Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Bahn des ausfliessenden Wassers.

ausströmte, auf der Entfernung von 1/2 Zoll von der Oeffnung = [Formel 1] Zoll. Hiernach ver-
hält sich die Fläche der Oeffnung zur Fläche des zusammengezogenen Wasserstrahls
= [Formel 2] = 1 : 0,7056.

= [Formel 3] . Weil diese Druckhöhe für alle Punkte der Bahn eine gleiche GrösseFig.
7.
Tab.
46.
haben muss, so haben wir die Gleichung [Formel 4] = [Formel 5] oder wenn diese Glei-
chung mit [Formel 6] multiplizirt wird, [Formel 7] -- Sin [Formel 8] . Setzen wir die Geschwindigkeitshöhe im
zusammengezogenen Strahl [Formel 9] = h, so ist, wenn wir die Ordinate p u' = e setzen, die Geschwin-
digkeitshöhe für den Punkt p offenbar = h -- e = [Formel 10] , demnach ist [Formel 11] = 2 sqrt h (h -- e). Diese
Werthe in die obige Gleichung gesetzt, geben 2 [Formel 12] -- Sin l = [Formel 13] . Die Bestim-
mung des Krümmungshalbmessers gibt die bekannte Proporzion 1 : d l = r : d s, daraus folgt
r = [Formel 14] . Die Substituzion dieses Werthes gibt
2 (h -- e) [Formel 15] -- Sin l = [Formel 16] ; wenn wir beide Glieder dieser Gleichung mit
[Formel 17] multipliziren, so erhalten wir d Sin l . sqrt (h -- e) -- [Formel 18] = [Formel 19] . Das
vollständige Integral dieser Gleichung ist Sin l . sqrt (h -- e) = [Formel 20] ; demnach Sin l = [Formel 21] .
Wenn wir in dieser Gleichung die Grösse [Formel 22] , welche in jedem Falle sehr klein ist, vernachlässigen,
so erhalten wir Sin [Formel 23] , folglich ist die krumme Linie p u ein Kreis, dessen Halbmesser die
Grösse p ist.
Wenn die Oeffnung in der Seitenwand angebracht ist, und ein horizontaler Quer-
schnitt durch die Mitte der Oeffnung oder durch die Mitte des Strahles gemacht wird, so ist die
Geschwindigkeitshöhe des Wassers [Formel 24] für jeden Punkt dieses Querschnittes der Höhe des Wasser-
standes h oberhalb diesem Querschnitte gleich, folglich die Geschwindigkeit n des Wassers durch
den ganzen Weg von der Oeffnung bis zur grössten Zusammenziehung eine beständige Grösse,
demnach wird auch die Schwungkraft [Formel 25] eine beständige Grösse seyn, folglich die krumme
Linie des ausfliessenden Wasserstrahles wegen der Unveränderlichkeit des Krümmungshalbmessers
r ein Kreis seyn müssen. Im vertikalen Querschnitte wird das Wasser oben, in der Mitte, und
unten gleich viel abwärts beschleunigt, sonach der ganze Kreis des zusammengezogenen Wasser-
strahles nur um diese Beschleunigung herabgedrückt, und daher an der Gestalt des zusammenge-
zogenen Strahles nichts verändert werden. Wir können demnach diese gemeinschaftliche vertikale
Bewegung, welche die Schwere in der kurzen Zeit, in welcher der Strahl von der Oeffnung bis
zum zusammengezogenen Strahl fliesst, bewirkt, von der gesammten Bewegung aller Theile abzie-
hen, und so wird uns für den ausfliessenden Strahl dieselbe kreisförmig gebogene Gestalt übrig
bleiben.
Die Grösse des Halbmessers p lässt sich nach den oben angeführten Erfahrungen be-Fig.
10.
stimmen, wenn wir den Halbmesser der Oeffnung D B = e und den Halbmesser des zusammenge-
zogenen Strahls d b = e setzen; demnach ist die Fläche der Oeffnung = p . e2 und die Fläche des
zusammengezogenen Strahls = p . e2. Nach der Erfahrung verhält sich p . e2 : p . e2 = 100 : 62;
daraus folgt e = e sqrt 0,62 = 0,787 e, demnach ist b W = e -- e = 0,213 e. Bei dem Versuche, wel-
chen Newton in der 36ten Proposizion des 2ten Buches der Phil. nat. anführt, war der Halb-

Bahn des ausfliessenden Wassers.

ausströmte, auf der Entfernung von ½ Zoll von der Oeffnung = [Formel 1] Zoll. Hiernach ver-
hält sich die Fläche der Oeffnung zur Fläche des zusammengezogenen Wasserstrahls
= [Formel 2] = 1 : 0,7056.

