Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.
Bahn des ausfliessenden Wassers. Newton (philosophiae naturalis principia mathematica lib. II. propositio XXXVI)fand die Dicke des Wasserstrahles, welcher aus einer 5/8 Zoll weiten vertikalen Oeffnung Fig.
7. Tab. 46.ist n2 = V2 + 4 g . y oder [Formel 1] + y, d. h. im Beharrungsstande ist die Geschwin- digkeitshöhe in jedem Punkte der Bahn der ganzen Gefällshöhe von dem Punkte, wo die Bewegung des Wassertheilchens anfängt, bis zu dem Punkte p, wo sich das Theilchen befindet, gleich. Demnach wird die Geschwindigkeitshöhe in der Querschnittsfläche der grössten Zusammenziehung, wo die Richtungen der Bewegung zu ein- ander parallel werden, der ganzen Gefällshöhe von der Oberfläche des Wasserstandes bis zur Quer- schnittsfläche des zusammengezogenen Wasserstrahls gleich seyn, so wie es die im Texte ange- führten hierüber angestellten Versuche gelehrt haben. Wir kommen nun zur Bestimmung der Bahnlinie, welche das Element d M ausserhalb des Gefässes beschreibt. Hierzu dient vorläufig die allgemeine Bemerkung, dass ein jeder in Bewegung befindliche Körper nur von denjenigen Kräften beschleunigt wird, deren Richtungen in der Bahn des bewegten Körpers liegen, diejenigen Kräfte aber, deren Rich- tungen mit der Bahn einen rechten Winkel machen, von beiden Seiten gleich seyn und einander aufheben müssen; denn wäre der Druck von einer Seite stärker als von der andern, so würde der bewegte Körper dem grösseren Drucke nachgeben und von der angenommenen Bahnlinie ab- weichen müssen. Der schiefen Richtung, womit die Wassertheile von der Peripherie der Oeffnung des Gefässes gegen die Mitte des Strahles fliessen, und womit die Theile des Strahles eigentlich zusammengehalten werden, wirkt von Seite der innern Wassertheile vermöge ihrer Inkompressibilität eine Kraft entgegen, welche die äussern Wassertheile nöthiget, von ihrer Richtung abzugehen, und die krumme Bahnlinie e p q u zu beschreiben. Wir wollen demnach zuerst den Druck der äussern Wassertheile gegen die innern untersuchen. Fig. 9.Ein jeder Körper, welcher von der geraden Richtung seiner Bahn abgelenkt wird, und aus der geraden p q' in die krumme Linie p q übertreten soll, bedarf einer Kraft, welche ihn nöthiget, in derselben Zeit, in welcher mit freier Bewegung der Raum p q' = n . d t zurückgelegt wurde, zu- gleich den Raum p p' zurückzulegen. Diese Kraft, die wir K nennen wollen, ergibt sich aus dem allgemeinen Satze, dass die Kräfte den Wirkungen proporzional sind, und weil hier die Räume zu berücksichtigen sind, so ist d M : g . d t2 = K : p p'. Daraus folgt die Kraft = [Formel 2] · p p'. Wenn wir nun durch den Bogen p q einen Kreis beschreiben, und den Durchmesser dieses Krei- ses p w = 2 r setzen, so folgt nach der Theorie des Kreises p p' : p q = p q : p w oder 2 r, und weil p q = n . d t ist, so erhalten wir p p' = [Formel 3] und wenn dieser Werth in die obige Gleichung substituirt wird, so ergibt sich die Kraft K = d M · [Formel 4] . Hiervon müssen wir den Druck d M . Sin l abziehen, welchen nämlich das Element durch sein Gewicht nach Aussen ausübt, dadurch erhalten wir die Kraft d M · [Formel 5] . Mit dieser Kraft drücken die äusseren Theile an die innern und diese drücken eben so stark zurück. Für das Gleichgewicht flüssiger Massen ist aber nöthig, dass nicht bloss die ganzen Elemente d M, sondern jeder Punkt ihrer Basis mit einer gleichen Kraft drücken müsse; wenn wir also den Druck d M . [Formel 6] mit seiner Basis d s oder n . d t dividiren, so erhalten wir die Höhe einer Wassersäule, welche in der ganzen Bahn e p q u (Fig. 7) dieselbe Grösse haben muss. Setzen wir nun für den untersten Punkt des zusammengezogenen Wasserstrahles in u die Geschwindigkeit n = g und den Krümmungshalbmesser an demselben Orte r = p, statt d s die Grösse g . d t, und da in diesem Punkte der Strahl bereits in der senkrechten Richtung herabfliesst Sin l = 0, so ist die Höhe der Wassersäule, welche den Druck der äussern Theile gegen die innern in u vorstellt Bahn des ausfliessenden Wassers. Newton (philosophiae naturalis principia mathematica lib. II. propositio XXXVI)fand die Dicke des Wasserstrahles, welcher aus einer ⅝ Zoll weiten vertikalen Oeffnung Fig.
