Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Widerstand konischer Räder. dass die konischen Räder eine bedeutende Reibung verursachen, welche auf fol-gende Art berechnet wird: *) 10. Tab. 29. Wenn ein konisches Rad Fig. 10 um seine Achse gedreht wird, so muss jeder In derselben Zeit, in welcher die Peripherie 2 p. A zurückgelegt wird, muss *) Mit Differenzialrechnung wird der Widerstand konischer Räder auf folgende Art berechnet:
Fig. 11.Es sey der mittlere Halbmesser des konischen Rades C B = A, der äussere Halbmesser A G = A + e, der innere D H = A -- e, der Halbmesser M m auf der Entfernung x von der Mitte, [Formel 1] , C m = x, die Breite der Schiene A D = b. Bei jeder Umdrehung legt der Punkt B in der Mitte der Schiene den Weg 2 A. p zurück. In derselben Zeit muss der äussere Rand G, wegen des festen Zusammenhanges der Theile des Rades den Raum 2 p (A + e) und der innere H den Raum 2 p (A -- e) zurücklegen. Der Punkt G wird demnach bei jeder Um- drehung um den Raum 2 p. e zurückgehalten, und der innere H um den Raum 2 p. e fortgeschoben, woraus eine Reibung entsteht. Auf gleiche Art legt der Punkt M in der Zeit einer Umdrehung den Raum 2 p. y = 2 p [Formel 2] zurück, und wird also um den Raum 2 p . [Formel 3] fortgeschoben. Da die Last Q auf der ganzen Fläche der Felge 2 p. A. b zu liegen kommt, so liegt auf der Fläche 2 p. [Formel 4] . d x die Last [Formel 5] . d x. Daraus entsteht die Reibung [Formel 6] . Demnach beträgt der Reibungswiderstand von B bis M die Grösse [Formel 7] und für die halbe Breite des Rades = M. [Formel 8] . Eben so gross ist die Reibung von B bis G, also die Reibung für das ganze Rad = [Formel 9] ; oder das Rad wird an der Strasse von dem Widerstande [Formel 10] aufgehalten. Da e = [Formel 11] tang a, so ist derselbe Widerstand auch = [Formel 12] ; derselbe ist demnach 1tens der Last Q, 2tens der Breite der Schiene b, 3tens der Tangente des Neigungswinkels a, und 4tens umgekehrt dem Durch- messer des Rades 2 A proportional. Dieselbe Art des Widerstandes findet auch auf runden, oder an beiden Kanten sehr Fig. 12.abgewetzten Radfelgen statt. Die Punkte B und M beschreiben in derselben Zeit die Räume 2 p. A, und 2 p (A -- B C) also wird der Punkt M bei jeder Umdrehung des Rades auf den Raum 2 p. B C fortgeschleppt. Auf dem Element M N = 2 p. B C. d x kommt nach und nach und zwar eben so wie auf 2 p. A. b die Last Q, demnach auf 2 p. B C. d x die Last [Formel 13] zu liegen. Daraus entsteht die Reibung [Formel 14] . Setzen wir die krumme Linie B M H parabolisch oder C B : E B = C M2 : E H2 oder C B : e = x2 : [Formel 15] , also C B = [Formel 16] demnach [Formel 17] oder für x = 1/2 b = M. [Formel 18] . Auf der andern Seite ist der Widerstand eben so gross, also der gesammte Widerstand des Rades = [Formel 19] . Widerstand konischer Räder. dass die konischen Räder eine bedeutende Reibung verursachen, welche auf fol-gende Art berechnet wird: *) 10. Tab. 29. Wenn ein konisches Rad Fig. 10 um seine Achse gedreht wird, so muss jeder In derselben Zeit, in welcher die Peripherie 2 π. A zurückgelegt wird, muss *) Mit Differenzialrechnung wird der Widerstand konischer Räder auf folgende Art berechnet:
