Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Bewegung mittelst Krummzapfen. zapfens (a) ist, allein diess ist durch die Länge des menschlichen Armes bestimmt,und kann nicht leicht grösser als a = 12 Zoll genommen werden. Auf gleiche Weise kann der Halbmesser der Welle nicht leicht kleiner als 3 Zoll seyn; nehmen wir nun Fig.
21. Tab. 28.Gleichung zeigt, dass die Kraft k mit dem Raume 2 a und mit dem Coeffizienten [Formel 1] mul- tiplicht = der Last Q multiplicirt mit ihrem Raume b . p sey. Geht das Schwungrad mit der mitt- lern Geschwindigkeit V = c der Kraft herum, so ist 2 a . k (2 -- 11/14) = b . Q . 22/7 oder a . k . 17 = Q . b . 22, wogegen bei der Winde a . k = Q . b ist; es gehen also 5/22 der Kraft bei dem Krummzapfen in dem Falle verloren, wenn er mit der mittlern Geschwin- digkeit der menschlichen Kraft bewegt wird. Uiberhaupt ist [Formel 2] ; daraus sieht man, dass die Kraft sich um so mehr anstrengen müsse, je grösser das Verhältniss [Formel 3] angenommen wird, oder je schneller die Maschine umgedreht werden soll. Die Bestimmung des vor- theilhaftesten Werthes von v zur Bewirkung des grössten Effektes ist im Texte §. 526 enthalten. Wird in dem obigen Integrale v = c gesetzt, oder die Kurbel mit der mittlern Geschwindig- keit der Kraft herumgetrieben, so ist für den Beharrungsstand [Formel 4] . Weil v = V, wenn w = 180 = p, so ist für den Beharrungsstand [Formel 5] ; dieselbe Gleichung findet aber auch statt, wenn wir statt w nur 90 Grad [Formel 6] setzen, denn in diesem Falle ist [Formel 7] , oder wenn mit 2 multiplicirt wird, [Formel 8] ; folglich kehrt auch am Ende des ersten Quadranten die Geschwindigkeit, welche zu Anfang der Bewegung vorhanden war, zurück. Dasselbe lässt sich für den dritten Quadranten zeigen; also findet dieselbe Geschwindigkeit viermal in der Peripherie statt, nämlich bei w = 0, [Formel 9] , w = p, w = 3/2 p, dann w = 2 p ..... Die Maximen und Minimen finden statt, wenn in der obigen allgemeinen Differenzial- gleichung IV das [Formel 10] gesetzt wird, oder wenn [Formel 11] ist, Setzt man hier v = V = c, so ist [Formel 12] . Das zweite Differenzial hievon ist 2 d w . Cos w -- 2 Sin w . d w . Cos w = 2 d w . Cos w (1 -- Sin w). Weil Sin w immer klei- ner als 1, folglich 1 -- Sin w eine positive Grösse ist, so wird der Fall des Maximum oder Mi- nimum nur aus dem Cosinus bestimmt. Ist nämlich w kleiner als 90 Grad, so ist der Cosinus po- sitiv, folglich die Geschwindigkeit ein Minimum; ist aber w grösser als 90 Grad, so ist Cos w ne- gativ, folglich die Geschwindigkeit ein Maximum. Für den Beharrungsstand haben wir v = c angenommen und es war [Formel 13] oder [Formel 14] , also haben wir für den Fall des Maximum 2 Sin w -- Sin2 [Formel 15] , woraus Sin w = 1 +/- sqrt 5/22. Hier kann nur -- sqrt statt finden, weil der Sinus nie grösser als 1 werden kann, demnach ist Sin w = 1 -- sqrt 5/22 = 0,5233; hiezu gehört w = 31° 33Min. und w = 148° 27Min. Im ersten Falle ist der Cos w positiv, folglich gibt die obige Gleichung ein Minimum; im zweiten Falle ist der Cos w negativ, wir haben daher ein Maximum. Man sieht hieraus, dass die Bewegung mittelst Krummzapfen. zapfens (a) ist, allein diess ist durch die Länge des menschlichen Armes bestimmt,und kann nicht leicht grösser als a = 12 Zoll genommen werden. Auf gleiche Weise kann der Halbmesser der Welle nicht leicht kleiner als 3 Zoll seyn; nehmen wir nun Fig.