7. Tab. 46.ist ν2 = V2 + 4 g . y oder [Formel 1] + y, d. h. im Beharrungsstande ist die Geschwin- digkeitshöhe in jedem Punkte der Bahn der ganzen Gefällshöhe von dem Punkte, wo die Bewegung des Wassertheilchens anfängt, bis zu dem Punkte p, wo sich das Theilchen befindet, gleich. Demnach wird die Geschwindigkeitshöhe in der Querschnittsfläche der grössten Zusammenziehung, wo die Richtungen der Bewegung zu ein- ander parallel werden, der ganzen Gefällshöhe von der Oberfläche des Wasserstandes bis zur Quer- schnittsfläche des zusammengezogenen Wasserstrahls gleich seyn, so wie es die im Texte ange- führten hierüber angestellten Versuche gelehrt haben. Wir kommen nun zur Bestimmung der Bahnlinie, welche das Element d M ausserhalb des Gefässes beschreibt. Hierzu dient vorläufig die allgemeine Bemerkung, dass ein jeder in Bewegung befindliche Körper nur von denjenigen Kräften beschleunigt wird, deren Richtungen in der Bahn des bewegten Körpers liegen, diejenigen Kräfte aber, deren Rich- tungen mit der Bahn einen rechten Winkel machen, von beiden Seiten gleich seyn und einander aufheben müssen; denn wäre der Druck von einer Seite stärker als von der andern, so würde der bewegte Körper dem grösseren Drucke nachgeben und von der angenommenen Bahnlinie ab- weichen müssen. Der schiefen Richtung, womit die Wassertheile von der Peripherie der Oeffnung des Gefässes gegen die Mitte des Strahles fliessen, und womit die Theile des Strahles eigentlich zusammengehalten werden, wirkt von Seite der innern Wassertheile vermöge ihrer Inkompressibilität eine Kraft entgegen, welche die äussern Wassertheile nöthiget, von ihrer Richtung abzugehen, und die krumme Bahnlinie e p q u zu beschreiben. Wir wollen demnach zuerst den Druck der äussern Wassertheile gegen die innern untersuchen. Fig. 9.Ein jeder Körper, welcher von der geraden Richtung seiner Bahn abgelenkt wird, und aus der geraden p q' in die krumme Linie p q übertreten soll, bedarf einer Kraft, welche ihn nöthiget, in derselben Zeit, in welcher mit freier Bewegung der Raum p q' = ν . d t zurückgelegt wurde, zu- gleich den Raum p p' zurückzulegen. Diese Kraft, die wir K nennen wollen, ergibt sich aus dem allgemeinen Satze, dass die Kräfte den Wirkungen proporzional sind, und weil hier die Räume zu berücksichtigen sind, so ist d M : g . d t2 = K : p p'. Daraus folgt die Kraft = [Formel 2] · p p'. Wenn wir nun durch den Bogen p q einen Kreis beschreiben, und den Durchmesser dieses Krei- ses p w = 2 r setzen, so folgt nach der Theorie des Kreises p p' : p q = p q : p w oder 2 r, und weil p q = ν . d t ist, so erhalten wir p p' = [Formel 3] und wenn dieser Werth in die obige Gleichung substituirt wird, so ergibt sich die Kraft K = d M · [Formel 4] . Hiervon müssen wir den Druck d M . Sin λ abziehen, welchen nämlich das Element durch sein Gewicht nach Aussen ausübt, dadurch erhalten wir die Kraft d M · [Formel 5] . Mit dieser Kraft drücken die äusseren Theile an die innern und diese drücken eben so stark zurück. Für das Gleichgewicht flüssiger Massen ist aber nöthig, dass nicht bloss die ganzen Elemente d M, sondern jeder Punkt ihrer Basis mit einer gleichen Kraft drücken müsse; wenn wir also den Druck d M . [Formel 6] mit seiner Basis d s oder ν . d t dividiren, so erhalten wir die Höhe einer Wassersäule, welche in der ganzen Bahn e p q u (Fig. 7) dieselbe Grösse haben muss. Setzen wir nun für den untersten Punkt des zusammengezogenen Wasserstrahles in u die Geschwindigkeit ν = γ und den Krümmungshalbmesser an demselben Orte r = p, statt d s die Grösse γ . d t, und da in diesem Punkte der Strahl bereits in der senkrechten Richtung herabfliesst Sin λ = 0, so ist die Höhe der Wassersäule, welche den Druck der äussern Theile gegen die innern in u vorstellt <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0160" n="142"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i">Bahn des ausfliessenden Wassers.</hi></fw><lb/><hi rendition="#i">Newton</hi> (<hi rendition="#i">philosophiae naturalis principia mathematica lib. 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Bahn des ausfliessenden Wassers.