Fig. 11.Es sey der mittlere Halbmesser des konischen Rades C B = A, der äussere Halbmesser A G = A + e, der innere D H = A — e, der Halbmesser M m auf der Entfernung x von der Mitte, [Formel 1] , C m = x, die Breite der Schiene A D = b. Bei jeder Umdrehung legt der Punkt B in der Mitte der Schiene den Weg 2 A. π zurück. In derselben Zeit muss der äussere Rand G, wegen des festen Zusammenhanges der Theile des Rades den Raum 2 π (A + e) und der innere H den Raum 2 π (A — e) zurücklegen. Der Punkt G wird demnach bei jeder Um- drehung um den Raum 2 π. e zurückgehalten, und der innere H um den Raum 2 π. e fortgeschoben, woraus eine Reibung entsteht. Auf gleiche Art legt der Punkt M in der Zeit einer Umdrehung den Raum 2 π. y = 2 π [Formel 2] zurück, und wird also um den Raum 2 π . [Formel 3] fortgeschoben. Da die Last Q auf der ganzen Fläche der Felge 2 π. A. b zu liegen kommt, so liegt auf der Fläche 2 π. [Formel 4] . d x die Last [Formel 5] . d x. Daraus entsteht die Reibung [Formel 6] . Demnach beträgt der Reibungswiderstand von B bis M die Grösse [Formel 7] und für die halbe Breite des Rades = M. [Formel 8] . Eben so gross ist die Reibung von B bis G, also die Reibung für das ganze Rad = [Formel 9] ; oder das Rad wird an der Strasse von dem Widerstande [Formel 10] aufgehalten. Da e = [Formel 11] tang α, so ist derselbe Widerstand auch = [Formel 12] ; derselbe ist demnach 1tens der Last Q, 2tens der Breite der Schiene b, 3tens der Tangente des Neigungswinkels α, und 4tens umgekehrt dem Durch- messer des Rades 2 A proportional. Dieselbe Art des Widerstandes findet auch auf runden, oder an beiden Kanten sehr Fig. 12.abgewetzten Radfelgen statt. Die Punkte B und M beschreiben in derselben Zeit die Räume 2 π. A, und 2 π (A — B C) also wird der Punkt M bei jeder Umdrehung des Rades auf den Raum 2 π. B C fortgeschleppt. Auf dem Element M N = 2 π. B C. d x kommt nach und nach und zwar eben so wie auf 2 π. A. b die Last Q, demnach auf 2 π. B C. d x die Last [Formel 13] zu liegen. Daraus entsteht die Reibung [Formel 14] . Setzen wir die krumme Linie B M H parabolisch oder C B : E B = C M2 : E H2 oder C B : e = x2 : [Formel 15] , also C B = [Formel 16] demnach [Formel 17] oder für x = ½ b = M. [Formel 18] . Auf der andern Seite ist der Widerstand eben so gross, also der gesammte Widerstand des Rades = [Formel 19] . <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0620" n="588"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Widerstand konischer Räder</hi>.</fw><lb/> dass die konischen Räder eine <hi rendition="#g">bedeutende Reibung</hi> verursachen, welche auf fol-<lb/> gende Art berechnet wird: <note place="foot" n="*)">Mit Differenzialrechnung wird der <hi rendition="#g">Widerstand konischer Räder</hi> auf folgende Art berechnet:<lb/><note place="left">Fig.<lb/> 11.</note>Es sey der mittlere Halbmesser des konischen Rades C B = A, der äussere Halbmesser A G = A + e,<lb/> der innere D H = A — e, der Halbmesser M m auf der Entfernung x von der Mitte, <formula/>,<lb/> C m = x, die Breite der Schiene A D = b. Bei jeder Umdrehung legt<lb/> der Punkt B in der Mitte der Schiene den Weg 2 A. π zurück. 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Widerstand konischer Räder.
dass die konischen Räder eine bedeutende Reibung verursachen, welche auf fol-
gende Art berechnet wird: *)
Wenn ein konisches Rad Fig. 10 um seine Achse gedreht wird, so muss jeder
Punkt B, A, D .... wegen der Festigkeit der Materie in derselben Zeit um die Achse
O C umlaufen. Es sey der mittlere Halbmesser des Rades A C = A, so ist die mitt-
lere Peripherie für den Punkt A = 22/7. 2 A = 2 π. A.
