grosse Kraft nöthig, wenn der Körper Q über die wirkliche schiefe Fläche A C mit Rei-
bung oder über die verzeichnete schiefe Fläche D C B ohne Reibung gezogen werden
soll. Da nun nach unserer Voraussetzung [Formel 2] klein ist, so kann man auch A C = B C = b
und A D = m . b = A E setzen; wir erhalten demnach P : Q = h + m . b : b, woraus
die Kraft, die zur Bewegung des Körpers über die schiefe Fläche erfordert wird
P = [Formel 3] = Q [Formel 4] folgt.

Beispiel. Es sey die Last Q = 100 Lb, [Formel 5] = 4/72 und m = 1/8 , so wäre die zur
Uiberwindung der schiefen Fläche und des Reibungswiderstandes nöthige Kraft
P = 100 (4/72 + 1/8 ) = 18,1 Lb, wogegen ohne Reibung bloss die Kraft von 5,6 Lb
erfordert wird.
§. 469.
Fig.
26.

Wir können nunmehr auch den bereits behandelten Fall, wo die Kraft nach
einer beliebigen Richtung zieht, und mit der Länge der schiefen Fläche den
Zugwinkel w bildet, berechnen. Wir wollen hiebei die Kraft als aufwärtswirkend an-
nehmen, und abermals die Höhe der schiefen Fläche um die Grösse m . b vermehren.
Wir erhalten hiedurch den Winkel z als den Zugwinkel auf der konstruirten schiefen
Fläche E C B und da w = z + a, folglich z = w -- a ist, so erhalten wir nach
der §. 125 aufgestellten allgemeinen Proportion P : Q = Sin (v + a) : Cos (w -- a),
woraus die Zugkraft P = [Formel 6] folgt. Die Kraft wird daher desto grös-
ser seyn müssen, je grösser die Last Q ist, je grösser v + a oder der Neigungswin-

Reibung bei der schiefen Fläche.
P . Cos (α + w) = Q . Sin (α + v) und daher P = [Formel 1] . Aus dieser Glei-
chung sehen wir, dass die kleinste Zugkraft in dem Falle erfordert wird, wenn der Nen-
ner am grössten, demnach Cos (α + w) = 1 und daher α + w = 0 oder w = — α ist,
d. h. der Zugwinkel w muss eben so gross als der Reibungswinkel α seyn, allein der
Zug muss aufwärts statt finden.

§. 468.

Bei den schiefen Flächen, für welche wir gewöhnlich die Zugkraft berechnen, ist
der Neigungswinkel v sehr klein, z. B. bei unsern Strassen, deren Steigung nicht über
4 Zoll auf die Klafter betragen darf, ist Sin v = 4/72 und daher v = 3° 11Min. 5Sec.. Der
Zugwinkel w ist ebenfalls in diesen Fällen unbedeutend, weil der Zug von der Richtung
der schiefen Fläche nicht viel abweicht. Endlich ist auch der Reibungswinkel bei den
meisten Strassen nicht sehr gross. Wir können demnach zur leichtern Berechnung der
Zugkraft auf unsern schiefen Flächen folgendes Verfahren anwenden:

Es sey Fig. 25 die gegebene schiefe Fläche A B C; man trage von A die Linie
Fig.
25.
Tab.
27.A D = m . b = m . B C winkelrecht auf, und verbinde D mit C, so hat man eine schiefe
Fläche D C B erhalten, bei welcher die Höhe h um m . b vermehrt ist, welche Vermeh-
rung gerade so viel als der Widerstand der Reibung beträgt. Es ist demnach eine gleich
grosse Kraft nöthig, wenn der Körper Q über die wirkliche schiefe Fläche A C mit Rei-
bung oder über die verzeichnete schiefe Fläche D C B ohne Reibung gezogen werden
soll. Da nun nach unserer Voraussetzung [Formel 2] klein ist, so kann man auch A C = B C = b
und A D = m . b = A E setzen; wir erhalten demnach P : Q = h + m . b : b, woraus
die Kraft, die zur Bewegung des Körpers über die schiefe Fläche erfordert wird
P = [Formel 3] = Q [Formel 4] folgt.

Beispiel. Es sey die Last Q = 100 ℔, [Formel 5] = 4/72 und m = ⅛, so wäre die zur
Uiberwindung der schiefen Fläche und des Reibungswiderstandes nöthige Kraft
P = 100 (4/72 + ⅛) = 18,1 ℔, wogegen ohne Reibung bloss die Kraft von 5,6 ℔
erfordert wird.
§. 469.
Fig.
26.