Newton (philosophiae naturalis principia mathematica lib. II. propositio XXXVI)
fand die Dicke des Wasserstrahles, welcher aus einer ⅝ Zoll weiten vertikalen Oeffnung
*)
*) ist ν2 = V2 + 4 g . y oder [FORMEL] + y, d. h. im Beharrungsstande ist die Geschwin-
digkeitshöhe in jedem Punkte der Bahn der ganzen Gefällshöhe von dem
Punkte, wo die Bewegung des Wassertheilchens anfängt, bis zu dem Punkte
p, wo sich das Theilchen befindet, gleich. Demnach wird die Geschwindigkeitshöhe
in der Querschnittsfläche der grössten Zusammenziehung, wo die Richtungen der Bewegung zu ein-
ander parallel werden, der ganzen Gefällshöhe von der Oberfläche des Wasserstandes bis zur Quer-
schnittsfläche des zusammengezogenen Wasserstrahls gleich seyn, so wie es die im Texte ange-
führten hierüber angestellten Versuche gelehrt haben.
Wir kommen nun zur Bestimmung der Bahnlinie, welche das Element d M
ausserhalb des Gefässes beschreibt. Hierzu dient vorläufig die allgemeine Bemerkung,
dass ein jeder in Bewegung befindliche Körper nur von denjenigen Kräften beschleunigt wird,
deren Richtungen in der Bahn des bewegten Körpers liegen, diejenigen Kräfte aber, deren Rich-
tungen mit der Bahn einen rechten Winkel machen, von beiden Seiten gleich seyn und einander
aufheben müssen; denn wäre der Druck von einer Seite stärker als von der andern, so würde
der bewegte Körper dem grösseren Drucke nachgeben und von der angenommenen Bahnlinie ab-
weichen müssen. Der schiefen Richtung, womit die Wassertheile von der Peripherie der Oeffnung
des Gefässes gegen die Mitte des Strahles fliessen, und womit die Theile des Strahles eigentlich
zusammengehalten werden, wirkt von Seite der innern Wassertheile vermöge ihrer Inkompressibilität
eine Kraft entgegen, welche die äussern Wassertheile nöthiget, von ihrer Richtung abzugehen, und
die krumme Bahnlinie e p q u zu beschreiben. Wir wollen demnach zuerst den Druck der
äussern Wassertheile gegen die innern untersuchen.
Ein jeder Körper, welcher von der geraden Richtung seiner Bahn abgelenkt wird, und aus der
geraden p q' in die krumme Linie p q übertreten soll, bedarf einer Kraft, welche ihn nöthiget, in
derselben Zeit, in welcher mit freier Bewegung der Raum p q' = ν . d t zurückgelegt wurde, zu-
gleich den Raum p p' zurückzulegen. Diese Kraft, die wir K nennen wollen, ergibt sich aus dem
allgemeinen Satze, dass die Kräfte den Wirkungen proporzional sind, und weil hier die Räume
zu berücksichtigen sind, so ist d M : g . d t2 = K : p p'. Daraus folgt die Kraft = [FORMEL] · p p'. Wenn
wir nun durch den Bogen p q einen Kreis beschreiben, und den Durchmesser dieses Krei-
ses p w = 2 r setzen, so folgt nach der Theorie des Kreises p p' : p q = p q : p w oder 2 r, und
weil p q = ν . d t ist, so erhalten wir p p' = [FORMEL] und wenn dieser Werth in die obige Gleichung
substituirt wird, so ergibt sich die Kraft K = d M · [FORMEL]. Hiervon müssen wir den Druck d M . Sin λ
abziehen, welchen nämlich das Element durch sein Gewicht nach Aussen ausübt, dadurch erhalten
wir die Kraft d M · [FORMEL]. Mit dieser Kraft drücken die äusseren Theile an die innern
und diese drücken eben so stark zurück. Für das Gleichgewicht flüssiger Massen ist aber nöthig,
dass nicht bloss die ganzen Elemente d M, sondern jeder Punkt ihrer Basis
mit einer gleichen Kraft drücken müsse; wenn wir also den Druck
d M . [FORMEL] mit seiner Basis d s oder ν . d t dividiren, so erhalten wir die Höhe einer
Wassersäule, welche in der ganzen Bahn e p q u (Fig. 7) dieselbe Grösse haben muss. Setzen wir
nun für den untersten Punkt des zusammengezogenen Wasserstrahles in u die Geschwindigkeit ν = γ
und den Krümmungshalbmesser an demselben Orte r = p, statt d s die Grösse γ . d t, und da in
diesem Punkte der Strahl bereits in der senkrechten Richtung herabfliesst Sin λ = 0, so ist die Höhe
der Wassersäule, welche den Druck der äussern Theile gegen die innern in u vorstellt
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 142. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/160>, abgerufen am 04.12.2024. |