21. Tab. 28.Gleichung zeigt, dass die Kraft k mit dem Raume 2 a und mit dem Coeffizienten [Formel 1] mul- tiplicht = der Last Q multiplicirt mit ihrem Raume b . π sey. Geht das Schwungrad mit der mitt- lern Geschwindigkeit V = c der Kraft herum, so ist 2 a . k (2 — 11/14) = b . Q . 22/7 oder a . k . 17 = Q . b . 22, wogegen bei der Winde a . k = Q . b ist; es gehen also 5/22 der Kraft bei dem Krummzapfen in dem Falle verloren, wenn er mit der mittlern Geschwin- digkeit der menschlichen Kraft bewegt wird. Uiberhaupt ist [Formel 2] ; daraus sieht man, dass die Kraft sich um so mehr anstrengen müsse, je grösser das Verhältniss [Formel 3] angenommen wird, oder je schneller die Maschine umgedreht werden soll. Die Bestimmung des vor- theilhaftesten Werthes von v zur Bewirkung des grössten Effektes ist im Texte §. 526 enthalten. Wird in dem obigen Integrale v = c gesetzt, oder die Kurbel mit der mittlern Geschwindig- keit der Kraft herumgetrieben, so ist für den Beharrungsstand [Formel 4] . Weil v = V, wenn w = 180 = π, so ist für den Beharrungsstand [Formel 5] ; dieselbe Gleichung findet aber auch statt, wenn wir statt w nur 90 Grad [Formel 6] setzen, denn in diesem Falle ist [Formel 7] , oder wenn mit 2 multiplicirt wird, [Formel 8] ; folglich kehrt auch am Ende des ersten Quadranten die Geschwindigkeit, welche zu Anfang der Bewegung vorhanden war, zurück. Dasselbe lässt sich für den dritten Quadranten zeigen; also findet dieselbe Geschwindigkeit viermal in der Peripherie statt, nämlich bei w = 0, [Formel 9] , w = π, w = 3/2 π, dann w = 2 π ..... Die Maximen und Minimen finden statt, wenn in der obigen allgemeinen Differenzial- gleichung IV das [Formel 10] gesetzt wird, oder wenn [Formel 11] ist, Setzt man hier v = V = c, so ist [Formel 12] . Das zweite Differenzial hievon ist 2 d w . Cos w — 2 Sin w . d w . Cos w = 2 d w . Cos w (1 — Sin w). Weil Sin w immer klei- ner als 1, folglich 1 — Sin w eine positive Grösse ist, so wird der Fall des Maximum oder Mi- nimum nur aus dem Cosinus bestimmt. Ist nämlich w kleiner als 90 Grad, so ist der Cosinus po- sitiv, folglich die Geschwindigkeit ein Minimum; ist aber w grösser als 90 Grad, so ist Cos w ne- gativ, folglich die Geschwindigkeit ein Maximum. Für den Beharrungsstand haben wir v = c angenommen und es war [Formel 13] oder [Formel 14] , also haben wir für den Fall des Maximum 2 Sin w — Sin2 [Formel 15] , woraus Sin w = 1 ± √ 5/22. Hier kann nur — √ statt finden, weil der Sinus nie grösser als 1 werden kann, demnach ist Sin w = 1 — √ 5/22 = 0,5233; hiezu gehört w = 31° 33Min. und w = 148° 27Min. Im ersten Falle ist der Cos w positiv, folglich gibt die obige Gleichung ein Minimum; im zweiten Falle ist der Cos w negativ, wir haben daher ein Maximum. 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Bewegung mittelst Krummzapfen.