Wir können nunmehr auch den bereits behandelten Fall, wo die Kraft nach
einer beliebigen Richtung zieht, und mit der Länge der schiefen Fläche den
Zugwinkel w bildet, berechnen. Wir wollen hiebei die Kraft als aufwärtswirkend an-
nehmen, und abermals die Höhe der schiefen Fläche um die Grösse m . b vermehren.
Wir erhalten hiedurch den Winkel z als den Zugwinkel auf der konstruirten schiefen
Fläche E C B und da w = z + α, folglich z = w — α ist, so erhalten wir nach
der §. 125 aufgestellten allgemeinen Proportion P : Q = Sin (v + α) : Cos (w — α),
woraus die Zugkraft P = [Formel 6] folgt. Die Kraft wird daher desto grös-
ser seyn müssen, je grösser die Last Q ist, je grösser v + α oder der Neigungswin-

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[520/0552] Reibung bei der schiefen Fläche. P . Cos (α + w) = Q . Sin (α + v) und daher P = [FORMEL]. Aus dieser Glei- chung sehen wir, dass die kleinste Zugkraft in dem Falle erfordert wird, wenn der Nen- ner am grössten, demnach Cos (α + w) = 1 und daher α + w = 0 oder w = — α ist, d. h. der Zugwinkel w muss eben so gross als der Reibungswinkel α seyn, allein der Zug muss aufwärts statt finden. §. 468. Bei den schiefen Flächen, für welche wir gewöhnlich die Zugkraft berechnen, ist der Neigungswinkel v sehr klein, z. B. bei unsern Strassen, deren Steigung nicht über 4 Zoll auf die Klafter betragen darf, ist Sin v = 4/72 und daher v = 3° 11Min. 5Sec.. Der Zugwinkel w ist ebenfalls in diesen Fällen unbedeutend, weil der Zug von der Richtung der schiefen Fläche nicht viel abweicht. Endlich ist auch der Reibungswinkel bei den meisten Strassen nicht sehr gross. Wir können demnach zur leichtern Berechnung der Zugkraft auf unsern schiefen Flächen folgendes Verfahren anwenden: Es sey Fig. 25 die gegebene schiefe Fläche A B C; man trage von A die Linie A D = m . b = m . B C winkelrecht auf, und verbinde D mit C, so hat man eine schiefe Fläche D C B erhalten, bei welcher die Höhe h um m . b vermehrt ist, welche Vermeh- rung gerade so viel als der Widerstand der Reibung beträgt. Es ist demnach eine gleich grosse Kraft nöthig, wenn der Körper Q über die wirkliche schiefe Fläche A C mit Rei- bung oder über die verzeichnete schiefe Fläche D C B ohne Reibung gezogen werden soll. Da nun nach unserer Voraussetzung [FORMEL] klein ist, so kann man auch A C = B C = b und A D = m . b = A E setzen; wir erhalten demnach P : Q = h + m . b : b, woraus die Kraft, die zur Bewegung des Körpers über die schiefe Fläche erfordert wird P = [FORMEL] = Q [FORMEL] folgt. Fig. 25. Tab. 27. Beispiel. Es sey die Last Q = 100 ℔, [FORMEL] = 4/72 und m = ⅛, so wäre die zur Uiberwindung der schiefen Fläche und des Reibungswiderstandes nöthige Kraft P = 100 (4/72 + ⅛) = 18,1 ℔, wogegen ohne Reibung bloss die Kraft von 5,6 ℔ erfordert wird. §. 469. Wir können nunmehr auch den bereits behandelten Fall, wo die Kraft nach einer beliebigen Richtung zieht, und mit der Länge der schiefen Fläche den Zugwinkel w bildet, berechnen. Wir wollen hiebei die Kraft als aufwärtswirkend an- nehmen, und abermals die Höhe der schiefen Fläche um die Grösse m . b vermehren. Wir erhalten hiedurch den Winkel z als den Zugwinkel auf der konstruirten schiefen Fläche E C B und da w = z + α, folglich z = w — α ist, so erhalten wir nach der §. 125 aufgestellten allgemeinen Proportion P : Q = Sin (v + α) : Cos (w — α), woraus die Zugkraft P = [FORMEL] folgt. Die Kraft wird daher desto grös- ser seyn müssen, je grösser die Last Q ist, je grösser v + α oder der Neigungswin-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 520. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/552>, abgerufen am 22.11.2024.