= [Formel 3] . Weil diese Druckhöhe für alle Punkte der Bahn eine gleiche GrösseFig.
7.
Tab.
46.
haben muss, so haben wir die Gleichung [Formel 4] = [Formel 5] oder wenn diese Glei-
chung mit [Formel 6] multiplizirt wird, [Formel 7] — Sin [Formel 8] . Setzen wir die Geschwindigkeitshöhe im
zusammengezogenen Strahl [Formel 9] = h, so ist, wenn wir die Ordinate p u' = η setzen, die Geschwin-
digkeitshöhe für den Punkt p offenbar = h — η = [Formel 10] , demnach ist [Formel 11] = 2 √ h (h — η). Diese
Werthe in die obige Gleichung gesetzt, geben 2 [Formel 12] — Sin λ = [Formel 13] . Die Bestim-
mung des Krümmungshalbmessers gibt die bekannte Proporzion 1 : d λ = r : d s, daraus folgt
r = [Formel 14] . Die Substituzion dieses Werthes gibt
2 (h — η) [Formel 15] — Sin λ = [Formel 16] ; wenn wir beide Glieder dieser Gleichung mit
[Formel 17] multipliziren, so erhalten wir d Sin λ . √ (h — η) — [Formel 18] = [Formel 19] . Das
vollständige Integral dieser Gleichung ist Sin λ . √ (h — η) = [Formel 20] ; demnach Sin λ = [Formel 21] .
Wenn wir in dieser Gleichung die Grösse [Formel 22] , welche in jedem Falle sehr klein ist, vernachlässigen,
so erhalten wir Sin [Formel 23] , folglich ist die krumme Linie p u ein Kreis, dessen Halbmesser die
Grösse p ist.
Wenn die Oeffnung in der Seitenwand angebracht ist, und ein horizontaler Quer-
schnitt durch die Mitte der Oeffnung oder durch die Mitte des Strahles gemacht wird, so ist die
Geschwindigkeitshöhe des Wassers [Formel 24] für jeden Punkt dieses Querschnittes der Höhe des Wasser-
standes h oberhalb diesem Querschnitte gleich, folglich die Geschwindigkeit ν des Wassers durch
den ganzen Weg von der Oeffnung bis zur grössten Zusammenziehung eine beständige Grösse,
demnach wird auch die Schwungkraft [Formel 25] eine beständige Grösse seyn, folglich die krumme
Linie des ausfliessenden Wasserstrahles wegen der Unveränderlichkeit des Krümmungshalbmessers
r ein Kreis seyn müssen. Im vertikalen Querschnitte wird das Wasser oben, in der Mitte, und
unten gleich viel abwärts beschleunigt, sonach der ganze Kreis des zusammengezogenen Wasser-
strahles nur um diese Beschleunigung herabgedrückt, und daher an der Gestalt des zusammenge-
zogenen Strahles nichts verändert werden. Wir können demnach diese gemeinschaftliche vertikale
Bewegung, welche die Schwere in der kurzen Zeit, in welcher der Strahl von der Oeffnung bis
zum zusammengezogenen Strahl fliesst, bewirkt, von der gesammten Bewegung aller Theile abzie-
hen, und so wird uns für den ausfliessenden Strahl dieselbe kreisförmig gebogene Gestalt übrig
bleiben.
Die Grösse des Halbmessers p lässt sich nach den oben angeführten Erfahrungen be-Fig.
10.
stimmen, wenn wir den Halbmesser der Oeffnung D B = e und den Halbmesser des zusammenge-
zogenen Strahls d b = ε setzen; demnach ist die Fläche der Oeffnung = π . e2 und die Fläche des
zusammengezogenen Strahls = π . ε2. Nach der Erfahrung verhält sich π . e2 : π . ε2 = 100 : 62;
daraus folgt ε = e √ 0,62 = 0,787 e, demnach ist b W = e — ε = 0,213 e. Bei dem Versuche, wel-
chen Newton in der 36ten Proposizion des 2ten Buches der Phil. nat. anführt, war der Halb-