zapfens (a) ist, allein diess ist durch die Länge des menschlichen Armes bestimmt,
und kann nicht leicht grösser als a = 12 Zoll genommen werden. Auf gleiche Weise
kann der Halbmesser der Welle nicht leicht kleiner als 3 Zoll seyn; nehmen wir nun
*)
*) Gleichung zeigt, dass die Kraft k mit dem Raume 2 a und mit dem Coeffizienten [FORMEL] mul-
tiplicht = der Last Q multiplicirt mit ihrem Raume b . π sey. Geht das Schwungrad mit der mitt-
lern Geschwindigkeit V = c der Kraft herum, so ist 2 a . k (2 — 11/14) = b . Q . 22/7 oder
a . k . 17 = Q . b . 22, wogegen bei der Winde a . k = Q . b ist; es gehen also 5/22 der Kraft bei
dem Krummzapfen in dem Falle verloren, wenn er mit der mittlern Geschwin-
digkeit der menschlichen Kraft bewegt wird. Uiberhaupt ist [FORMEL];
daraus sieht man, dass die Kraft sich um so mehr anstrengen müsse, je grösser das Verhältniss [FORMEL]
angenommen wird, oder je schneller die Maschine umgedreht werden soll. Die Bestimmung des vor-
theilhaftesten Werthes von v zur Bewirkung des grössten Effektes ist im Texte §. 526 enthalten.
Wird in dem obigen Integrale v = c gesetzt, oder die Kurbel mit der mittlern Geschwindig-
keit der Kraft herumgetrieben, so ist für den Beharrungsstand
[FORMEL]. Weil v = V, wenn w = 180 = π,
so ist für den Beharrungsstand [FORMEL]; dieselbe Gleichung findet aber auch
statt, wenn wir statt w nur 90 Grad [FORMEL] setzen, denn in diesem Falle ist [FORMEL],
oder wenn mit 2 multiplicirt wird, [FORMEL]; folglich kehrt auch am Ende des
ersten Quadranten die Geschwindigkeit, welche zu Anfang der Bewegung vorhanden war, zurück.
Dasselbe lässt sich für den dritten Quadranten zeigen; also findet dieselbe Geschwindigkeit viermal
in der Peripherie statt, nämlich bei w = 0, [FORMEL], w = π, w = 3/2 π, dann w = 2 π .....
Die Maximen und Minimen finden statt, wenn in der obigen allgemeinen Differenzial-
gleichung IV das [FORMEL] gesetzt wird, oder wenn
[FORMEL] ist, Setzt man hier v = V = c, so ist
[FORMEL]. Das zweite Differenzial hievon ist
2 d w . Cos w — 2 Sin w . d w . Cos w = 2 d w . Cos w (1 — Sin w). Weil Sin w immer klei-
ner als 1, folglich 1 — Sin w eine positive Grösse ist, so wird der Fall des Maximum oder Mi-
nimum nur aus dem Cosinus bestimmt. Ist nämlich w kleiner als 90 Grad, so ist der Cosinus po-
sitiv, folglich die Geschwindigkeit ein Minimum; ist aber w grösser als 90 Grad, so ist Cos w ne-
gativ, folglich die Geschwindigkeit ein Maximum.
Für den Beharrungsstand haben wir v = c angenommen und es war [FORMEL]
oder [FORMEL], also haben wir für den Fall des Maximum 2 Sin w — Sin2 [FORMEL],
woraus Sin w = 1 ± √ 5/22. Hier kann nur — √ statt finden, weil der Sinus nie grösser als 1
werden kann, demnach ist Sin w = 1 — √ 5/22 = 0,5233; hiezu gehört w = 31° 33Min. und
w = 148° 27Min.
Im ersten Falle ist der Cos w positiv, folglich gibt die obige Gleichung ein Minimum; im
zweiten Falle ist der Cos w negativ, wir haben daher ein Maximum. Man sieht hieraus, dass die
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 566. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/598>, abgerufen am 22.11.2024. |