In derselben Zeit, in welcher die Peripherie 2 π. A zurückgelegt wird, muss
auch ein jeder Punkt an der Peripherie beschrieben werden, allein der äussere Punkt
des Rades oder der Radfelge muss einen grössern Raum und der innere einen kleinern
Raum beschreiben, demnach muss der äussere Punkt sich um etwas fortschieben oder
*) Mit Differenzialrechnung wird der Widerstand konischer Räder auf folgende Art berechnet:
Es sey der mittlere Halbmesser des konischen Rades C B = A, der äussere Halbmesser A G = A + e,
der innere D H = A — e, der Halbmesser M m auf der Entfernung x von der Mitte, [FORMEL],
C m = x, die Breite der Schiene A D = b. Bei jeder Umdrehung legt
der Punkt B in der Mitte der Schiene den Weg 2 A. π zurück. In derselben Zeit muss der äussere
Rand G, wegen des festen Zusammenhanges der Theile des Rades den Raum 2 π (A + e)
und der innere H den Raum 2 π (A — e) zurücklegen. Der Punkt G wird demnach bei jeder Um-
drehung um den Raum 2 π. e zurückgehalten, und der innere H um den Raum 2 π. e fortgeschoben,
woraus eine Reibung entsteht. Auf gleiche Art legt der Punkt M in der Zeit einer Umdrehung den
Raum 2 π. y = 2 π [FORMEL] zurück, und wird also um den Raum 2 π . [FORMEL] fortgeschoben.
Da die Last Q auf der ganzen Fläche der Felge 2 π. A. b zu liegen kommt, so liegt auf der Fläche
2 π. [FORMEL]. d x die Last [FORMEL]. d x. Daraus entsteht die Reibung [FORMEL].
Demnach beträgt der Reibungswiderstand von B bis M die Grösse [FORMEL] und für die halbe
Breite des Rades = M. [FORMEL]. Eben so gross ist die Reibung von B bis G, also die Reibung für das ganze
Rad = [FORMEL]; oder das Rad wird an der Strasse von dem Widerstande [FORMEL] aufgehalten. Da
e = [FORMEL] tang α, so ist derselbe Widerstand auch = [FORMEL]; derselbe ist demnach 1tens der Last Q,
2tens der Breite der Schiene b, 3tens der Tangente des Neigungswinkels α, und 4tens umgekehrt dem Durch-
messer des Rades 2 A proportional.
Dieselbe Art des Widerstandes findet auch auf runden, oder an beiden Kanten sehr
abgewetzten Radfelgen statt. Die Punkte B und M beschreiben in derselben Zeit die Räume
2 π. A, und 2 π (A — B C) also wird der Punkt M bei jeder Umdrehung des Rades auf den Raum
2 π. B C fortgeschleppt. Auf dem Element M N = 2 π. B C. d x kommt nach und nach und zwar eben
so wie auf 2 π. A. b die Last Q, demnach auf 2 π. B C. d x die Last [FORMEL] zu liegen. Daraus
entsteht die Reibung [FORMEL]. Setzen wir die krumme Linie B M H parabolisch oder
C B : E B = C M2 : E H2 oder C B : e = x2 : [FORMEL], also C B = [FORMEL] demnach [FORMEL]
oder für x = ½ b = M. [FORMEL]. Auf der andern Seite ist der Widerstand eben so gross,
also der gesammte Widerstand des Rades = [FORMEL].
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 588. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/620>, abgerufen am 22.11.2024. |