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[143/0161] Bahn des ausfliessenden Wassers. ausströmte, auf der Entfernung von ½ Zoll von der Oeffnung = [FORMEL] Zoll. Hiernach ver- hält sich die Fläche der Oeffnung zur Fläche des zusammengezogenen Wasserstrahls = [FORMEL] = 1 : 0,7056. *) *) = [FORMEL]. Weil diese Druckhöhe für alle Punkte der Bahn eine gleiche Grösse haben muss, so haben wir die Gleichung [FORMEL] = [FORMEL] oder wenn diese Glei- chung mit [FORMEL] multiplizirt wird, [FORMEL] — Sin [FORMEL]. Setzen wir die Geschwindigkeitshöhe im zusammengezogenen Strahl [FORMEL] = h, so ist, wenn wir die Ordinate p u' = η setzen, die Geschwin- digkeitshöhe für den Punkt p offenbar = h — η = [FORMEL], demnach ist [FORMEL] = 2 √ h (h — η). Diese Werthe in die obige Gleichung gesetzt, geben 2 [FORMEL] — Sin λ = [FORMEL]. Die Bestim- mung des Krümmungshalbmessers gibt die bekannte Proporzion 1 : d λ = r : d s, daraus folgt r = [FORMEL]. Die Substituzion dieses Werthes gibt 2 (h — η) [FORMEL] — Sin λ = [FORMEL]; wenn wir beide Glieder dieser Gleichung mit [FORMEL] multipliziren, so erhalten wir d Sin λ . √ (h — η) — [FORMEL] = [FORMEL]. Das vollständige Integral dieser Gleichung ist Sin λ . √ (h — η) = [FORMEL]; demnach Sin λ = [FORMEL]. Wenn wir in dieser Gleichung die Grösse [FORMEL], welche in jedem Falle sehr klein ist, vernachlässigen, so erhalten wir Sin [FORMEL], folglich ist die krumme Linie p u ein Kreis, dessen Halbmesser die Grösse p ist. Wenn die Oeffnung in der Seitenwand angebracht ist, und ein horizontaler Quer- schnitt durch die Mitte der Oeffnung oder durch die Mitte des Strahles gemacht wird, so ist die Geschwindigkeitshöhe des Wassers [FORMEL] für jeden Punkt dieses Querschnittes der Höhe des Wasser- standes h oberhalb diesem Querschnitte gleich, folglich die Geschwindigkeit ν des Wassers durch den ganzen Weg von der Oeffnung bis zur grössten Zusammenziehung eine beständige Grösse, demnach wird auch die Schwungkraft [FORMEL] eine beständige Grösse seyn, folglich die krumme Linie des ausfliessenden Wasserstrahles wegen der Unveränderlichkeit des Krümmungshalbmessers r ein Kreis seyn müssen. Im vertikalen Querschnitte wird das Wasser oben, in der Mitte, und unten gleich viel abwärts beschleunigt, sonach der ganze Kreis des zusammengezogenen Wasser- strahles nur um diese Beschleunigung herabgedrückt, und daher an der Gestalt des zusammenge- zogenen Strahles nichts verändert werden. Wir können demnach diese gemeinschaftliche vertikale Bewegung, welche die Schwere in der kurzen Zeit, in welcher der Strahl von der Oeffnung bis zum zusammengezogenen Strahl fliesst, bewirkt, von der gesammten Bewegung aller Theile abzie- hen, und so wird uns für den ausfliessenden Strahl dieselbe kreisförmig gebogene Gestalt übrig bleiben. Die Grösse des Halbmessers p lässt sich nach den oben angeführten Erfahrungen be- stimmen, wenn wir den Halbmesser der Oeffnung D B = e und den Halbmesser des zusammenge- zogenen Strahls d b = ε setzen; demnach ist die Fläche der Oeffnung = π . e2 und die Fläche des zusammengezogenen Strahls = π . ε2. Nach der Erfahrung verhält sich π . e2 : π . ε2 = 100 : 62; daraus folgt ε = e √ 0,62 = 0,787 e, demnach ist b W = e — ε = 0,213 e. Bei dem Versuche, wel- chen Newton in der 36ten Proposizion des 2ten Buches der Phil. nat. anführt, war der Halb-

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Zitationshilfe:	Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 143. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/161>, abgerufen am 04.12.2024.

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